Toán 10 - Mệnh đề Toán Học - O₂ Education

Toán 10 – Mệnh đề toán học

Bài này giới thiệu Lý thuyết và các ví dụ về Mệnh đề toán học trong chương trình Toán 10. Phần bài tập, mời các em tham khảo tại bài viết Bài tập Mệnh đề toán học.

1. Khái niệm mệnh đề

Trong thực tế cuộc sống, ta thường gặp các phát biểu [khẳng định] về một sự kiện, hiện tượng, tính chất nào đó, mà tính đúng — sai rất rõ ràng, chẳng hạn: “Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau”, “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”, “Số $ \pi $ là số vô tỉ”…

Những khẳng định này có một đặc điểm chung, đó là tính đúng — sai hoàn toàn xác định, chúng ta có thể biết được khẳng định đó hoặc là đúng, hoặc là sai, mà không phụ thuộc vào ý kiến chủ quan của người phát biểu. Người ta gọi đó là những mệnh đề toán học hoặc mệnh đề logic hay gọi tắt là mệnh đề, và định nghĩa như sau:

Mệnh đề là một câu khẳng định [phát biểu] đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa, chẳng hạn

$ P $: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”.

Một khẳng định đúng được gọi là một mệnh đề đúng, một khẳng định sai được gọi là một mệnh đề sai. Ví dụ, “Số $ \pi $ là số vô tỉ” là một mệnh đề đúng, còn “Phương trình $ x^2+1=0 $ có nghiệm” là một mệnh đề sai.

Các câu mệnh lệnh, câu hỏi không có tính đúng sai, còn câu cảm thán thì tính đúng sai còn phụ thuộc vào ý kiến chủ quan của từng cá nhân, nên chúng không là các mệnh đề. Chẳng hạn, phát biểu “Trời mưa ở Nam Định vào ngày 01/4/2021” là một mệnh đề, trong khi “Có phải hôm nay trời mưa?” hoặc “Trời mưa to quá!” không phải là mệnh đề.

Ngoài ra còn có các khẳng định mà không thể xác định được tính đúng sai, mời bạn xem tại bài Một số phát biểu không phải mệnh đề.

Ví dụ 1. Các khẳng định sau có là mệnh đề không? Nếu có, thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai.

• $ A: $ “12 là số nguyên tố.”
• $ B: $ “$ \pi $ không là số hữu tỉ.”
• $ C: $ “Cấm hút thuốc lá!”
• $ D: $ “Bài tập này khó quá!”
• $ E: $ “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau.”
• $ F: $ “Một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác đó cân và có một góc bằng $ 60^\circ$.”
• $ G: $ “Tổng các góc trong một tam giác bằng $ 360^\circ. $”

2. Mệnh đề phủ định

Khi làm việc với các mệnh đề, chúng ta rất hay gặp các cặp mệnh đề mà tính đúng — sai của chúng trái ngược nhau, chẳng hạn, xét mệnh đề $ P: $ “Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau.” thì phát biểu “Hình thoi không có bốn cạnh bằng nhau.” hoặc “Không phải hình thoi có bốn cạnh bằng nhau”. Chúng được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề $ P $, vì mệnh đề $ P $ đúng nên mệnh đề phủ định của nó sai.

Mệnh đề “Không phải $ P $” là mệnh đề phủ định của mệnh đề $ P, $ kí hiệu $ \overline{P}. $ Nếu $ P $ đúng thì $ \overline{P} $ sai và ngược lại.

Để tạo ra mệnh đề phủ định từ một mệnh đề cho trước, chúng ta chỉ việc thêm vào trước mệnh đề đã cho cụm từ “không phải”, hoặc ta tìm những từ ngữ trái nghĩa để phát biểu. Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định mệnh:

• $ P: $ “Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau.”
• $ Q: $ “Phương trình $ x^4+1=0 $ vô nghiệm.”
• $ R: $ “$\sqrt{2}>\frac{3}{2}$.”
• $ S: $ “$(\sqrt{2}-\sqrt{18})^2>8$.”
• $ T: $ “Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.”
• $ U: $ “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.”

Xem thêm Cách lập mệnh đề phủ định

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương

Khi chứng minh một bài toán, hầu hết các mệnh đề chúng ta sử dụng có dạng “Nếu — thì”, chúng được gọi là các mệnh đề kéo theo.

Cho hai mệnh đề $P$ và $ Q $, mệnh đề “Nếu $ P $ thì $ Q $” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là “$ P\Rightarrow Q$”.

Tính đúng — sai của mệnh đề kéo theo được xác định như sau, mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” sai khi $ P $ đúng, $ Q $ sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Chẳng hạn,

• Nếu $ P $ là “25 là một số chính phương”, và $ Q $ là “25 là một hợp số”, thì mệnh đề $ P\RightarrowQ $ là đúng vì cả $ P $ và $ Q $ đều đúng.
• Nếu $ P $ là “25 là một số chính phương”, và $ Q $ là “25 là một số nguyên tố”, thì mệnh đề $ P\RightarrowQ $ là sai vì $ P $ đúng còn $ Q $ đều sai.
• Nếu $ P $ là “25 là một số nguyên tố”, và $ Q $ là “25 là một số chẵn”, thì mệnh đề $ P\RightarrowQ $ là đúng vì cả $ P $ và $ Q $ đều sai. Hơn nữa, nếu mệnh đề $ P $ sai thì mệnh đề $ P\Rightarrow Q$ luôn luôn đúng.

Chúng ta xét hai mệnh đề sau, $ P $: “Hai tam giác bằng nhau” và $ Q $: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau”.

Khi đó, mệnh đề “$ P \Rightarrow Q$” là: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác có diện tích bằng nhau”.

Ta thấy, nếu có $ P $, tức là nếu có điều kiện “hai tam giác bằng nhau” thì đủ để suy ra chúng có diện tích bằng nhau, tức là suy ra $ Q $; còn nếu có diện tích bằng nhau thì chưa đủ để suy ra chúng bằng nhau. Nói là chưa đủ tức là cần phải có thêm một số điều kiện nữa, chẳng hạn chúng phải đồng dạng, mới đủ để suy ra chúng bằng nhau. Nhưng nếu không có điều kiện diện tích bằng nhau thì không thể có chuyện chúng bằng nhau được, tức là có diện tích bằng nhau là điều kiện cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra chúng bằng nhau.

Trong trường hợp tổng quát, $ P $ gọi là giả thiết, $ Q $ gọi là kết luận, hoặc:

• $ P $ là điều kiện đủ để có $ Q,$
• $ Q$ là điều kiện cần để có $ P. $

Để hiểu rõ hơn về điều kiện cần, điều kiện đủ mời các em xem trong bài Điều kiện cần và đủ là gì?

Cho mệnh đề “$ P\Rightarrow Q$”. Mệnh đề “$ Q\Rightarrow P $” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề “$ P\Rightarrow Q $”.

Ví dụ 3. Phát biểu mệnh đề đảo của các định lí sau, xét xem chúng đúng hay sai.

A: “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì là hình thoi.”B: “Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông”

Cho hai mệnh đề $P$ và $ Q $. Mệnh đề “$ P $ nếu và chỉ nếu $ Q $” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là “$ P\Leftrightarrow Q $”. Mệnh đề “$ P\Leftrightarrow Q $” đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề $ P $ và $ Q $ đều đúng hoặc đều sai.

Khi đó, chúng ta nói rằng “$ P $ là điều kiện cần và đủ để có $ Q$”.

Ví dụ 4. Lập mệnh đề đảo của các định lí sau và cho biết các mệnh đề này đúng hay sai. Sử dụng mệnh đề tương đương, nếu được.

• “Nếu tứ giác là hình vuông thì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau”.
• “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác ấy đồng dạng và có một cạnh bằng nhau”.
• “Nếu hai số nguyên lẻ thì tích của chúng là số lẻ”.

Hướng dẫn.

• Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác là hình vuông”. Mệnh đề này sai vì hình thoi cũng có 4 cạnh bằng nhau nhưng không phải là hình vuông.
• Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu hai tam giác đồng dạng và có một cạnh bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau”. Mệnh đề này sai vì hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $ có các cạnh tương ứng là 3, 4,6 và 6, 8, 12 thì đồng dạng và có một cạnh bằng nhau là 6 nhưng không bằng nhau.
• Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu tích của hai số nguyên là lẻ thì hai số nguyên là lẻ”. Mệnh đề này đúng, do đó có thể phát biểu: “Hai số nguyên là lẻ khi và chỉ khi tích của chúng là số lẻ”.

Phương pháp chứng minh phản chứng

Một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các mệnh đề dạng “$ A\Rightarrow B $” là phương pháp phản chứng. Cụ thể, để chứng minh mệnh đề “$ A\Rightarrow B $” là đúng ta chứng minh mệnh đề “$ \overline{B}\Rightarrow \overline{A} $” đúng.

Ví dụ 5. Chứng minh nếu tích hai số nguyên $ a $ và $ b $ là lẻ thì $ a $ và $ b $ đều là số lẻ.

Hướng dẫn. Giả sử ngược lại, không phải $ a $ và $ b $ đều lẻ, tức là $ a $ chẵn hoặc $ b $ chẵn. Khi đó $ ab $ chẵn, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nếu tích hai số nguyên $ a $ và $ b $ là lẻ thì $ a $ và $ b $ là lẻ.

Ví dụ 6. Cho $ a,b,c $ là ba số thực bất kì, chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:$$ a^2+b^2\geqslant 2bc ,\quad b^2+c^2\geqslant 2ca,\quad c^2+a^2\geqslant 2ab $$

Hướng dẫn. Giả sử ngược lại, cả ba bất đẳng thức đều sai, tức là “$ a^2+b^2<2bc $”, “$ b^2+c^2<2ca $”, “$ c^2+a^2< 2ab $”. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên đươc \[ a^2+b^2+c^2<2bc+2ca+2ab. \] Suy ra $ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2<0, $ điều này là vô lý. Vậy điều ta giả sử là sai, tức là có ít nhất một trong ba bất đẳng thức đã cho là đúng.

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng cho sáu điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là ba đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được tô cùng một màu.

Hướng dẫn. Xét $ A $ là một trong số sáu điểm đã cho. Khi đó xét năm đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm $ A $ với năm điểm còn lại). Vì mỗi đoạn thẳng chỉ được tô hoặc màu đỏ hoặc màu xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử là các đoạn $ AB_1, AB_2, AB_3 $ và có thể cho rằng chúng cùng màu xanh. Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

• Nếu ít nhất một trong ba đoạn $ B_1B_2, B_2B_3, B_3B_1 $ màu xanh thì tồn tại một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này.
• Nếu không phải như vậy, tức là $ B_1B_2, B_2B_3, B_3B_1 $ màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là $ B_1, B_2, B_3, $ vì $ B_1B_2B_3 $ là tam giác với ba cạnh đỏ.

3. Mệnh đề chứa biến

Xét phát biểu: $$ x+2>0 $$ đây không phải là một mệnh đề, vì chúng ta chưa biết được tính đúng — sai của nó, tuy nhiên khi ta cho $ x $ một giá trị cụ thể nào đó, thì ta được một mệnh đề, chẳng hạn khi ta cho $ x=-2 $ thì được một mệnh đề sai “$ -2+2>0$”, còn khi cho $ x=1 $ ta lại được một mệnh đề đúng “$ 1+2>0 $”.

Những phát biểu có dạng như phát biểu trên được gọi là các mệnh đề chứa biến.

Những phát biểu mà tính đúng — sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được gọi là những mệnh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến $ P(x) $ là một phát biểu chứa biến $ x, $ mà với mỗi giá trị của biến $ x $ thì ta được một mệnh đề.

Ví dụ 8. Tìm $ x $ để các mệnh đề sau là đúng.

• “$ x $ là số tự nhiên nhỏ hơn 15 và chia hết cho 3”
• “$ 2x^2-5x+2=0 $”
• “$ x $ là số dương thỏa mãn $ (x-2)^2>x^2+13 $”
• “$ x $ không thỏa mãn phương trình $ (2x-5)(x+6)=0 $”

Cho mệnh đề chứa biến $ P(x) $ với $ x\in \mathbb{D} $ thì phát biểu:

• “Với mọi $ x\in \mathbb{D}, P(x) $ đúng” là một mệnh đề, kí hiệu là “$ \forall x\in \mathbb{D},P(x) $”. Mệnh đề này sai nếu có ít nhất một $ x_0\in \mathbb{D} $ sao cho $ P(x_0) $ sai.
• “Tồn tại $ x\in \mathbb{D}, P(x) $ đúng” là một mệnh đề, kí hiệu là “$ \exists x\in \mathbb{D},P(x) $”. Mệnh đề này đúng nếu có ít nhất một $ x_0\in \mathbb{D} $ sao cho $ P(x_0) $ đúng.

Để lập mệnh đề phủ định của hai mệnh đề trên, ta hãy xem xét một mệnh đề cụ thể sau

“Mọi học sinh lớp 10A5 cao trên $ 1{,}6 $ m.”

Mệnh đề này đúng hay sai? Mệnh đề phủ định của nó là gì? Mệnh đề phủ định là “Không phải mọi học sinh lớp 10A5 cao trên 1,6m”. Điều đó nghĩa là gì? Nghĩa là “Có ít nhất một học sinh lớp 10A5 không cao trên 1,6m”. Nói cách khác, tức là “Tồn tại học sinh lớp 10A5 không cao trên 1,6m”. Từ đó, ta có kết luận trong trường hợp tổng quát như sau:

Mệnh đề phủ định của “$ \forall x\in \mathbb{D},P(x) $” là “$ \exists x\in \mathbb{D},\overline{P(x)}$”.Mệnh đề phủ định của “$ \exists x\in \mathbb{D},P(x) $” là “$ \forall x\in \mathbb{D},\overline{P(x)}. $”

Mời thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm trong bài Cách lập mệnh đề phủ định.

Ví dụ 9. Các mệnh đề sau đúng hay sai và phủ định các mệnh đề ấy:

• “$ \forall x, x^2+x+1>0 $”
• “$ \forall x, x^2\geqslant x $”
• “$ \forall x, x^2-3x+2=0 $”
• “$ \exists x, x^3-4x^2+3x-3>0 $”
• “$ \exists x,x^2+4x+5=0 $”
• “$ \forall n\in \mathbb{N}, (2n+1)^2-1 $ chia hết cho 4”