Toán 10 Bài 1: Đại Cương Về Phương Trình - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 10 Chương 3: Phương Trình, Hệ Phương Trình. Toán 10 Bài 1: Đại cương về phương trình ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm20 BT SGK 97 FAQ

Phương trình, một khái niệm hết sức quen thuộc mà các em được được học từ tiểu học qua những bài toán tìm x và xuyên suốt chương trình cấp 2, nổi bậc là phương trình bậc hai và định lý Vi-et. Trong chương trình đại số 10, các em sẽ lần lượt được tìm hiểu các dạng phương trình, hệ phương trình và những phương pháp giải của chúng. Mở đầu, các em cùng tìm hiểu bài học Đại cương về phương trình.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

1.2. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 1 chương 3 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm đại cương về phương trình

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao đại cương về phương trình

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 3 đại số 10

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định lần lượt là \({{\rm{D}}_f}\) và \({{\rm{D}}_g}\). Đặt \({\rm{D}} = {D_f} \cap {D_g}.\) Mệnh đề chứa biến "\(f(x) = g(x)\)" được gọi là phương trình một ẩn ; \(x\) được gọi là ẩn số (hay ẩn) và \({\rm{D}}\) gọi là tập xác định của phương trình.

\({x_0} \in D\) gọi là một nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) nếu "\(f(x) = g(x)\)" là mệnh đề đúng.

Chú ý: Các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

1.2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

a) Phương trình tương đương

Hai phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Leftrightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\).

• Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

b) Phương trình hệ quả

\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) gọi là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).

Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Rightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)

c) Các định lý

Định lý 1: Cho phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có tập xác định \({\rm{D}}\); \(y = h\left( x \right)\) là hàm số xác định trên \({\rm{D}}\). Khi đó trên \({\rm{D}}\), phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

\(1)\,\,f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)

\(2)\,\,f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right)\) nếu \(h\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in D\)

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\).

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định.
• Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu được phương trình tương đương.
• Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Bài tập minh họa

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

• \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định là \(f\left( x \right) \ge 0\)
• \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định là \(f\left( x \right) \ne 0\)
• \(\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\) xác định là \(f\left( x \right) > 0\)

Ví dụ 1:

Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

a) \(x + \frac{5}{{{x^2} - 4}} = 1\)

b) \(1 + \sqrt {3 - x} = \sqrt {x - 2} \)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện xác định của phương trình là \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne \pm 2.\)

b) Điều kiện xác định của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - x \ge 0}\\{x - 2 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 3}\\{x \ge 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\)

Ví dụ 2:

Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) \(4x + \sqrt {4x - 3} = 2\sqrt {3 - 4x} + 3\)

b) \(\sqrt { - {x^2} + 6x - 9} + {x^3} = 27\)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện xác định của phương trình là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{\rm{x}} - 3 \ge 0}\\{3 - 4{\rm{x}} \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{3}{4}}\\{x \le \frac{3}{4}}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}} \right.\)

Thử vào phương trình thấy \(x = \frac{3}{4}\) thỏa mãn

Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}.\)

b) Điều kiện xác định của phương trình là \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0 \Leftrightarrow - {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Thay \({\rm{x}} = 3\) vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 3 \right\}.\)

DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ

Phương pháp giải:

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng

• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ 3:

Tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(1 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{{x^2} - x - 6}}\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} - \sqrt {x - 2} \)

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}\\{{x^2} - x - 6 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}\\{x \ne - 2}\end{array}} \right.\)

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

\(1 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) + x + 2 = 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \({\rm{x}} = - 3\).

b) ĐKXĐ: \({\rm{x}} > 2\)

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

\({x^2} = 1 - \left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{2}\)

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2:

Tìm \(m\) để cặp phương trình sau tương đương

\(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0\) (1) và \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 3x + {m^2} - 15 = 0\) (2)

Hướng dẫn:

Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {mx - m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{mx - m + 2 = 0}\end{array}} \right.\)

Do hai phương trình tương đương nên \(x = 1\) là nghiệm của phương trình (2)

Thay \(x = 1\) vào phương trình (2) ta được

\(\left( {m - 2} \right) - 3 + {m^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = - 5}\end{array}} \right.\)

• Với \(m = - 5\) : Phương trình (1) trở thành \( - 5{x^2} + 12x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{7}{5}}\end{array}} \right.\)

Phương trình (2) trở thành \( - 7{x^2} - 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - \frac{{10}}{7}}\end{array}} \right.\)

Suy ra hai phương trình không tương đương

• Với \(m = 4\) : Phương trình (1) trở thành \(4{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Phương trình (2) trở thành \(2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy \(m = 4\)thì hai phương trình tương đương.

3. Luyện tập Bài 1 chương 3 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về khái niệm cơ bản nhất đại cương về phương trình. Về các thuật ngữ có vẻ hết sức quen thuộc. Khái niệm Phương trình các em đã bước đầu được tìm hiểu ở chương trình Toán lớp 8, lên bậc THPT chúng ta sẽ được học nâng cao hơn, các em cần tìm hiểu thêm.

3.1 Trắc nghiệm đại cương về phương trình

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\frac{5}{{{x^2} - x - 1}} = \sqrt[3]{x}.\)

  • A. \(x \ge 2\)
  • B. \(x \in \emptyset \)
  • C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\\begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array}\end{array}} \right.\)
  • D. \(x \ne \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

• Câu 2:

  Tìm điều kiện xác định của phương trình \(1 + \sqrt {2x - 4} = \sqrt {2 - 4x} .\)

  • A. \(x \ge 2\)
  • B. \(x \in \emptyset \)
  • C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\\begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array}\end{array}} \right.\)
  • D. \(x \ne \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

• Câu 3:

  Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x - 1} + x = 1.\)

  • A. \(x \ge \frac{3}{4}\)
  • B. \(x \in \emptyset \)
  • C. \(x = 2\)
  • D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao đại cương về phương trình

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 57 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 57 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 57 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 57 SGK Đại số 10

Bài tập 3.1 trang 56 SBT Toán 10

Bài tập 3.2 trang 56 SBT Toán 10

Bài tập 3.3 trang 56 SBT Toán 10

Bài tập 3.4 trang 57 SBT Toán 10

Bài tập 3.5 trang 57 SBT Toán 10

Bài tập 3.6 trang 57 SBT Toán 10

Bài tập 3.7 trang 57 SBT Toán 10

Bài tập 3.8 trang 57 SBT Toán 10

Bài tập 3.9 trang 57 SBT Toán 10

Bài tập 3.10 trang 58 SBT Toán 10

Bài tập 3.11 trang 58 SBT Toán 10

Bài tập 3.12 trang 58 SBT Toán 10

Bài tập 1 trang 71 SGK Toán 10 NC

Bài tập 2 trang 71 SGK Toán 10 NC

Bài tập 3 trang 71 SGK Toán 10 NC

Bài tập 4 trang 71 SGK Toán 10 NC

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 3 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Toán 10 Ôn tập chương 3 Phương trình, hệ phương trình ADSENSE TRACNGHIEM Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

Toán 10

Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 10 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Toán 10 CTST

Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Toán 10

Ngữ văn 10

Ngữ Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 10 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 10 Cánh Diều

Soạn Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 10 Chân Trời Sáng tạo

Soạn Văn 10 Cánh Diều

Văn mẫu 10

Tiếng Anh 10

Giải Tiếng Anh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải Tiếng Anh 10 CTST

Giải Tiếng Anh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CTST

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CD

Giải Sách bài tập Tiếng Anh 10

Vật lý 10

Vật lý 10 Kết Nối Tri Thức

Vật lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Lý 10 CTST

Giải bài tập Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Vật Lý 10

Hoá học 10

Hóa học 10 Kết Nối Tri Thức

Hóa học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Hóa học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Hóa 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Hóa 10 CTST

Giải bài tập Hóa 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Hóa 10

Sinh học 10

Sinh học 10 Kết Nối Tri Thức

Sinh học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Sinh 10 CTST

Giải bài tập Sinh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Sinh học 10

Lịch sử 10

Lịch Sử 10 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 10 Chân Trời Sáng Tạo

Lịch Sử 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lịch Sử 10 KNTT

Giải bài tập Lịch Sử 10 CTST

Giải bài tập Lịch Sử 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Lịch sử 10

Địa lý 10

Địa Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Địa Lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Địa Lý 10 KNTT

Giải bài tập Địa Lý 10 CTST

Giải bài tập Địa Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Địa lý 10

GDKT & PL 10

GDKT & PL 10 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 10 Chân Trời Sáng Tạo

GDKT & PL 10 Cánh Diều

Giải bài tập GDKT & PL 10 KNTT

Giải bài tập GDKT & PL 10 CTST

Giải bài tập GDKT & PL 10 CD

Trắc nghiệm GDKT & PL 10

Công nghệ 10

Công nghệ 10 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 10 Chân Trời Sáng Tạo

Công nghệ 10 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 10 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 10 CTST

Giải bài tập Công nghệ 10 CD

Trắc nghiệm Công nghệ 10

Tin học 10

Tin học 10 Kết Nối Tri Thức

Tin học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Tin học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 10 KNTT

Giải bài tập Tin học 10 CTST

Giải bài tập Tin học 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 10

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 10

Tư liệu lớp 10

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi giữa HK1 lớp 10

Đề thi giữa HK2 lớp 10

Đề thi HK1 lớp 10

Đề thi HK2 lớp 10

Đề cương HK1 lớp 10

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tập hợp

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 1: Mệnh đề

Soạn bài Ra-ma buộc tội - Ngữ văn 10 Tập 1 Cánh Diều

Soạn bài Chữ người tử tù - Nguyễn Tuân - Ngữ văn 10 KNTT

Soạn bài Thần Trụ Trời - Ngữ văn 10 CTST

Văn mẫu về Cảm xúc mùa thu (Thu hứng)

Văn mẫu về Bình Ngô đại cáo

Văn mẫu về Chữ người tử tù

Văn mẫu về Tây Tiến

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>