Toán 11 Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 11 Chương 1: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm36 BT SGK 511 FAQ

Nội dung bài Một số phương trình lượng giác thường gặp sẽ giới thiệu đên các em dạng và phương pháp giải các Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác, Phương trình bậc hai đối với sin-cos-tan-cot, Phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm vững được nội dung phần này, tạo nên tảng để giải các phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

1.2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

1.3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 3 chương 1 giải tích 11

3.1 Trắc nghiệm

3.2 Bài tập SGK

4. Hỏi đáp bài 3 chương 1 giải tích 11

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

a) Định nghĩa:

- Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a,b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\)và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ:

\(\begin{array}{l} 2\sin x - 1 = 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ 3\tan x - 1 = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \end{array}\)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

1.2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

a) Dạng phương trình

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)

b) Cách giải:

- Đặt: \(t = \sin x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)

\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)

c) Chú ý:

- Nếu a là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = \(\alpha + \)kp thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).

- Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) \(\ne\) 0 và cosQ(x) \(\ne\) 0.

1.3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a) Dạng phương trình \(a\sin x + b\cos x = c{\rm{ (1)}}\)

- Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

b) Cách giải:

- Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

+ Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

+ Phương trình trở thành: \(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

+ Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

+ Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

+ Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

- Cách 2:

+ Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không

+ Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

+ Phương trình trở thành: \(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0{\rm{ (2)}}\)

+ Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x

- Cách 3:

+ Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)

+ Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\) \( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)

+ Đặt \(\sin \varphi = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).

Bài tập minh họa

Ví dụ: 1

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)

c) \(3\tan x - 1 = 0.\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)

e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 - 2\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)

c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0(1)\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:

\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:

\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x - 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

*) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)

Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) (*)

(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)

Đặt \(t = \tan x\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với \(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),

\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)

(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (1) là \(x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình (2) trở thành: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với\(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)

(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 \)

Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Luyện tập Bài 3 chương 1 giải tích 11

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về một số phương trình lượng giác thường gặp. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,....các em cần tìm hiểu thêm.

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Giải phương trình \(2\cos x - \sqrt 3 = 0.\)

  • A. \(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
  • B. \(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
  • C. \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
  • D. \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

• Câu 2:

  Giải phương tình \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0.\)

  • A. \(x = \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{9},k \in \mathbb{Z}.\)
  • B. \(x = \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)
  • C. \(x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{9},k \in \mathbb{Z}.\)
  • D. \(x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)

• Câu 3:

  Khẳng định nào sau đây là đúng về nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0.\)

  • A. Phương trình có một họ nghiệm.
  • B. Phương trình có hai họ nghiệm.
  • C. Phương trình có ba họ nghiệm
  • D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phương trình lượng giác thường gặp

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 1.25 trang 37 SBT Toán 11

Bài tập 1.26 trang 37 SBT Toán 11

Bài tập 1.27 trang 37 SBT Toán 11

Bài tập 1.28 trang 38 SBT Toán 11

Bài tập 1.29 trang 38 SBT Toán 11

Bài tập 1.30 trang 38 SBT Toán 11

Bài tập 1.31 trang 38 SBT Toán 11

Bài tập 1.32 trang 38 SBT Toán 11

Bài tập 1.33 trang 38 SBT Toán 11

Bài tập 1.34 trang 38 SBT Toán 11

Bài tập 1.35 trang 39 SBT Toán 11

Bài tập 1.38 trang 39 SBT Toán 11

Bài tập 1.36 trang 39 SBT Toán 11

Bài tập 1.37 trang 39 SBT Toán 11

Bài tập 27 trang 41 SGK Toán 11 NC

Bài tập 28 trang 41 SGK Toán 11 NC

Bài tập 29 trang 41 SGK Toán 11 NC

Bài tập 30 trang 41 SGK Toán 11 NC

Bài tập 31 trang 42 SGK Toán 11 NC

Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC

Bài tập 33 trang 42 SGK Toán 11 NC

Bài tập 34 trang 42 SGK Toán 11 NC

Bài tập 35 trang 42 SGK Toán 11 NC

Bài tập 36 trang 42 SGK Toán 11 NC

Bài tập 37 trang 46 SGK Toán 11 NC

Bài tập 38 trang 46 SGK Toán 11 NC

Bài tập 39 trang 46 SGK Toán 11

Bài tập 40 trang 46 SGK Toán 11 NC

Bài tập 41 trang 47 SGK Toán 11 NC

Bài tập 42 trang 47 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 1 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác ADSENSE TRACNGHIEM Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

Toán 11

Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 11 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 11 KNTT

Giải bài tập Toán 11 CTST

Trắc nghiệm Toán 11

Ngữ văn 11

Ngữ Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 11 Cánh Diều

Soạn Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Văn mẫu 11

Tiếng Anh 11

Tiếng Anh 11 Kết Nối Tri Thức

Tiếng Anh 11 Chân Trời Sáng Tạo

Tiếng Anh 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 CTST

Tài liệu Tiếng Anh 11

Vật lý 11

Vật lý 11 Kết Nối Tri Thức

Vật Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 11 Cánh Diều

Giải bài tập Vật Lý 11 KNTT

Giải bài tập Vật Lý 11 CTST

Trắc nghiệm Vật Lý 11

Hoá học 11

Hoá học 11 Kết Nối Tri Thức

Hoá học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Hoá Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Hoá 11 KNTT

Giải bài tập Hoá 11 CTST

Trắc nghiệm Hoá học 11

Sinh học 11

Sinh học 11 Kết Nối Tri Thức

Sinh Học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh học 11 KNTT

Giải bài tập Sinh học 11 CTST

Trắc nghiệm Sinh học 11

Lịch sử 11

Lịch Sử 11 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Sử 11 KNTT

Giải bài tập Sử 11 CTST

Trắc nghiệm Lịch Sử 11

Địa lý 11

Địa Lý 11 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Địa 11 KNTT

Giải bài tập Địa 11 CTST

Trắc nghiệm Địa lý 11

GDKT & PL 11

GDKT & PL 11 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập KTPL 11 KNTT

Giải bài tập KTPL 11 CTST

Trắc nghiệm GDKT & PL 11

Công nghệ 11

Công nghệ 11 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 11 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 11 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Công nghệ 11

Tin học 11

Tin học 11 Kết Nối Tri Thức

Tin học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 11 KNTT

Giải bài tập Tin học 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 11

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 11

Tư liệu lớp 11

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi HK2 lớp 12

Đề thi giữa HK1 lớp 11

Đề thi giữa HK2 lớp 11

Đề thi HK1 lớp 11

Tôi yêu em - Pu-Skin

Đề cương HK1 lớp 11

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Chí Phèo

Công nghệ 11 Bài 16: Công nghệ chế tạo phôi

Cấp số cộng

Cấp số nhân

Văn mẫu và dàn bài hay về bài thơ Đây thôn Vĩ Dạ

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>