Toán 10 - Xét Sự Biến Thiên Của Hàm Số - O₂ Education

Xét sự biến thiên của hàm số lớp 10

Với hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$, chúng ta có hai đại lượng thay đổi là $x$ và $y$. Nếu chúng thay đổi “cùng chiều” (cùng tăng hoặc cùng giảm) ta có hàm số đồng biến, nếu chúng thay đổi “ngược chiều” ta có hàm số nghịch biến. Do sự thay đổi của $y$ phụ thuộc vào $x$ nên ta có thể chọn $x$ thay đổi từ nhỏ đến lớn để xét sự thay đổi của $y$.

Xem thêm:

• Tìm tập xác định của hàm số
• Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

1. Xét sự biến thiên của hàm số

1.1. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{K}$ (là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn).

• Hàm số đó được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$.
• Hàm số đó được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến hoặc có thể không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó trong tập xác định của nó.

Xét theo hướng từ trái qua phải (tức là chiều tăng của đối số $x$) thì:

• Đồ thị hàm số đồng biến có hướng đi lên (tăng).
• Đồ thị hàm số nghịch biến có hướng đi xuống (giảm).

Từ định nghĩa, ta có các cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)$  trên $\mathbb{K}$.

1.2. Cách xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Cách 1. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng định nghĩa. Sử dụng giả thiết ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, đánh giá trực tiếp và so sánh $f(x_1)$ với $f(x_2)$.

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\sqrt{1-2x}$ trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Ta có, $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ,\left. \frac{1}{2} \right] \right.,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $$1-2{{x}_{1}}>1-2{{x}_{2}}\geqslant 0 \Rightarrow \sqrt{1-2{{x}_{1}}}>\sqrt{1-2{{x}_{2}}}$$ hay hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Cách 2. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng xét dấu tỷ số biến thiên $$T=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ và ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$.

• Nếu $T > 0$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{K}$;
• Nếu $T < 0$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{K}$.

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y = f(x) = x + 3$.

Hướng dẫn.

• Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
• Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align} T&= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= \frac{{({x_1} + 3) – ({x_2} + 3)}}{{{x_1} – {x_2}}} = 1 > 0, \forall x\in \mathbb{R} \end{align}
• Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $ y = f(x) = x^3 + 2x + 8.$

Hướng dẫn.

• Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
• Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align} T &= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= \frac{{(x_1^3 + 2{x_1} + 8) – (x_2^3 + 2{x_2} + 8)}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= \frac{{(x_1^3 – x_2^3) + (2{x_1} – 2{x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 + 2\\ &= \frac{1}{2}(x_1 + x_2)^2 + \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) + 2 > 0, \forall x\in \mathbb{R}. \end{align}
• Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.

Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$ trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$ và $\left( 2;+\infty  \right)$.

Xét tỉ số biến thiên \begin{align} T&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\ &=\frac{\frac{3{{x}_{1}}+1}{{{x}_{1}}-2}-\frac{3{{x}_{2}}+1}{{{x}_{2}}-2}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\ &=\frac{\left( 3+\frac{7}{{{x}_{1}}-2} \right)-\left( 3+\frac{7}{{{x}_{2}}-2} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\& =-\frac{7}{\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)} \end{align}

Suy ra với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;\,2 \right)$ hoặc ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2;+\infty  \right)$ thì $T < 0$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$,$\left( 2;+\infty  \right)$.

Cũng có thể xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số một cách gián tiếp thông qua tính đồng biến nghịch biến của các hàm số quen thuộc hoặc đã được xét trước đó.

Chẳng hạn ta dễ dàng có các tính chất sau: tổng của hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến (nghịch biến) trên đó; tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến trên đó…

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f(x) = \sqrt {{x^2} + 2}$.

Hướng dẫn.

• Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}$.
• Với $ x_1, x_2 \in \mathcal{D} $ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align} T&=\frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &=\frac{{\sqrt {x_1^2 + 2} – \sqrt {x_2^2 + 2} }}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &=\frac{{(x_1^2 + 2) – (x_2^2 + 2)}}{{({x_1} – {x_2})(\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} )}}\\ &=\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} }}. \end{align}
• Khi đó:
  • Nếu $x_1, x_2 >$ 0 thì $ T > 0$ và do đó hàm số đồng biến trên $ (0; +\infty)$.
  • Nếu $ x_1, x_2 < 0$ thì $ T < 0$ suy ra hàm số nghịch biến trên $ (-\infty; 0)$.

Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn. Ta có hàm số đã cho có tập xác định là $\mathcal{D}=\left[ -\frac{3}{2};+\infty  \right)$.

Các hàm số $y={{x}^{3}}$ và $y=\sqrt{2x+3}$ đều là các hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$ nên hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ là hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$.

Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

1. $f(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x-3}$;
2. $g(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x+3}$.

2. Các ví dụ khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10

Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng $(1; +\infty)$

• $y = \frac{3}{x-1}$
• $y = x + \frac{1}{x}$

Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên tập xác định của nó:

• $y = \sqrt{3x-1}+\sqrt{x}$
• $y = x^3 +\sqrt{x}$

Bài 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra

• $f(x)=-2x^2-7$ trên khoảng $(-4,0)$ và trên khoảng $(3,10)$;
• $f(x)=\frac{x}{x-7}$ trên khoảng $(-\infty,7)$ và trên khoảng $(7,+\infty)$;
• $y=-3x+2$ trên $\mathbb{R}$;
• $y=x^2+10x+9$ trên khoảng $(-5,+\infty)$;
• $y=-\frac{1}{x+1}$ trên khoảng $(-3,-2)$ và $(2,3)$.

Bài 4. Xét tính đồng biến hay nghịch biến của các hàm số trên khoảng cho trước:

• $y=\sqrt{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$;
• $y=\frac{1}{x+2}$ trên $\left( -\infty ;-2 \right)$;
• $y={{x}^{2}}-3x$ trên $\left( 2;+\infty \right)$;
• $y={{x}^{3}}+2x-1$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$;
• $y={{x}^{3}}-3x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$;
• $y=\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.

Bài 5. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\frac{x}{x-2} $ trên tập xác định của nó.

Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\big| x+|2x-1|\big|$ trên tập xác định của nó.