Toán 11 Bài 2: Dãy Số

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 11 Chương 3: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Toán 11 Bài 2: Dãy số ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm24 BT SGK 124 FAQ

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới, cơ sở để các em học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11 là dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Dãy số

1.2. Cách cho dãy số

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

1.4. Dãy số bị chặn

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 2 chương 3 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về dãy số

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về dãy số

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 3 giải tích 11

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Dãy số

- Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

- Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

+ Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

+ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

1.2. Cách cho dãy số

- Người ta thường cho dãy số theo các cách:

+ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

+ Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

- Cho một vài số hạng đầu của dãy

- Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

1.4. Dãy số bị chặn

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

- Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

- Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

Bài tập minh họa

Vấn đề 1: Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

b) Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).

Ví dụ 2:

Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\);

c) Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)

\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} - 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)

* Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} - 3) + 3 = {2^{k + 2}} - 3\) đpcm.

c) Ta xét phép chia của \(n\) cho 3

* \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} - 1) - 1\)

Do \({2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} - 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} - 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.

Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

Để xét tính đơn điệu của dãy số \(({u_n})\) ta xét : \({k_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

* Nếu \({k_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

* Nếu \({k_n} < 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

Khi \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\) ta có thể xét \({t_n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

* Nếu \({t_n} > 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

* Nếu \({t_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ 3:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{{1 - {u_{n - 1}}}}{2}\)

Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Thật vậy:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Suy ra \({u_n} - {u_{n - 1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n - 1}}{\rm{ }}\forall n \ge 2\) hay dãy (un) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: \(1 < {u_n} < {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

3. Luyện tập Bài 2 chương 3 giải tích 11

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới, cơ sở để các em học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11 là dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này.

3.1 Trắc nghiệm về dãy số

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tìm số hạng thứ 100 và 200 của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}.\)

  • A. \({u_{100}} = \frac{7}{{34}}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}\)
  • B. \({u_{100}} = \frac{{67}}{{34}}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{22}}\)
  • C. \({u_{100}} = \frac{{67}}{4}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}\)
  • D. \({u_{100}} = \frac{{67}}{{34}}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}\)

• Câu 2:

  Dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

  • A. 1
  • B. 12
  • C. 2
  • D. 0

• Câu 3:

  Dãy số \({u_n} = 2n + \sqrt {{n^2} + 4} \)có bao nhiêu số hạng làng số nguyên.

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 0

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về dãy số

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3.9 trang 117 SBT Toán 11

Bài tập 3.10 trang 117 SBT Toán 11

Bài tập 3.11 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 3.12 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 3.13 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 3.14 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 3.15 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 3.16 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 3.17 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 9 trang 105 SGK Toán 11 NC

Bài tập 10 trang 105 SGK Toán 11 NC

Bài tập 11 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 12 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 13 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 14 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 25 trang 109 SGK Toán 11 NC

Bài tập 16 trang 109 SGK Toán 11 NC

Bài tập 17 trang 109 SGK Toán 11 NC

Bài tập 18 trang 109 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Toán 11 Bài 3 :Cấp số cộng Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân ADSENSE TRACNGHIEM Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

Toán 11

Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 11 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 11 KNTT

Giải bài tập Toán 11 CTST

Trắc nghiệm Toán 11

Ngữ văn 11

Ngữ Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 11 Cánh Diều

Soạn Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Văn mẫu 11

Tiếng Anh 11

Tiếng Anh 11 Kết Nối Tri Thức

Tiếng Anh 11 Chân Trời Sáng Tạo

Tiếng Anh 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 CTST

Tài liệu Tiếng Anh 11

Vật lý 11

Vật lý 11 Kết Nối Tri Thức

Vật Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 11 Cánh Diều

Giải bài tập Vật Lý 11 KNTT

Giải bài tập Vật Lý 11 CTST

Trắc nghiệm Vật Lý 11

Hoá học 11

Hoá học 11 Kết Nối Tri Thức

Hoá học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Hoá Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Hoá 11 KNTT

Giải bài tập Hoá 11 CTST

Trắc nghiệm Hoá học 11

Sinh học 11

Sinh học 11 Kết Nối Tri Thức

Sinh Học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh học 11 KNTT

Giải bài tập Sinh học 11 CTST

Trắc nghiệm Sinh học 11

Lịch sử 11

Lịch Sử 11 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Sử 11 KNTT

Giải bài tập Sử 11 CTST

Trắc nghiệm Lịch Sử 11

Địa lý 11

Địa Lý 11 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Địa 11 KNTT

Giải bài tập Địa 11 CTST

Trắc nghiệm Địa lý 11

GDKT & PL 11

GDKT & PL 11 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập KTPL 11 KNTT

Giải bài tập KTPL 11 CTST

Trắc nghiệm GDKT & PL 11

Công nghệ 11

Công nghệ 11 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 11 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 11 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Công nghệ 11

Tin học 11

Tin học 11 Kết Nối Tri Thức

Tin học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 11 KNTT

Giải bài tập Tin học 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 11

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 11

Tư liệu lớp 11

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi HK2 lớp 12

Đề thi giữa HK1 lớp 11

Đề thi giữa HK2 lớp 11

Đề thi HK1 lớp 11

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Công nghệ 11 Bài 16: Công nghệ chế tạo phôi

Tràng Giang

Đây thôn Vĩ Dạ

Cấp số cộng

Cấp số nhân

Văn mẫu và dàn bài hay về bài thơ Đây thôn Vĩ Dạ

Hàm số liên tục

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>