TỔ Hợp Xác SUẤT NHỊ THỨC NEWTON QUỐC HUY - 123doc

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp thứ tự chúng theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.. ĐH Huế_1997 Cĩ bao nhiêu s

Trung tâm BDVH Cửu Phú, 63/1 Tân Tạo A, Q Bình Tân, HCM

giáo viên biên soạn & tổng hợp_ Lê Viết Nhơn

TỔ HỢP - XÁC SUẤT_

 QUY TẮC ĐẾM

1) Quy tắc cộng: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này

cĩ m cách thực hiện, hành động kia cĩ n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện

2) Quy tắc nhân : Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động liên tiếp Nếu cĩ m

cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách thực hiện hành động thứ hai thì cĩ m.n cách hồn thành cơng việc

3) Chú ý: quy tắc cộng và quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều trường hợp

 HỐN VỊ_TỔ HỢP_CHỈNH HỢP

1) Hoán vị:

a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (nN n, 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp từ n

phần tử của tập A được gọi là một hốn vị của n phần tử đĩ

b) Số hoán vị của n phần tử:

Nếu kí hiệu số hốn vị của n phần tử là Pn thì Pn  n ! 1.2.3.4 (  n  2).( n  1) n

c) Quy ước: 0! 1; 1! 1 

d) Chú ý: n!(n1)!n(n2)!.(n1)n

2) Chỉnh hợp:

a) Định nghĩa: Cho một tập A gồm n phần tử (nN n, 1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp thứ tự chúng theo một thứ tự nào đĩ được gọi là

một chỉnh hợp chập k của n phần tử

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A n kthì

!

k n

n A

n k





Với 1  k  n

3) Tổ hợp:

a) Định nghĩa: Cho một tập A gồm n phần tử (nN n, 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

b) Số tổ hợp chập k của n phần tử:

Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C n kthì

!

0

k n

n

n k k



c) Chú ý: A n k k C! n k

fb : https://www.facebook.com/profile.php?id=100018652471560

d) Các hệ thức giữa các số k

n

C

1

C C  kn C  C  C kn

 NHỊ THỨC NEWTON

1) Công thức nhị thức Newton:

0

n

k n k k n k

a b C a C a b C a b C a b C b

C a b





2) Hệ quả:

Với a = b = 1, ta cĩ: 2n C n0 C1n C n n1C n n

Với a = 1, b = 1, ta cĩ: 2n C n0C1n C n n1C n n

3) Chú ý:Trong các biểu thức ở vế trái của công thức (1)

a) Số các hạng tử là (n + 1)

b) Số hạng (hạng tử) thứ (k+1) là T k1C n n k a n k b k k, 0,1, 2, ,n

c) Các hạng tử cĩ số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng

số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luơn bằng n ( quy ước a0 = b0 =1)

d) Các hệ số của mỗi hạng tử đều cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1) Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nĩ, mặc

dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể của phép thử đĩ

2) Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử được gọi là khơng gian

mẫu của phép thử và kí hiệu là 

3) Biến cố: là một tập con của khơng gian mẫu

Tậpđược gọi là biến cố khơng thể, cịn tập  được gọi là biến cố chắc chắn

4) Phép toán trên biến cố:

 Tập hợp  \ Ađược gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

 Tập hợpABđược gọi là hợp của các biến cố A và B

 Tập hợp ABđược gọi là giao của các biến cố A và B

 Nếu A  B  thì ta nĩi A và B xung khắc

5) Chú ý:

 AB xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra

 AB xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra Biến cố cịn được kí hiệu A.B

 A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng khơng khi nào cùng xảy ra

 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

( ) ( )

( )

n A

P A

n





1) Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ cĩ hữu hạn

kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số ( )

( )

n A

n  là xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A)

2) Chú ý:

 n A( )là số phần tử của A

 n ( )là số các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử

3) Tính chất của xác suất:

a) Định lý:

 P( ) 0; ( )P  1

 0P A( )1 với mọi biến cố A

 Nếu A và B xung khắc thì P A   B   P A ( )  P B ( )

b) Hệ qủa: Với mọi biến cố A ta cĩ: P A     1 P A ( )

4) Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất:

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P AB( )P A P B( ) ( )

Bài tập

Dạng 1 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CHỮ SỐ ĐƠI MỘT KHÁC NHAU

Bài 1 (ĐH An Ninh_1997) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi

số cĩ 5 chữ số khác nhau

Bài 2 (ĐH Huế_1997) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm năm chữ

số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đơi một khác nhau? Tính tổng tất cả các số tự nhiên nĩi

trên

Bài 3 (ĐHQG Hà Nội_1997) Cĩ 100.000 chiếc vé xổ số được đánh số thứ tự từ 00.000 đến

99.999 Hỏi số các vé số gồm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu?

Bài 4 (ĐH Thái Nguyên) Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Cĩ bao nhiêu cách lập ra một số cĩ 5 chữ số

khác nhau từ 5 số trên sao cho số tạo thành là số chẵn

Bài 5 (ĐH Thái Nguyên) Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Cĩ bao nhiêu cách lập ra một số cĩ 5 chữ số

khác nhau từ 5 số trên sao cho số tạo thành khơng cĩ chữ số 7

Bài 6 (ĐH Thái Nguyên) Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Cĩ bao nhiêu cách lập ra một số cĩ 5 chữ số

khác nhau từ 5 số trên sao cho số tạo thành nhỏ hơn 278

Bài 7 (ĐH Y Hà Nội) Cho mười chữ số 0; 1; 2; … ;9 Cĩ bao nhiêu số lẻ 6 chữ số khác nhau, nhỏ

hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho

Bài 8 (ĐH Lâm Nghiệp_1997) Cho các chữ số 0; 2; 4; 5; 6; 8; 9 Lập được bao nhiêu số cĩ ba chữ

số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau

Bài 9 (ĐH Lâm Nghiệp_1997) Cho các chữ số 0; 2; 4; 5; 6; 8; 9.Lập được bao nhiêu số cĩ bốn chữ

số khác nhau, trong đĩ nhất thiết phải cĩ mặt chữ số 5

Bài 10 (CĐSP_TPHCM_1997) Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 Từ các chữ số đã cho lập được

bao nhiêu số chẵn cĩ 4 chữ số khác nhau

a) Số chia hết cho 5 gồm 3 chữ số khác nhau

Bài 11 (CĐSP_TPHCM_1997) Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 Từ các chữ số đã cho lập được

bao nhiêu số

chia hết cho 5 gồm 3 chữ số khác nhau

Bài 12 (CĐSP Vinh_1999) Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Từ 8 chữ số trên cĩ thể lập được

bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số, đơi một khác nhau và khơng chia hết cho 10

Bài 13 (ĐHQGTPHCM_2000)

Cĩ bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đơi một trong đĩ chữ số đầu tiên là chữ số lẻ

Bài 14 (ĐHSP Vinh _2000) Tìm tất cả các số tự nhiên cĩ đúng 5 chữ số sao cho chữ số sau lớn

hơn chữ số đứng liền trước

Bài 15 (ĐH Mở HN_2000) Cho 4 chữ số 1; 2; 3; 4 Lập được bao nhiêu số hàng nghìn gồm 4

chữ số khác nhau từ 4 chữ số đĩ

Bài 16 (Học Viện quốc tế_2001) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 thiết lập tất cả các số cĩ

chín chữ số khác nhau Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính

giữa?

A.40330 B 40320 C.40310 D.40500

Bài 17 (ĐHQGTPHCM_2001) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau (chữ

số đầu tiên khác 0) trong đĩ cĩ mặt chữ số 0 nhưng khơng cĩ mặt chữ số 1

Bài 18 (ĐH Sư Phạm 2_2001) Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một được

thành lập từ 6 chữ số 1; 3; 4; 5; 7; 8

37332970

Bài 19 (ĐH Ngoại Thương_2001) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 thiết lâp tất cả các số cĩ 6 chữ số

khác nhau Hỏi trong các số lập được cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh

nhau?

Bài 20 (ĐH Cần Thơ_2001) Một nhĩm cĩ 10 học sinh gồm 7 nam và 3 nữ Cĩ bao nhiêu cách

sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau

A 3!.7! B 4.3!.7! C 2!.3!.7! D 3.7!3!

…… Hết……

sống vì niềm đam mê

Quốc huy