Toán 11 Bài 3 - I. Cấp Số Cộng - KhoiA.Vn

Cụ thể, cấp số cộng là gì? công thức tính của cấp số cộng ra sao? Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng thế nào? công sai d của cấp số cộng là gì? chúng ta sẽ đi tìm hiểu trong bài viết này.

I. Cấp số cộng

1. Định nghĩa cấp số cộng

• Cấp số cộng là gì? công sai của cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

- Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

• Công thức truy hồi của cấp số cộng

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

 un+1 = un + d với n∈N*   (1)

- Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

* Ví dụ: Dãy số 1; 5; 9; 13; 17 là cấp số cộng vì:

 5 = 1 + 4

 9 = 5 + 4

 13 = 9 + 4

 17 = 13 + 4

 21 = 117 + 4

Đây là cấp số cộng có công sai d = 4 và số hạng đầu là u1 = 1.

II. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

• Định lý 1:

- Nếu cấp số cộng (un)có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

 un = u1 + (n−1)d ; n≥2   (2)

* Ví dụ: Cho cấp số cộng (un) biết u1 = -5, d = 3 tìm u10.

> Lời giải:

- Theo công thức số hạng tổng quát.

 un = u1 + (n - 1).d

 với n = 10; u1 = -5 và d = 3 ta được:

 u10 = -5 + (10 - 1).3 = -5 + 9.3 = 22.

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

• Định lý 2:

- Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

    (3)

* Ví dụ: Cho ba số 5; x; 13 theo thứ tự lập thành cấp số cộng, tìm x.

> Lời giải:

- Theo tính chất cấp số cộng, ta có:

 

Vậy x = 9.

IV. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

• Công thức tính tổng của cấp số cộng

• Định lý 3:

- Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn=u1 + u2 + u3 + ... + un

Khi đó:    (4)

> Chú ý: Vì un = u1 + (n−1)d nên công thức (4) có thể viết:

 

* Ví dụ: Cho cấp số cộng thỏa mãn u1 = -1, d = 5. Tính S10.

> Lời giải:

- Theo công thức tính tổng n số đầu, ta có: 

 Với n = 10, u1 = -1, d = 5 ta được: