Tọa độ Trọng Tâm Của Parabol. Parabol - Tính Chất Và đồ Thị Của Hàm ...

Trong suốt chương này, người ta giả định rằng một tỷ lệ nhất định đã được chọn trong mặt phẳng (trong đó tất cả các hình được coi là nằm dưới đây); chỉ các hệ tọa độ hình chữ nhật với tỷ lệ này mới được xem xét.

§ 1. Hình parabol

Một parabol được người đọc từ một khóa học toán ở trường biết đến là một đường cong là đồ thị của một hàm số

(Hình 76). (một)

Đồ thị của một tam thức vuông bất kỳ

cũng là một parabol; chỉ có thể thực hiện được bằng một phép dịch chuyển hệ tọa độ (bởi một số vectơ OO), tức là các phép biến đổi

đạt được rằng đồ thị của hàm số (trong hệ tọa độ thứ hai) trùng với đồ thị (2) (trong hệ tọa độ thứ nhất).

Thật vậy, chúng ta hãy thay thế (3) thành đẳng thức (2). Mắc phải

Chúng ta muốn chọn sao cho hệ số tại và số hạng tự do của đa thức (đối với) ở vế phải của đẳng thức này bằng không. Để làm điều này, chúng tôi xác định từ phương trình

cái nào cho

Bây giờ chúng tôi xác định từ điều kiện

vào đó chúng tôi thay thế giá trị đã được tìm thấy. Mắc phải

Vì vậy, bằng sự thay đổi (3), trong đó

chúng tôi chuyển sang một hệ tọa độ mới, trong đó phương trình parabol (2) có dạng

(Hình. 77).

Hãy trở lại phương trình (1). Nó có thể dùng như một định nghĩa của một parabol. Chúng tôi nhớ lại các thuộc tính đơn giản nhất của nó. Đường cong có trục đối xứng: nếu điểm thỏa mãn phương trình (1) thì điểm đối xứng với điểm M trên trục y cũng thỏa mãn phương trình (1) - đường cong đối xứng qua trục y (Hình 76 ).

Nếu thì parabol (1) nằm trong nửa mặt phẳng trên, có một điểm chung duy nhất là O với trục abscissa.

Với sự gia tăng không giới hạn trong mô-đun của abscissa, chức cũng tăng vô thời hạn. Cung cấp một cái nhìn tổng quát về đường cong trong hình. 76 a.

Nếu (Hình 76, b), thì đường cong nằm ở nửa mặt phẳng dưới đối xứng với trục abscissa của đường cong.

Nếu chúng ta chuyển sang một hệ tọa độ mới có được từ hệ tọa độ cũ bằng cách thay thế chiều dương của trục tọa độ bằng chiều ngược lại, thì parabol có phương trình trong hệ cũ sẽ nhận phương trình y trong hệ tọa độ mới. . Do đó, khi nghiên cứu các parabol, chúng ta có thể tự giới hạn mình trong các phương trình (1), trong đó.

Cuối cùng, hãy thay đổi tên của các trục, tức là hãy chuyển sang hệ tọa độ mới, trong đó trục y sẽ là trục abscissa cũ và trục abscissa sẽ là trục y cũ. Trong hệ thống mới này, phương trình (1) sẽ được viết dưới dạng

Hoặc, nếu số được biểu thị bằng, ở dạng

Phương trình (4) được gọi trong hình học giải tích là phương trình chính tắc của một parabol; Hệ tọa độ hình chữ nhật trong đó parabol đã cho có phương trình (4) được gọi là hệ tọa độ chính tắc (đối với parabol này).

Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập ý nghĩa hình học của hệ số. Đối với điều này, chúng tôi có một điểm

được gọi là trọng tâm của parabol (4) và đường thẳng d được xác định bởi phương trình

Đường này được gọi là ma trận trực tiếp của parabol (4) (xem Hình 78).

Cho là một điểm tùy ý của parabol (4). Từ phương trình (4) ta suy ra Do đó, khoảng cách của điểm M đến ma trận d là số

Khoảng cách của điểm M so với tiêu điểm F là

Nhưng, do đó

Vì vậy, tất cả các điểm M của parabol đều cách đều tiêu điểm và ma trận của nó:

Ngược lại, mỗi điểm M thỏa mãn điều kiện (8) nằm trên parabol (4).

Thật,

Vì thế,

và, sau khi mở ngoặc và đưa ra các thuật ngữ như,

Chúng ta đã chứng minh rằng mỗi parabol (4) là quỹ tích của các điểm cách đều tiêu điểm F và từ ma trận trực tiếp d của parabol này.

Đồng thời, chúng tôi cũng thiết lập ý nghĩa hình học của hệ số trong phương trình (4): số bằng khoảng cách giữa tiêu điểm và ma trận của parabol.

Bây giờ cho một điểm F và một đường thẳng d không đi qua điểm này được cho tùy ý trên mặt phẳng. Hãy chứng minh rằng tồn tại một parabol có tiêu điểm F và ma trận trực tiếp d.

Để làm điều này, chúng ta vẽ một đường thẳng g đi qua điểm F (Hình 79), vuông góc với đường thẳng d; giao điểm của cả hai đường thẳng sẽ được ký hiệu là D; khoảng cách (tức là khoảng cách giữa điểm F và đường thẳng d) được ký hiệu là.

Ta biến đường thẳng g thành trục, lấy hướng DF trên đó là chiều dương. Ta sẽ làm cho trục này trở thành trục abscissa của một hệ tọa độ hình chữ nhật, điểm đầu của nó là trung điểm O của đoạn

Khi đó đường thẳng d có phương trình.

Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình parabol chính tắc trong hệ tọa độ đã chọn:

hơn nữa, điểm F sẽ là tiêu điểm, và đường thẳng d sẽ là ma trận của parabol (4).

Ở trên ta đã xác định rằng một parabol là quỹ tích của các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng d. Vì vậy, chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa hình học (tức là không phụ thuộc vào bất kỳ hệ tọa độ nào) của một parabol.

Sự định nghĩa. Một parabol là quỹ tích của các điểm cách đều một số điểm cố định ("trọng tâm" của parabol) và một số đường cố định ("ma trận" của parabol).

Biểu thị khoảng cách giữa tiêu điểm và ma trận của parabol bằng, chúng ta luôn có thể tìm thấy một hệ tọa độ hình chữ nhật là chính tắc cho một parabol đã cho, tức là một trong đó phương trình của parabol có dạng chính tắc:

Ngược lại, bất kỳ đường cong nào có phương trình như vậy trong một hệ tọa độ hình chữ nhật nào đó đều là một parabol (theo nghĩa hình học vừa được thiết lập).

Khoảng cách giữa tiêu điểm và ma trận của parabol được gọi là tham số tiêu điểm, hay đơn giản là tham số parabol.

Đường thẳng đi qua tiêu điểm vuông góc với ma trận của parabol được gọi là tiêu điểm của nó (hay đơn giản là trục); nó là trục đối xứng của parabol - điều này xuất phát từ thực tế là trục của parabol là trục abscissa trong hệ tọa độ, đối với phương trình parabol có dạng (4).

Nếu điểm thoả mãn phương trình (4) thì phương trình này cũng thoả mãn điểm, đối xứng với điểm M qua trục x.

Giao điểm của một parabol với trục của nó được gọi là đỉnh của parabol; nó là gốc của hệ tọa độ là chính tắc cho parabol đã cho.

Hãy để chúng tôi cung cấp thêm một cách diễn giải hình học của tham số parabol.

Ta vẽ một đường thẳng qua trọng tâm của parabol vuông góc với trục của parabol; nó cắt parabol tại hai điểm (xem Hình 79) và xác định cái gọi là hợp âm tiêu điểm của parabol (nghĩa là, hợp âm đi qua tiêu điểm song song với ma trận trực tiếp của parabol). Một nửa độ dài của hợp âm tiêu cự là tham số của parabol.

Thật vậy, một nửa chiều dài của hợp âm tiêu điểm là giá trị tuyệt đối của hoành độ của bất kỳ điểm nào trong số các điểm, abscissa của mỗi điểm trong số đó bằng abscissa của tiêu điểm, tức là. Do đó, với hoành độ của mỗi điểm, chúng ta có

Q.E.D.

Bài giảng Đại số và Hình học. Học kì 1.

Bài giảng 17. Parabol.

Chương 17

Mục 1. Định nghĩa cơ bản.

Sự định nghĩa. Một parabol là một GMT của một mặt phẳng cách đều một điểm cố định của mặt phẳng, được gọi là trọng tâm và một đường thẳng cố định, được gọi là ma trận.

Sự định nghĩa. Khoảng cách từ điểm M tùy ý của mặt phẳng đến tiêu điểm của parabol được gọi là bán kính tiêu điểm của điểm M.

Định nghĩa: F là trọng tâm của parabol, r là bán kính tiêu điểm của điểm M, d là khoảng cách từ điểm M đến ma trận D.

Theo định nghĩa của một parabol, một điểm M là một điểm của parabol nếu và chỉ khi .

Theo định nghĩa của một parabol, trọng tâm và ma trận của nó là các đối tượng cố định, vì vậy khoảng cách từ tiêu điểm đến ma trận là một giá trị không đổi đối với parabol này.

Sự định nghĩa. Khoảng cách từ tiêu điểm của parabol đến ma trận của nó được gọi là tham số tiêu điểm của parabol.

Chỉ định: .

Hãy để chúng tôi giới thiệu một hệ tọa độ trên mặt phẳng đã cho, mà chúng tôi sẽ gọi là chính tắc cho parabol.

Sự định nghĩa. Trục vẽ qua tiêu điểm của parabol vuông góc với ma trận được gọi là trục tiêu điểm của parabol.

Hãy xây dựng PDSC chính tắc cho parabol, xem Hình 2.

Là trục abscissa, chúng tôi chọn trục tiêu điểm, hướng mà chúng tôi chọn từ ma trận đến tiêu điểm.

Trục tọa độ được vẽ qua trung điểm của đoạn thẳng FN vuông góc với trục tiêu cự. Khi đó tiêu điểm có tọa độ .

mục 2. Phương trình chính tắc của một parabol.

Định lý. Trong hệ tọa độ chính tắc cho một parabol, phương trình parabol có dạng:

. (1)

Bằng chứng. Chúng tôi sẽ thực hiện việc chứng minh trong hai giai đoạn. Ở bước đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên parabol thỏa mãn phương trình (1). Ở giai đoạn thứ hai, chúng ta sẽ chứng minh rằng bất kỳ nghiệm nào của phương trình (1) cho tọa độ của một điểm nằm trên một parabol. Do đó, theo đó phương trình (1) được thỏa mãn bởi tọa độ của những điểm đó và chỉ những điểm của mặt phẳng tọa độ nằm trên parabol.

Từ đây và từ định nghĩa phương trình của đường cong, nó sẽ theo đó phương trình (1) là phương trình của một parabol.

1) Gọi điểm M (x, y) là một điểm của parabol, tức là

.

Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ và tìm bán kính tiêu điểm của điểm M cho trước bằng công thức sau:

.

Từ Hình 2, chúng ta thấy rằng điểm của parabol không thể có abscissa âm, bởi vì trong trường hợp này . Cho nên và . Do đó chúng tôi có được sự bình đẳng

.

Hãy bình phương cả hai vế của phương trình:

và sau khi giảm chúng tôi nhận được:

.

2) Bây giờ cho một cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình (1) và gọi M (x, y) là điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Sau đó ta thay đẳng thức (1) vào biểu thức cho bán kính tiêu điểm của điểm M:

, do đó, theo định nghĩa của một parabol, thì điểm M (x, y) nằm trên parabol.

Ở đây chúng tôi đã sử dụng thực tế là bình đẳng (1) ngụ ý rằng và do đó .

Định lý đã được chứng minh.

Sự định nghĩa. Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của một parabol.

Sự định nghĩa. Gốc của hệ tọa độ chính tắc cho một parabol được gọi là đỉnh của parabol.

mục 3. tính chất của parabol.

Định lý. (Thuộc tính của một parabol.)

1. Trong hệ tọa độ chuẩn cho parabol, trong dải

không có điểm parabol.

2. Trong hệ tọa độ chính tắc cho một parabol, đỉnh của parabol O (0; 0) nằm trên parabol.

3. Một parabol là một đường cong đối xứng qua trục tiêu điểm.

Bằng chứng. 1, 2) Ngay sau đây từ phương trình chính tắc của parabol.

3) Gọi M (x, y) là một điểm tùy ý của parabol. Khi đó tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (1). Nhưng sau đó tọa độ của điểm cũng thỏa mãn phương trình (1), và do đó, điểm này cũng là một điểm của parabol, từ đó tuân theo khẳng định của định lý.

Định lý đã được chứng minh.

mục 4. Xây dựng một parabol.

Do tính đối xứng, đủ để dựng một parabol ở góc phần tư thứ nhất, nơi nó là đồ thị của hàm số

,

và sau đó hiển thị đồ thị kết quả một cách đối xứng về trục x.

Ta xây dựng đồ thị của hàm số này, cho rằng hàm số này đang tăng trên khoảng .

mục 5. Tham số tiêu điểm của một hyperbol.

Định lý. Tham số tiêu điểm của parabol bằng độ dài của đường vuông góc với trục đối xứng của nó, được khôi phục tại tiêu điểm của parabol đến giao điểm với parabol.

Bằng chứng. Kể từ thời điểm là giao điểm của parabol với một vuông góc (xem Hình 3), thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình parabol:

.

Từ đây chúng tôi tìm thấy , khi khẳng định của định lý tuân theo.

Định lý đã được chứng minh.

mục 6. Định nghĩa thống nhất của ellipse, hyperbol và parabol.

Sử dụng các tính chất đã được chứng minh của hình elip và hyperbol, và định nghĩa của một parabol, người ta có thể đưa ra một định nghĩa duy nhất cho cả ba đường cong.

Sự định nghĩa. GMT của một mặt phẳng, trong đó tỷ số giữa khoảng cách đến một điểm cố định của mặt phẳng, được gọi là tiêu điểm, với khoảng cách đến một đường thẳng cố định, được gọi là ma trận, là một hằng số, được gọi là:

a) một hình elip nếu hằng số này nhỏ hơn 1;

b) một hyperbol nếu giá trị hằng số này lớn hơn 1;

c) một parabol nếu hằng số này bằng 1.

Hằng số này được đề cập đến trong định nghĩa được gọi là độ lệch tâm và được ký hiệu là , khoảng cách từ điểm đã cho đến tiêu điểm là bán kính tiêu điểm của nó, khoảng cách từ điểm đã cho đến ma trận được ký hiệu là d.

Nó dựa trên định nghĩa rằng những điểm của mặt phẳng mà tỷ lệ có một giá trị không đổi tạo thành hình elip, hyperbol hoặc parabol, tùy thuộc vào giá trị của tỷ lệ này.

Nếu một , sau đó chúng tôi nhận được một hình elip nếu , sau đó chúng tôi nhận được một hyperbola nếu , sau đó chúng tôi nhận được một parabol.

mục 7. Tiếp tuyến với một parabol.

Định lý. Để cho được là một điểm tùy ý của parabol

.

Khi đó phương trình của tiếp tuyến với parabol này

tại điểm giống như:

. (2)

Bằng chứng. Nó đủ để xem xét trường hợp khi điểm tiếp xúc nằm trong góc phần tư đầu tiên. Khi đó phương trình parabol có dạng:

và nó có thể được xem như một đồ thị của một hàm .

Hãy sử dụng phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm :

ở đâu là giá trị của đạo hàm của hàm này tại điểm .

Hãy tìm đạo hàm của hàm số và giá trị của nó tại điểm tiếp xúc:

, .

Ở đây, chúng tôi đã tận dụng thực tế rằng điểm tiếp xúc là một điểm của parabol và do đó tọa độ của nó thỏa mãn phương trình parabol, tức là

.

Chúng tôi thay giá trị tìm được của đạo hàm vào phương trình tiếp tuyến:

,

từ nơi chúng tôi nhận được:

.

Kể từ thời điểm thuộc về một parabol, khi đó tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của nó, tức là , khi nào chúng ta nhận được

hoặc .

điều này nghĩa là

.

Định lý đã được chứng minh.

mục 8. Tính chất phản chiếu của một parabol.

Định lý. Tiếp tuyến của parabol tạo thành các góc bằng trục đối xứng của nó và với bán kính tiêu điểm của điểm tiếp tuyến.

Bằng chứng. Để cho được - điều khoản của hợp đồng là bán kính tiêu cự của nó. Ký hiệu N là giao điểm của tiếp tuyến với trục abscissa. Tọa độ của điểm N bằng 0 và điểm N nằm trên tiếp tuyến nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình tiếp tuyến. Thay tọa độ điểm N vào phương trình tiếp tuyến, ta được:

,

khi đó abscissa của điểm N là .

Xem xét một tam giác . Chúng tôi chứng minh rằng nó là cân.

Thật sự, . Ở đây, chúng tôi đã sử dụng đẳng thức thu được trong việc suy ra phương trình parabol chính tắc:

.

Trong một tam giác cân, các góc ở đáy bằng nhau. Từ đây

, vân vân.

Định lý đã được chứng minh.

Nhận xét. Định lý đã được chứng minh có thể được xây dựng như một tính chất phản chiếu của một parabol.

Một chùm ánh sáng phát ra từ tiêu điểm của parabol, sau khi phản xạ từ gương của parabol, đi song song với trục đối xứng của parabol.

Thật vậy, vì góc tới của tia trên tiếp tuyến bằng góc phản xạ từ nó, góc giữa tiếp tuyến và tia phản xạ bằng góc giữa tiếp tuyến và trục abscissa, điều này ngụ ý rằng tia phản xạ tia song song với trục abscissa.

Nhận xét. Tính chất này của parabol đã được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Nếu một parabol được quay quanh trục đối xứng của nó, thì chúng ta sẽ có một bề mặt được gọi là một paraboloid cách mạng. Nếu mặt phản xạ được làm dưới dạng một paraboloid quay vòng và đặt một nguồn sáng tại tiêu điểm thì tia phản xạ đi song song với trục đối xứng của paraboloid. Đây là cách bố trí đèn rọi và đèn pha ô tô. Nếu một thiết bị nhận dao động điện từ (sóng) được đặt trong tiêu điểm, thì chúng sẽ bị phản xạ từ bề mặt của paraboloid và đi vào thiết bị nhận này. Đây là cách thức hoạt động của bát đĩa vệ tinh.

Có một truyền thuyết kể rằng vào thời cổ đại, một chỉ huy đã xếp các chiến binh của mình dọc theo bờ biển, tạo cho họ hình dạng của một parabol. Ánh sáng mặt trời, được phản chiếu từ những chiếc khiên của các chiến binh được đánh bóng sáng bóng, tập hợp lại thành một chùm tia (ở tâm điểm của hình parabol đã xây dựng). Vì vậy, các chiến thuyền của kẻ thù đã bị đốt cháy. Một số nguồn quy kết điều này cho Archimedes. Bằng cách này hay cách khác, nhưng người Ả Rập gọi paraboloid của cuộc cách mạng là "một tấm gương cháy".

Nhân tiện, từ "tiêu điểm" là tiếng Latinh và trong bản dịch có nghĩa là lửa, lò sưởi. Vào một ngày nắng, bạn có thể đốt lửa và đun sôi nước với sự hỗ trợ của "gương đốt". Vì vậy, nguồn gốc của thuật ngữ này trở nên rõ ràng.

Từ "tập trung" cũng có nghĩa là một số loại thiết bị lừa hoặc xảo quyệt. Trước đây, rạp xiếc được gọi là gian hàng. Vì vậy, ngay cả các nghệ sĩ trò hề đã sử dụng đặc tính phản chiếu của hình elip và chiếu sáng ánh sáng vào một tiêu điểm của hình elip, họ nung một thứ gì đó dễ cháy được đặt ở tiêu điểm khác của nó. Cảnh tượng này còn được gọi là một trò lừa. (Đọc cuốn sách tuyệt vời của Vilenkin N.Ya. "Phía sau những trang sách giáo khoa toán học")

mục 9. Phương trình cực của elip, hyperbol và parabol.

Cho một điểm F nằm trong mặt phẳng mà ta gọi là trọng tâm và một đường thẳng D, ta sẽ gọi là ma trận trực tiếp. Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng vuông góc với ma trận (trục tiêu điểm) qua tiêu điểm và giới thiệu hệ tọa độ cực. Chúng tôi đặt cực ở tiêu điểm, và khi là tia cực, chúng tôi lấy một phần của đường thẳng không giao với ma trận (xem Hình 5).

Cho điểm M nằm trên elip, hyperbol hoặc parabol. Trong những gì sau đây, chúng tôi sẽ đề cập đến một hyperbola zlips hoặc parabol chỉ đơn giản là một đường cong.

Định lý. Để cho được - tọa độ cực của một điểm đường cong (elip, hyperbol hoặc parabol). sau đó

, (3)

trong đó p là tham số tiêu điểm của đường cong, là độ lệch tâm của đường cong (đối với một parabol, chúng tôi giả sử ).

Bằng chứng. Gọi Q là hình chiếu của điểm М lên trục tiêu điểm của đường cong, В - lên ma trận của đường cong. Để cho góc cực điểm M là điểm tù, như trong hình 5. Khi đó

,

xây dựng ở đâu, là khoảng cách từ điểm M đến ma trận, và

. (4)

Mặt khác, theo định nghĩa thống nhất của một hình elip, hyperbol và parabol, tỷ lệ

(5)

bằng độ lệch tâm của đường cong tương ứng đối với điểm M bất kỳ trên đường cong đã cho. Hãy để ý là giao điểm của đường cong với vuông góc với trục tiêu điểm, khôi phục tại tiêu điểm F và A là hình chiếu của nó lên ma trận. sau đó

, ở đâu . Nhưng , ở đâu

và, thay thế thành đẳng thức (4), chúng tôi thu được

hoặc, có tính đến sự bình đẳng (5),

khi đó đẳng thức bắt buộc (3) tuân theo.

Lưu ý rằng đẳng thức (4) vẫn đúng ngay cả trong trường hợp góc cực điểm M là nhọn, bởi vì trong trường hợp này, điểm Q ở bên phải tiêu điểm F và

Định lý đã được chứng minh.

Sự định nghĩa. Phương trình (3) được gọi là phương trình cực của elip, hyperbol và parabol.

Mọi người đều biết parabol là gì. Nhưng làm thế nào để sử dụng nó một cách chính xác, thành thạo trong việc giải quyết các vấn đề thực tế khác nhau, chúng ta sẽ hiểu rõ dưới đây.

Đầu tiên, chúng ta hãy biểu thị các khái niệm cơ bản mà đại số và hình học cung cấp cho thuật ngữ này. Hãy xem xét tất cả các dạng có thể có của đồ thị này.

Chúng tôi tìm hiểu tất cả các đặc điểm chính của chức năng này. Hãy hiểu những điều cơ bản về xây dựng một đường cong (hình học). Hãy cùng tìm hiểu cách tìm các giá trị đỉnh, các giá trị cơ bản khác của biểu đồ dạng này.

Chúng ta sẽ tìm hiểu xem: đường cong yêu cầu được xây dựng đúng theo phương trình như thế nào, bạn cần chú ý điều gì. Hãy cùng xem ứng dụng thực tế chính của giá trị độc đáo này trong đời sống con người.

Parabol là gì và nó trông như thế nào

Đại số: Thuật ngữ này dùng để chỉ đồ thị của một hàm số bậc hai.

Hình học: Đây là đường cong bậc hai có một số tính năng cụ thể:

Phương trình parabol hình nón

Hình bên cho thấy một hệ tọa độ hình chữ nhật (XOY), một điểm cực trị, hướng của các nhánh vẽ hàm dọc theo trục abscissa.

Phương trình chính tắc là:

y 2 \ u003d 2 * p * x,

trong đó hệ số p là tham số tiêu điểm của parabol (AF).

Trong đại số, nó được viết khác:

y = a x 2 + b x + c (dạng dễ nhận biết: y = x 2).

Tính chất và đồ thị của một hàm bậc hai

Hàm số có trục đối xứng và tâm (cực trị). Miền xác định là tất cả các giá trị của trục x.

Phạm vi giá trị của hàm - (-∞, M) hoặc (M, + ∞) phụ thuộc vào hướng của các nhánh đường cong. Tham số M ở đây có nghĩa là giá trị của hàm ở đầu dòng.

Cách xác định hướng các nhánh của parabol

Để tìm hướng của loại đường cong này từ một biểu thức, bạn cần chỉ định dấu ở phía trước tham số đầu tiên của biểu thức đại số. Nếu a ˃ 0, thì chúng hướng lên trên. Nếu không, xuống.

Cách tìm đỉnh của một parabol bằng công thức

Tìm cực trị là bước chính để giải quyết nhiều vấn đề thực tế. Tất nhiên, bạn có thể mở các máy tính trực tuyến đặc biệt, nhưng tốt hơn hết là bạn có thể tự làm việc đó.

Làm thế nào để xác định nó? Có một công thức đặc biệt. Khi b không bằng 0, chúng ta phải tìm tọa độ của điểm này.

Các công thức để tìm kiếm hàng đầu:

• x 0 \ u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Ví dụ.

Có một hàm y \ u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Hãy tìm các đỉnh của hàm này.

Đối với một dòng như vậy:

• x \ u003d -16 / (2 * 4) \ u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Ta nhận được tọa độ của đỉnh (-2, -41).

Phần bù parabol

Trường hợp cổ điển là khi trong một hàm bậc hai y = a x 2 + b x + c, tham số thứ hai và thứ ba là 0, và = 1 - đỉnh là điểm (0; 0).

Chuyển động dọc theo trục abscissa hoặc trục tọa độ là do sự thay đổi của các tham số b và c tương ứng. Sự dịch chuyển của đường thẳng trên mặt phẳng sẽ được thực hiện chính xác bằng số đơn vị, bằng giá trị của tham số.

Ví dụ.

Ta có: b = 2, c = 3.

Điều này có nghĩa là chế độ xem cổ điển của đường cong sẽ dịch chuyển 2 đoạn đơn vị dọc theo trục abscissa và 3 đoạn dọc theo trục tọa độ.

Cách xây dựng một parabol bằng phương trình bậc hai

Điều quan trọng là học sinh phải học cách vẽ chính xác một hình parabol theo các thông số đã cho.

Bằng cách phân tích các biểu thức và phương trình, bạn có thể thấy những điều sau:

1. Giao điểm của đường thẳng mong muốn với vectơ hoành độ sẽ có giá trị bằng c.
2. Tất cả các điểm của đồ thị (dọc theo trục x) sẽ đối xứng với điểm cực trị chính của hàm số.

Ngoài ra, các giao điểm với OX có thể được tìm thấy khi biết phân biệt (D) của một hàm số như sau:

D \ u003d (b 2 - 4 * a * c).

Để làm điều này, bạn cần phải đánh đồng biểu thức với số không.

Sự hiện diện của các gốc parabol phụ thuộc vào kết quả:

• D ˃ 0 thì x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \ u003d 0, sau đó x 1, 2 \ u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0 thì không có giao điểm nào với vectơ OX.

Chúng tôi nhận được thuật toán để xây dựng một parabol:

• xác định hướng của các nhánh;
• tìm tọa độ của đỉnh;
• tìm giao điểm với trục y;
• tìm giao điểm với trục x.

ví dụ 1

Cho một hàm số y \ u003d x 2 - 5 * x + 4. Cần phải xây dựng một parabol. Chúng tôi hành động theo thuật toán:

1. a \ u003d 1, do đó, các nhánh hướng lên trên;
2. tọa độ cực trị: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. cắt với trục y tại giá trị y = 4;
4. tìm số phân biệt: D = 25 - 16 = 9;
5. tìm kiếm gốc rễ

• X 1 \ u003d (5 + 3) / 2 \ u003d 4; (4, 0);
• X 2 \ u003d (5 - 3) / 2 \ u003d 1; (mười).

Ví dụ 2

Đối với hàm y \ u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, bạn cần xây dựng một parabol. Chúng tôi hành động theo thuật toán trên:

1. a \ u003d 3, do đó, các nhánh hướng lên trên;
2. tọa độ cực trị: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. với trục y sẽ cắt nhau tại giá trị y \ u003d -1;
4. tìm số phân biệt: D \ u003d 4 + 12 \ u003d 16. Vì vậy, các căn:

• X 1 \ u003d (2 + 4) / 6 \ u003d 1; (1; 0);
• X 2 \ u003d (2 - 4) / 6 \ u003d -1/3; (-1/3; 0).

Từ những điểm thu được, bạn có thể xây dựng một parabol.

Ma trận trực tiếp, độ lệch tâm, tiêu điểm của một parabol

Dựa vào phương trình chính tắc, tiêu điểm F có tọa độ (p / 2, 0).

Đoạn thẳng AB là một ma trận (một loại dây cung parabol có độ dài nhất định). Phương trình của cô ấy là x = -p / 2.

Độ lệch tâm (hằng số) = 1.

Sự kết luận

Chúng tôi đã xem xét chủ đề mà học sinh học ở trường trung học. Bây giờ bạn đã biết, nhìn vào hàm bậc hai của một parabol, làm thế nào để tìm đỉnh của nó, hướng các nhánh sẽ hướng đến, liệu có phần bù dọc theo các trục hay không, và, có một thuật toán xây dựng, bạn có thể vẽ đồ thị của nó.

Xét một đường thẳng trong mặt phẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng này. Và hình elip, và hyperbola có thể được định nghĩa một cách thống nhất là quỹ tích của các điểm mà tỉ số giữa khoảng cách đến một điểm cho trước và khoảng cách đến một đường thẳng đã cho là một hằng số

xếp hạng ε. Tại 0 1 - cường điệu. Tham số ε là độ lệch tâm của cả hình elip và hyperbol. Trong số các giá trị dương có thể có của tham số ε, một giá trị, cụ thể là ε = 1, hóa ra không được sử dụng. Giá trị này tương ứng với quỹ tích của các điểm cách đều điểm đã cho và từ đoạn thẳng đã cho.

Định nghĩa 8.1. Quỹ tích của các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định và cách đều một đường thẳng cố định được gọi là hình parabol.

Điểm cố định được gọi là tiêu điểm của parabol, và đường thẳng ma trận của parabol. Đồng thời, người ta cho rằng độ lệch tâm parabol bằng một.

Từ các xem xét hình học, parabol đối xứng với một đường thẳng vuông góc với ma trận và đi qua trọng tâm của parabol. Đường này được gọi là trục đối xứng của parabol hay đơn giản là trục parabol. Hình parabol giao với trục đối xứng của nó tại một điểm duy nhất. Điểm này được gọi là đỉnh của parabol. Nó nằm ở giữa đoạn nối trọng tâm của parabol với giao điểm của trục của nó với ma trận (Hình 8.3).

Phương trình parabol.Để suy ra phương trình parabol, chúng ta chọn mặt phẳng nguồn gốcở trên cùng của parabol, như abscissa- trục của parabol, chiều dương được cho bởi vị trí của tiêu điểm (xem Hình 8.3). Hệ tọa độ này được gọi là kinh điển cho parabol đang được xem xét và các biến tương ứng là kinh điển.

Hãy để chúng tôi biểu thị khoảng cách từ tiêu điểm đến ma trận là p. Anh ấy được gọi là tham số tiêu cự parabol.

Khi đó tiêu điểm có tọa độ F (p / 2; 0), và ma trận trực tiếp d được mô tả bởi phương trình x = - p / 2. Quỹ tích của điểm M (x; y), cách đều điểm F và đường thẳng d, được cho bởi phương trình

Ta bình phương phương trình (8.2) và đưa ra các phương trình tương tự. Chúng tôi nhận được phương trình

được gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Lưu ý rằng bình phương trong trường hợp này là một phép biến đổi tương đương của phương trình (8.2), vì cả hai phần của phương trình đều không âm, cũng như biểu thức dưới căn.

Loại parabol. Nếu parabol y 2 \ u003d x, dạng mà chúng ta coi là đã biết, được nén với hệ số 1 / (2p) dọc theo abscissa, thì chúng ta nhận được một parabol có dạng tổng quát, được mô tả bằng phương trình (8.3).

Ví dụ 8.2. Chúng ta hãy tìm tọa độ của trọng tâm và phương trình của ma trận trực tiếp của parabol nếu nó đi qua một điểm có tọa độ chính tắc là (25; 10).

Trong hệ tọa độ chính tắc, phương trình parabol có dạng y 2 = 2px. Vì điểm (25; 10) nằm trên parabol nên 100 = 50p và do đó p = 2. Do đó, y 2 = 4x là phương trình chính tắc của parabol, x = - 1 là phương trình của ma trận trực tiếp của nó, và tiêu điểm là tại điểm (1; 0).

Tính chất quang học của một parabol. Hình parabol có như sau tài sản quang học. Nếu một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm của parabol, thì tất cả các tia sáng sau khi phản xạ khỏi parabol sẽ song song với trục của parabol (Hình 8.4). Tính chất quang học có nghĩa là tại bất kỳ điểm M nào của parabol Vector bình thường Tiếp tuyến tạo thành các góc bằng nhau với bán kính tiêu điểm MF và trục abscissa.

Chúng tôi giới thiệu một hệ tọa độ hình chữ nhật, trong đó. Để trục đi qua tiêu điểm F parabol và vuông góc với ma trận, và trục đi qua giữa tiêu điểm và ma trận. Biểu thị bằng khoảng cách giữa tiêu điểm và ma trận. Sau đó, phương trình ma trận trực tiếp.

Con số được gọi là tham số tiêu điểm của parabol. Hãy là điểm hiện tại của parabol. Gọi là bán kính tiêu điểm của một điểm hyperbol. Là khoảng cách từ điểm đến ma trận. Sau đó( bản vẽ 27.)

Hình 27.

Theo định nghĩa của một parabol. Vì thế,

Hãy bình phương phương trình, chúng ta nhận được:

(15)

trong đó (15) là phương trình chính tắc của một parabol đối xứng qua trục và đi qua gốc tọa độ.

Điều tra các thuộc tính của một parabol

1) Đỉnh của parabol:

Phương trình (15) được thỏa mãn bởi các số và do đó, parabol đi qua gốc tọa độ.

2) Đối xứng parabol:

Hãy để nó thuộc về một parabol, tức là một bình đẳng thực sự. Điểm đối xứng với điểm qua trục, do đó, parabol đối xứng với trục x.

Độ lệch tâm của parabol:

Định nghĩa 4.2.Độ lệch tâm của một parabol là một số bằng một.

Vì theo định nghĩa là một parabol.

4) Tiếp tuyến của một parabol:

Tiếp tuyến của parabol tại điểm tiếp tuyến được cho bởi phương trình

Ở đâu ( bản vẽ 28.)

Hình 28.

Hình ảnh của một parabol

Hình 29.

Sử dụng ESO-Mathcad:

bản vẽ 30.)

Bản vẽ 30.

a) Dựng hình không sử dụng CNTT-TT: Để dựng một parabol, ta đặt một hệ trục tọa độ hình chữ nhật có tâm tại điểm O và một đoạn thẳng đơn vị. Chúng tôi đánh dấu tiêu điểm trên trục OX, vì chúng tôi vẽ như vậy, và ma trận trực tiếp của parabol. Ta dựng đường tròn tại một điểm và bán kính bằng khoảng cách từ đường thẳng đến ma trận của parabol. Đường tròn cắt đường thẳng tại các điểm. Chúng tôi xây dựng một parabol để nó đi qua điểm gốc và đi qua các điểm. ( bản vẽ 31.)

Hình 31.

b) Sử dụng ESO-Mathcad:

Phương trình kết quả có dạng:. Để xây dựng một dòng bậc hai trong Mathcad, chúng ta đưa phương trình về dạng:. ( bản vẽ 32.)

Hình 32.

Để tóm tắt công trình nghiên cứu lý thuyết về dòng bậc hai trong toán tiểu học và để thuận tiện cho việc sử dụng thông tin về dòng trong giải toán, chúng tôi kết luận tất cả dữ liệu về dòng bậc hai trong Bảng số 1.

Bảng số 1.

Dòng bậc hai trong toán học sơ cấp

Tên dòng thứ 2	Vòng tròn	Hình elip	Hyperbola	Parabol
Tính chất đặc trưng
Phương trình dòng
Độ lệch tâm
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x 0 ; y 0 )
Tập trung
Đường kính đường	K là độ dốc	Độ dốc k ở đâu	Độ dốc k ở đâu

Khả năng sử dụng ICT trong nghiên cứu các dòng bậc hai

Quá trình thông tin hóa, ngày nay bao trùm tất cả các khía cạnh của đời sống xã hội hiện đại, có một số lĩnh vực ưu tiên, tất nhiên, bao gồm cả việc thông tin hóa giáo dục. Nó là cơ sở cơ bản cho việc hợp lý hóa toàn cầu hoạt động trí tuệ của con người thông qua việc sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông (ICT).

Giữa những năm 90 của thế kỷ trước và cho đến ngày nay, được đặc trưng bởi tính chất đại chúng và tính sẵn có của máy tính cá nhân ở Nga, việc sử dụng rộng rãi viễn thông, giúp đưa các công nghệ thông tin phát triển của giáo dục vào các quá trình giáo dục, cải tiến và hiện đại hoá nó, nâng cao chất lượng tri thức, tăng động cơ học tập, sử dụng tối đa nguyên tắc cá thể hoá giáo dục. Công nghệ thông tin của giáo dục là một công cụ cần thiết trong giai đoạn này của quá trình thông tin hóa giáo dục.

Công nghệ thông tin không chỉ tạo điều kiện tiếp cận thông tin và mở ra khả năng thay đổi các hoạt động giáo dục, sự cá biệt hóa và sự khác biệt hóa của nó, mà còn cho phép tổ chức sự tương tác của tất cả các môn học giáo dục theo một cách mới, xây dựng một hệ thống giáo dục trong đó học sinh sẽ một người tham gia tích cực và bình đẳng vào các hoạt động giáo dục.

Việc hình thành các công nghệ thông tin mới trong khuôn khổ các bài học chủ đề kích thích nhu cầu tạo ra các phần mềm và tổ hợp phương pháp mới nhằm nâng cao chất lượng bài học. Do đó, để sử dụng thành công và có mục đích các công cụ công nghệ thông tin trong quá trình giáo dục, giáo viên phải biết mô tả chung về nguyên tắc hoạt động và khả năng giáo dục của phần mềm và công cụ ứng dụng, sau đó dựa trên kinh nghiệm và khuyến nghị của họ, "nhúng "chúng vào quá trình giáo dục.

Việc nghiên cứu toán học hiện nay gắn liền với một số đặc điểm và khó khăn trong quá trình phát triển giáo dục phổ thông ở nước ta.

Cái gọi là khủng hoảng của giáo dục toán học xuất hiện. Lý do của nó như sau:

Trong sự thay đổi các ưu tiên trong xã hội và trong khoa học, tức là hiện nay có sự gia tăng mức độ ưu tiên của các ngành khoa học nhân văn;

Trong việc giảm số lượng các tiết học toán ở trường;

Không tách rời nội dung giáo dục toán học với cuộc sống;

Trong đó tác động không nhỏ đến tâm tư, tình cảm của học sinh.

Ngày nay, câu hỏi vẫn còn bỏ ngỏ: "Làm thế nào để sử dụng hiệu quả nhất tiềm năng của công nghệ thông tin và truyền thông hiện đại trong việc dạy học cho học sinh, bao gồm cả dạy toán?"

Máy tính là một trợ thủ đắc lực trong việc nghiên cứu một chủ đề như “Hàm số bậc hai”, bởi vì sử dụng các chương trình đặc biệt, bạn có thể vẽ các hàm khác nhau, khám phá một hàm, dễ dàng xác định tọa độ của các giao điểm, tính diện tích của các hình đóng, v.v. Ví dụ, trong một bài học đại số ở lớp 9, dành riêng cho sự biến đổi của đồ thị (kéo dài, nén, dịch chuyển trục tọa độ), bạn chỉ có thể thấy kết quả cố định của phép xây dựng và toàn bộ động thái của các hành động liên tiếp. của giáo viên và học sinh có thể được theo dõi trên màn hình điều khiển.

Máy tính, không giống như các phương tiện kỹ thuật khác, chính xác, trực quan và hấp dẫn mở ra các mô hình toán học lý tưởng cho học sinh, tức là đứa trẻ cần phấn đấu những gì trong những hành động thiết thực của mình.

Một giáo viên dạy Toán đã phải trải qua bao nhiêu khó khăn để thuyết phục được học sinh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc hai tại điểm tiếp xúc thực tế hợp với đồ thị của hàm số. Rất dễ dàng để chứng minh điều này trên máy tính - chỉ cần thu hẹp khoảng dọc theo trục Ox là đủ và thấy rằng trong một vùng lân cận rất nhỏ của điểm tiếp tuyến, đồ thị của hàm số và tiếp tuyến trùng nhau. Tất cả các hoạt động này đều diễn ra trước mặt học sinh. Ví dụ này tạo động lực cho việc phản xạ tích cực trong bài học. Việc sử dụng máy tính có thể thực hiện được cả trong quá trình giải thích tài liệu mới trong bài học và ở giai đoạn điều khiển. Với sự trợ giúp của các chương trình này, ví dụ, "Bài kiểm tra của tôi", học sinh có thể kiểm tra độc lập mức độ kiến ​​thức của mình về lý thuyết, thực hiện các nhiệm vụ lý thuyết và thực hành. Các chương trình thuận tiện cho tính linh hoạt của chúng. Chúng có thể được sử dụng cho cả mục đích tự kiểm soát và kiểm soát của giáo viên.

Sự kết hợp hợp lý giữa toán học và công nghệ máy tính sẽ cho phép cái nhìn phong phú và sâu sắc hơn về quá trình giải quyết một vấn đề, quá trình hiểu được các mẫu toán học. Ngoài ra, máy tính sẽ giúp hình thành văn hóa đồ họa, toán học và tinh thần của học sinh, sử dụng máy tính bạn có thể chuẩn bị các tài liệu giáo khoa: thẻ, phiếu khảo sát, bài kiểm tra, ... Đồng thời tạo cơ hội cho các em tự lập. phát triển các bài kiểm tra về chủ đề, trong đó quan tâm và sáng tạo.

Vì vậy, nhu cầu sử dụng máy tính, nếu có thể, trong các giờ học toán rộng rãi hơn là cần thiết. Việc sử dụng công nghệ thông tin sẽ nâng cao chất lượng kiến ​​thức, mở rộng tầm nhìn nghiên cứu về hàm số bậc hai, từ đó giúp tìm ra những quan điểm mới để duy trì sự hứng thú của học sinh đối với môn học và chủ đề, từ đó có thái độ tốt hơn, chú ý hơn đến nó. Ngày nay, công nghệ thông tin hiện đại đang trở thành công cụ quan trọng nhất để hiện đại hóa toàn bộ trường học - từ quản lý đến giáo dục và đảm bảo tính sẵn sàng của giáo dục.