Tính Tổng Các Số Hạng Của Một Dăy Số

Nguyên Hàm và Tích Phân

(BĂ i Tập)

Nguyên Hàm

Trong các bài trước bạn đã biết về đạo hàm. Giả sử ta cho một hàm số mà đạo hàm của nó là

và theo sự hiểu biết của bạn về đạo hàm, bạn nhận thấy hàm số ban đầu (hàm mà chưa lấy đạo hàm) là

bởi vì khi lấy đạo hàm của F(x):.

Kết quả trên cho thấy hàm số F(x) là phần tính ngược lại với quá trình tính đạo hàm của hàm số f(x).Trong toán học, người ta gọi F(x) là nguyên hàm [1*] của hàm số f(x) và được phát biểu như sau:

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b).Một hàm số F(x) cũng xác định trong khoảng này sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc (a; b).Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Bây giờ nếu bạn cho, trong đó C là một hằng số (số thực nào đó), thì vẫn là nguyên hàm của f(x) bởi lẽ đạo hàm của một hằng số luôn bằng 0.Dựa vào kết quả này, người ta phát biểu một định lý.

Định Lý I

Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a; b), thì hàm số G(x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a; b) nếu và chỉ nếu G(x) thuộc dạng

G(x) = F(x) + C xác định trong khoảng (a; b), trong đó C là một hằng số tùy ý.

Chứng minh

Nếu G(x) = F(x) + C, F’(x) = f(x) và C là một hằng số tùy ý, thì: G’(x) = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x). Nhưng nếu G(x) và F(x) là nguyên hàm của f(x), thì G(x) – F(x) có bằng một hằng số C tùy ý nào không? Ta xét tiếp: Nếu G(x) và F(x) là nguyên hàm của f(x), thì G’(x) = f(x) và F’(x) = f(x).Từ đó, . Ta thấy, như vậy hàm số có ký hiệu thuộc dạng [G(x) – F(x)] phải là hằng số C tùy ý nào đó.

Từ định lý I và kết hợp với bảng lấy đạo hàm của các hàm số sơ cấp, ta thu được một vài nguyên hàm điển hình sau đây:

Hàm Số f(x)	Nguyên Hàm F(x)
C (hằng số tùy ý)	0
	, x > 0.
	tg x
	cotg x

Vì nguyên hàm F(x) là phần ngược lại tiến trình khi lấy đạo hàm của hàm số f(x), các tính chất về tính đạo hàm của hàm số f(x) đều áp dụng vào nguyên hàm F(x).

Thí dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số

Giải Ta thấy (- 2cos x)’ = 2 sin x.Do đó, nguyên hàm của 2sin x là –2cos x. Và. Do đó, nguyên hàm củalà. Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là.

Thí dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số .

Giải Ta thấy. Do đó, nguyên hàm củalà. Và. Do đó, nguyên hàm của cos 2x là. Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là.

Ta vừa biết cách tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp bằng cách đi ngược lại tiến trình lấy đạo hàm.Bạn để ý rằng dựa vào cách này để tìm nguyên hàm cho một hàm số ở dạng hơi khó là một công việc không phải dễ.Do đó, người ta mới đưa ra khái niệm tích phân, ký hìệu là , một phương pháp dùng để tìm nguyên hàm của một hàm số nào đó.Và bạn sẽ thấy, do sự sắp đặt ký hiệu có khoa học, cách tìm nguyên hàm khi dùng tích phân trở nên dễ dàng hơn. [2*]

Tích Phân

Nhắc lại nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F’(x) = f(x) hay ta để ở dạng khác:

Để đi tìm nguyên hàm F(x), người ta dùng tích phân, ký hiệu, được định nghĩa như sau:

, trong đó C là hằng số tùy ý.

Như vậy từ (I) ta ngầm hiểu rằng lấy tích phân hai vế của nó, ta thu được (II).Từ đây ta dùng ký hiệu F(x) để chí nó là nguyên hàm của f(x), và hằng số C được “thêm” vào để cho phù hợp với định lý I.Dựa vào định nghĩa tích phân, một số quy tắc căn bản được thiết lập.

Một số quy tắc tích phân căn bản

Ta đã biết rằng F(x) là nguyên hàm của f(x), nên f(x) = F’(x).Thế f(x) = F’(x) vào công thức (II), ta được:

Ta dễ thấy rằng công thức (III) cũng áp dụng vào bất kỳ hàm số f(x) mà không riêng gì nguyên hàm F(x), ấy là:

Nếu ta lấy đạo hàm hai vế của (II), ta được:

Vậy

Đến đây bạn thấy tích phân mà kết quả của nó là phần ngược lại của tiến trình đi tìm đạo hàm của hàm số nào đó.Nhưng nếu bạn chỉ thấy nhiệm vụ của tích phân là đi tìm nguyên hàm, thì nó thật cũng vô vị làm sao! [3*].Có lẽ bạn tự hỏi: Ngoài nhiệm vụ giúp tìm nguyên hàm của hàm số nào đó, vậy thì ý nghĩa về tích phân là gì trong thực tế?Vắn tắt trong bài này: tích phân giúp tìm diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một hoặc nhiều đường cong tùy ý, các trục (nếu xét) và giúp giải phương trình vi phân.

Để tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) một cách có phương pháp, người ta cần thành lập bảng tích phân của các hàm sơ cấp dựa vào các quy tắc lấy đạo hàm và thiết lập công thức biến đổi biến số.

Thành lập bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp dựa vào đạo hàm

Tích Phân	Đạo Hàm
1		[C]’ = 0, C là hằng số tùy ý.
2	, a là số thực.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Công thức biến đổi biến số

Nếu F(u) là nguyên hàm của f(u) và u = g(x) xác định trên khoảng I, thì theo định nghĩa tích phân, ta có:

(A).

Và theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp là

Thế u = g(x) và vào vế trái của (A), ta được:

Cũng dựa vào vế phải của (A), ta viết biểu thức trên thành công thức biến đổi biến số là

Dưới đây ta xét một số thí dụ cách tìm tích phân

Thí dụ 3. Tìm. (Tức là đi tìm nguyên hàm của sin(5x)).

Giải Ta đặt u = 5x => du = 5dx ó.Như vậy (kết quả có được do áp dụng công thức số 7 trong bảng tích phân) (kết quả có được do thế u = 5x)

Thí dụ 4.Tìm.

Giải (áp dụng công thức 4 trong bảng tích phân) ·Xét ,ta đặt u = x – 4 => du = dx.Từ đó, (áp dụng công thức 5 trong bảng tích phân) (thế u = x –4) ·Ta dễ thấy (áp dụng công thức 5 trong bảng tích phân) Vậy (Trong đólà một hằng số nào đó) (Bài trên ta thấy ký hiệuhayxuất hiện trong lúc trình bày với mục đích giúp người đọc hiểu quá trình.Sau này khi giải các bài tích phân khác, ta không cần ký hiệuhaycho mỗi phần tích phân nhỏ khác (như thí dụ 4) nữa, mà ta chỉ cần thêm C vào biểu thức đáp án của mỗi bài giải là được rồi.) Chú ý: Bạn có thể giải bài trên không cần đặt ẩn số phụ u = 4 – x và phương pháp giải như sau: (vì dx = d(x-4))

Chúng ta vừa biết cách tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) dựa vào phương pháp tích phân.Phần kế tiếp chúng ta xét ứng dụng tích phân để tìm diện tích hình phẳng trong tọa độ Đềcác vuông góc.Bạn đọc có thể đọc thêm bài Mối Quan Hệ Tích Phân và Diện Tích Hình Phẳng để biết thêm thông tin làm thế nào mà nhà toán học Newton đã phát hiện ra cách dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng.Sau đây chúng ta chấp nhận một định nghĩa về diện tích phẳng liên quan tới tích phân mà không chứng minh ở trong bài này.

Phần Dẫn Nhập Tích Phân Như Là Một Diện Tích Phẳng

Giả sử f(x) xác định trên đoạn [a; b] và diện tích A xác định nằm dưới đường cong này.Ta cần tìm phương pháp để tính diện tích A được giới hạn bởi đường cong f(x), hai đường x = a, x = b và trục Ox.Trên đoạn [a; b], ta chia diện tích A thành n những hình chữ nhật nhỏ có chiều rộng bằng nhau và bằngvà có chiều dài(chú ý: chiều dài không bằng nhau), trong đólà điểm trung bình nằm trong mỗi đoạn nhỏđể cho một chiều dài tương ứng.Như vậy

.

Nếu ta cộng hết tất cả các diện tích hình chữ nhật nhỏ lại với nhau, ta thu được diện tích A gần đúng và được biểu diễn dưới ký hiệu:

Để cho diện tích A chính xác, thì các hình chữ nhật có chiều rộngphải chia nhỏ ra nữa sao cho các đoạntiến dần 0 hay n tiến dần vô cực.Sự chính xác của A được biểu diễn bằng ký hiệu giới hạn:

(chú ý n tiến dần vô cực)

Nếu giới hạn trên tồn tại, thì diện tích A được tính chính xác và nó được ký hiệu theo định nghĩa tích phân từ ký hiệu giới hạn:

(Định nghĩa này là phần căn bản nhất của bộ môn Giải Tích)

Từ đó, người ta đi đến hình thành định nghĩa về tích phân theo diện tích phẳng.

Định Nghĩa Tích Phân Như Là Một Diện Tích Phẳng

Nếu f(x) xác định và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được cho bởi Xem Hình 1 bên phải miêu tả diện tích được tô màu xám nhạt.

Hình 1

Từ định nghĩa tích phân cho một diện tích phẳng được tính bởi công thức (V), người ta phát triển một định lý quan trọng để tính diện tích theo nguyên hàm.

Định Lý II

Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b] và F là nguyên hàm của f(x) trên đoạn này, thì Chứng minh (sẽ cập nhật sau) Định lý II cho biết diện tích, giới hạn bởi hàm số f(x), hai đường thẳng đứng x = a, x = b,và trục Ox, được tính bởi tích phân từ a đến b của hàm số f(x) cho kết quả là số thực F(b) – F(a).

(Tiếp theo)

Trở về Toán Trực Tuyến

[1*] Nguyên hàm ta hiểu như “hoàn nguyên” trở lại của một hàm số nào đó mà nó đã được lấy đạo hàm trước đó một cấp. Sau này cách tìm nguyên hàm cũng giống như đi giải phương trình mà trong đó ẩn số của nó là nguyên hàm được để dưới dạng đạo hàm của các hàm số nào đó, và nguời ta gọi là giải phương trình vi phân.Chúng ta sẽ tiếp thu phần này ở mục Giải Phương Trình Vi Phân.

[2*] Khi giải bài tập, phương pháp tìm nguyên hàm theo cách dùng bảng của đạo hàm sẽ giúp bạn nhớ các công thức và phân biệt dạng giữa hàm số f(x) và nguyên hàm F(x).Và nhờ làm quen với cách phân biệt đó, nó sẽ giúp bạn khi học bộ môn Giải Phương Trình Vi Phân sau này.Bạn chú nên trọng vào phương pháp tích phân.Trên thực tế, phương pháp tích phân được ứng dụng rộng rãi vì nó hàm xúc cách tìm nguyên hàm rất dễ dàng.

[3*] Nếu bạn đã biết sơ về tích phân rồi, bạn có thể đọc thêm bài viết phổ thông ứng dụng tích phân để tìm Diện Tích ở mục Blog.

Copyright 2005- http://toantructuyen.seriesmathstudy.com. All rights reserved. Contact us. Ghi rõ nguồn "http://toantructuyen.seriesmathstudy.com" khi bạn đăng lại thông tin từ website này.