Toán 11 - Chuyên đề Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 11›Hình Học Lớp 11 Toán 11 - Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

Câu 1. Cho ABC có a =12 ,b =15, c =13.

a. Tính số đo các góc của ABC .

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC .

c. Tính S , R , r .

d. Tính

h , hb , hc

Câu 2. Cho ABC có AB = 6, AC = 8 , góc A =  120 .

a. Tính diện tích ABC .

b. Tính cạnh BC và bán kính r .

Câu 3. Cho ABC có a b c = = = 8, 10, 13

a) ABC có góc tù hay không?

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC .

c) Tính diện tích ABC .

Câu 4. Cho ABC có các góc A B =  =  60 , 45 , b = 2 . Tính độ dài cạnh a c , , bán kính đường tròn

ngoại tiếp và diện tích tam giác.

22 trang

hoan89

1891

1 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán 11 - Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênSản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1 Mã đề 0108 CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC) Câu 1. Cho ABC có 12a = , 15b = , 13c = . a. Tính số đo các góc của ABC . b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC . c. Tính S , R , r . d. Tính ah , bh , ch Câu 2. Cho ABC có 6AB = , 8AC = , góc 120A =  . a. Tính diện tích ABC . b. Tính cạnh BC và bán kính r . Câu 3. Cho ABC có 8, 10, 13a b c= = = a) ABC có góc tù hay không? b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . c) Tính diện tích ABC . Câu 4. Cho ABC có các góc 60 , 45A B=  =  , 2b = . Tính độ dài cạnh ,a c , bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác. Câu 5. Cho tam giác ABC có 7,AC = 5,AB = 60BAC =  . Tính , , , . ABC aBC S h R Câu 6. Cho tam giác ABC có 4, 2, 3 = = =b cm m a . Tính độ dài các cạnh , . AB AC Câu 7. Cho tam giác ABC có 3, 4AB AC= = và diện tích 3 3S = . Tính cạnh BC . Câu 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC biết .4,3,2 === BCACAB Câu 9. Tínhh góc A của ABC có các cạnh cba ,, thỏa mãn hệ thức ( ) ( ).2222 cacabb −=− Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a. 2 2 2 2 2 2 tanA c a b tan B c b a + − = + − b. 2 2 1 cosC c (a b) 4S. sinC − = − + c. 2S 2R .sinA.sinB.sinC= d. 2 2 21 S AB .AC (AB.AC) 2 = − e.a b.cosC c.cosB= + f. 2 sinA p(p a)(p b)(p c) bc = − − − Cho . Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2 Mã đề 0108 Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR a. 2 2 2 2 2 2 2MA MB MC GA GB GC 3GM+ + = + + + b. 2 2 2 2 2 2 a b c 4(m m m ) 3(a b c )+ + = + + . Câu 12. Cho ABC có 2b c a+ = . Chúng minh rằng a. sin sin 2sinB C A+ = . b. 2 1 1 a b ch h h = + . Câu 13. Cho ABC biết ( )4 3; 1A − , ( )0;3B , ( )8 3;3C . a. Tính các cạnh và các góc của ABC . b. Tính chu vi và diện tích của ABC Câu 14. Cho ABC biết 40a = , 36 20B =  , 73C =  . Tính A , cạnh b , c của tam giác đó. Câu 15. Cho ABC biết 42,4 ma = , 36,6 mb = , 33 10C =  . Tính A , B và cạnh c . Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75 . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến người ta tốn thêm bao nhiêu km dây? Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết 87 ,= CAB 62= CBA . Hãy tính khoảng cách AC và BC . Câu 18. Cho tam giác ABC có =BC a , =A  và hai đường trung tuyến ,BM CN vuông góc với nhau. Tính ABCS . Câu 19. Cho tam giác ABC . Gọi , ,a b cl l l lần lượt là độ dài các đường phân giác góc , ,A B C . Chứng minh rằng a) 2 cos 2 = + a bc A l b c . b) cos cos cos 1 1 12 2 2++ = + + a b c A B C l l l a b c . c) 1 1 1 1 1 1 + +  + + a b cl l l a b c . Câu 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có AB a= , BC b= , CD c= , DA d= . Chứng minh rằng: ( )( )( )( )ABCDS p a p b p c p d= − − − − với 2 a b c d p + + + = . Câu 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là , ,a b c chứng minh rằng 2 2 2 cos cos cos . 2 a b c A B C abc a b c + + = + + Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3 Mã đề 0108 Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là , ,a b c và 2 1,a x x= + + 2 1,b x= + 2 1c x= − chứng minh rằng tam giác có một góc bằng 120 . Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có a. 2 2 2 cot cot cot + + + + = a b c A B C R abc . b. ( )( ) sin 2 − − = p b p cA bc . Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi ( )( ) 1 4 ABCS a b c a c b = + − + − . Câu 26. Cho tam giác ABC . Gọi R , r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng : 1 2 r R  . Câu 27. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a. ( ) 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 cot cot sin sin 2 +  + + A B A B A B . b. ( )2 3 3 33 2 sin sin sin + +S R A B C . c. 3 − + − + − p p a p b p c p . d. ( )2 4 4 4 1 16  + +S a b c Câu 29. Cho ABC . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2 p không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất. Câu 31. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 4a b c r + +  . Câu 32. Cho tam giác .ABC Chứng minh rằng: a. 3. a b c b c a c a b a b c + +  + − + − + − b. 1 1 1 1 . a b ch h h r + + = c. 2 2 2 1 .b c a a b c h h h h h h r + +  Câu 33. Cho tam giác ABC có 2 2 2sin sin 2sin .B C A+ = Chứng minh rằng 60 .A  Câu 34. Cho tam giác ABC có 4 4 4 3 3 3a b c+ = . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù. Câu 35. Tam giác ABC có 2 2 2 236a b c r+ + = thì có tính chất gì? Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4 Mã đề 0108 GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC) huyngocnguyen95@gmail.com Câu 1. Cho ABC có 12a = , 15b = , 13c = . a. Tính số đo các góc của ABC . b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC . c. Tính S , R , r . d. Tính ah , bh , ch Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy a. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có: 2 2 2 2 2 215 13 12 25 cos 50 7 2 2.15.13 39 b c a A A bc + − + − = = =    . 2 2 2 2 2 212 13 15 11 cos 73 37 2 2.12.13 39 a c b B B ac + − + − = = =    . 2 2 2 2 2 212 15 13 5 cos 56 16 2 2.12.15 9 a b c C C ab + − + − = = =    . b. Xét ABC ta có: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2. 2. 15 13 12 161 161 4 4 a a b c a m m + − + − = = =  = . ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2. 2. 12 13 15 401 401 4 4 4 2 b a a c b m m + − + − = = =  = . ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2. 2. 12 15 13 569 569 4 4 4 2 c a a b c m m + − + − = = =  = . c. Xét ABC ta có: 12 15 13 20 2 2 a b c p + + + + = = = . ( )( )( ) 20.8.5.7 20 14S p p a p b p c= − − − = = (đvdt). Mà 20 14 r 14 20 S S p r p =  = = = . Ta có 12.15.13 117 4R 4S 4.20 14 4 14 abc abc S R=  = = = . d. Xét ABC ta có: 1 2S 2.20 14 10 14 . 2 12 3 a aS a h h a =  = = = . Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 5 Mã đề 0108 1 2S 2.20 14 8 14 . 2 15 3 b bS b h h b =  = = = . 1 2S 2.20 14 40 14 . 2 13 13 c cS c h h c =  = = = . Câu 2. Cho ABC có 6AB = , 8AC = , góc 120A =  . a. Tính diện tích ABC . b. Tính cạnh BC và bán kính r . Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy a. Xét ABC ta có: 1 1 3 .sin A .6.8. 12 3 2 2 2 S bc= = = (đvdt). b. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có: 2 2 2 2 2 12. . .cos 6 8 2.6.8. 148 148 2 37 2 BC AB AC AB AC A BC − = + − = + − =  = = . Ta có . . . . 6.8. 148 2 111 4R 4S 34.12 3 AB AC BC AB AC BC S R=  = = = . khanhhoanl2@gmail.com Câu 3. Cho ABC có 8, 10, 13a b c= = = a) ABC có góc tù hay không? b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . c) Tính diện tích ABC . Lời giải Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân. a) Vì a b c  nên A B C  . Ta có 2 2 2 01cos 91 47 ' 2 32 a b c C C ab + − = = −   Vậy ABC có góc C là góc tù. b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . Theo định lý sin : 2 2 13 208 2 6,5 sinC 2sinC 10232 1 cos 1 2 1 32 c c c R R C =  = = = =  −   − −    (đvđd) c) Áp dụng công thức Hê - rông, ta có: ( )( )( )ABCS p p a p b p c = − − − Với 31 2 2 a b c p + + = = Do đó 31 31 31 31 25575 5 1023 8 10 13 40 2 2 2 2 16 4 ABCS     = − − − = =         (đvdt) Câu 4. Cho ABC có các góc 60 , 45A B=  =  , 2b = . Tính độ dài cạnh ,a c , bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác. Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 6 Mã đề 0108 Lời giải Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân. Ta có: 180 ( ) 75C A B= − + =  Từ định lí sin: 2 sin a b c R sinA sinB C = = = ⇒ sin 2sin 60 6 sin 45 b A a sinB  = = =  ; sinC 2sin 75 1 3 sin 45 b c sinB  = = = +  2 2 2 2sin 45 b R sinB = = =  Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có: ( )1 1 2 3 3sin 6 1 3 2 2 2 2 ABCS ac B + = = + = (đvdt). Hungtoan96cl@gmail.com, lehoanpc@gmail.com Câu 5. Cho tam giác ABC có 7,AC = 5,AB = 60BAC =  . Tính , , , . ABC aBC S h R Lời giải Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn  2 2 2 2 . .cos= + −BC AB AC AB AC BAC 2 27 5 2.7.5.cos60 39= + − = 39. =BC  1 . . .sin 2  =ABCS AB AC BAC 1 35 3 .5.7.sin 60 . 2 4 = =  2.1 . . 2   =  = ABC ABC a a S S BC h h BC 35 13 . 26 =  2 sin 2sin =  = BC BC R R A A 13.= Câu 6. Cho tam giác ABC có 4, 2, 3 = = =b cm m a . Tính độ dài các cạnh , . AB AC Lời giải Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn Có , = =AB c AC b 2 2 2 2 2 2 2( ) 2(9 )16 4 4 + − + − =  =b a c b c b m 2 22 46 − =c b (1) 2 2 2 2 2( ) 4 + − =c a b c m 2 2 22(3 ) 4 4 + −  = b c 2 22 2 − =−b c (2) Giải hệ gồm 2 phương trình (1), (2) được 2 2 14 14 30 30 = =   = =  b b c c Vậy 14 30  =  = AC AB . Lephi@thptthanuyen.edu.vn Câu 7. Cho tam giác ABC có 3, 4AB AC= = và diện tích 3 3S = . Tính cạnh BC . Lời giải Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 7 Mã đề 0108 Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi Ta có 3 3S = 1 . .sin 2 AB AC BAC 3 3= 3 sin 2 BAC = 60 120 BAC BAC  =     =  . + TH1: 60BAC =  Theo định lí côsin trong tam giác, ta có: 2 2 2 . .cos 60BC AB AC AB AC= + −  9 16 12 13= + − = . + TH2: 120BAC =  2 2 2 . .cos120BC AB AC AB AC= + −  = 9 16 12 37+ + = . Vậy 13BC = hoặc 37BC = . anhson9802@gmail.com,Thuthuy1988.nt@gmail.com Câu 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC biết .4,3,2 === BCACAB Lời giải Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui Ta có , 2 9 2 234 2 = ++ = ++ = cba p ( )( )( ) 4 153 2 2 9 .3 2 9 .4 2 9 . 2 9 =      −      −      −=−−−= cpbpappS . . 6 15 2 9 : 4 153 ==== p S rprS C ... O E Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 16 Mã đề 0108 ( ) ( ) ( ) 2 2 . sin cos tan sin cos sin 2 2 2 2 2 2     = = − = −     ABC A A A A A A S pr bc p p a bc p p a bc (1) Công thức Hê rông: ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 2  = − − −  = − − −ABC ABCS p p a p b p c S p p a p b p c (2) Từ (1) và (2) ( ) ( )( )( ) ( )( )2 sin sin . 2 2 − −   − = − − −  =    p b p cA A p p a bc p p a p b p c bc Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi ( )( ) 1 4 ABCS a b c a c b = + − + − . Lời giải Ta có: 2 a b c p + + = ( )( ) 1 4 ABCS a b c a c b = + − + − ( )( )4  = + − + −ABCS a b c a c b ( )( )( ) ( )( )4 − − − = + − + −p p a p b p c a b c a c b ( )( )( ) ( ) ( ) 2 2 16 − − − = + − + −p p a p b p c a b c a c b ( ) ( ) 2 2 16. . 2 2 2 2 + + + + + + + +     − − − = + − + −        a b c a b c a b c a b c a b c a b c a c b ( )( )( )( ) ( ) ( ) 2 2  + + + − + − + − = + − + −a b c b c a a c b a b c a b c a c b ( )( ) ( )( ) + + + − = + − + −a b c b c a a b c a c b ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2b c a a b c b c a + − = − −  + = . Vậy tam giác ABC vuông tại A . Thuylinh133c3@gmail.com Câu 26. Cho tam giác ABC . Gọi R , r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng : 1 2 r R  . Lời giải Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh Ta có S r p = , ( )( )( ) ( )( )( )2 4 44 4 p p a p b p c p a p b p cabc r S R S R pabc pabc abc − − − − − − =  = = = . Mà ( )( ) 2 2 2 p a b c p a p b − − − −  = . ( )( ) 2 2 2 p a c b p a p c − − − −  = ; ( )( ) 2 . 2 2 p b c a p b p c − − − −  = ( )( )( ) 1 . 8 2 abc r p a p b p c R  − − −    Dấu bằng xảy ra khi a b c= = . PB: Fb Bích Ngọc Đặng Câu 27. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 17 Mã đề 0108 a. ( ) 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 cot cot sin sin 2 +  + + A B A B A B . b. ( )2 3 3 33 2 sin sin sin + +S R A B C . c. 3 − + − + − p p a p b p c p . d. ( )2 4 4 4 1 16  + +S a b c Lời giải dothu.namtruc@gmail.com a. ( ) 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 cot cot sin sin 2 +  + + A B A B A B ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 1 cot 1 cot 2 sin sin 2 − + −   + + + − + A B A B A B ( )2 2 2 2 2 2 2 sin sin 1 1 1 1 sin sin 2 sin sin − +     + −  +   A B A B A B 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sin sin 2 sin sin    −  + −  +  A B A B ( )2 22 2 1 1 4 sin sin sin sin     + +    A B A B Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 2 sin .sin 1 1 sin sin 41 1 1 1 sin sin2 . sin sin sin sin +      + +     +    A B A B A B A B A B A B Dấu = xảy ra 2 2 2 2 sin sin 1 1 sin sin  =    = =  A B A B A B . b. ( )2 3 3 33 2 sin sin sin + +S R A B C , áp dụng định lí sin 2 sin sinB sinC = = = a b c R A 3 3 3 2 3 3 3 3 2 4 8 8 8     + +    abc a b c R R R R R 3 3 33  + +abc a b c (luôn đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số 3 3 3, ,a b c được 33 3 3 3 3 33 . . 3+ +  =a b c a b c abc ) Dấu = xảy ra 3 3 3 = =  = =a b c a b c . c. + Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 2 , , , 0+ + = + + + + +  + +  x y z x y z xy yz zx x y z x y z ( )* + Áp dụng bất đẳng thức ( )* cho 3 số , ,− − −p a p b p c được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3− + − + −  − + − + − = − + + =p a p b p c p a p b p c p a b c p  − + − + − p a p b p c p . Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 18 Mã đề 0108 + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được ( ) ( )( ) 2 2 2 21 1 1 3− + − + −  + + − + − + − =p a p b p c p a p b p c p 3 − + − + − p a p b p c p Dấu = xảy ra  − = − = −  = =p a p b p c a b c . d. Ta có ( )( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 = − − − = − − −S p p a p b p c p p a p b p c 2 2 2 2 + + + − − + − + +     =           a b c a b c a b c a b c ( ) ( ) 2 22 21 16    = + − − −     b c a a b c ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 2 2 2 2 2 16 16 16 16   + − = + + −  + − = + −   b c a a b bc c a a b c a a b a c a a ( ) ( )4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 . 16 16  + + + − = + +b a c a a b c a Dấu = xảy ra =   =  = =  = b c a b a b c a c . Bài 28. Cho ABC . Chứng minh rằng ( )2 2 1 sin 2 sin 2 4 ABCS a B b A = + Lời giải Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn Gọi C là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , H CC AB=  Trường hợp 1: Nếu góc 90B   . Khi đó 2ACBC ABCS S = , mà 'ACBC CBC ACCS S S  = + ( )2 2 1 sin 2 sin 2A 2 a B b= + Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 19 Mã đề 0108 Suy ra ( )2 2 1 sin 2 sin 2 4 ABCS a B b A = + . Trường hợp 2: Nếu góc 90B   . Khi đó ( )' 1 2 ABC ACC C BCS S S   = − ( )2 21 1 1sin 2 sin 2 2 2 2 b A a CBH   = −    2 21 1sin 2 sin 2B 4 2 b A a= + . Câu 29. Cho ABC . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + Lời giải Ta có a b c−  ( ) 2 a b c −  ( )2 2 2 2 1a b c ab + −  Tương tự ( )2 2 2 2 2a c b ac+ −  ; ( )2 2 2 2 3c b a bc+ −  . Cộng các vế của ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 ta được 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + . nvanphu1981@gmail.com, vanhuanhb@gmail.com Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2 p không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất. Lời giải Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan Tam giác ABC với ba cạnh a , b , c có chu vi là 2a b c p+ + = không đổi. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số ( )1;1;1 và ( ); ;a b c ta có: ( )( ) ( )22 2 2 2 2 21 1 1 a b c a b c+ + + +  + + ( ) ( )2 2 2 23a b c a b c + +  + + ( ) ( ) 24 2 2 29a b c a b c + +  + + . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số ( ); ;a b c và ( )3 3 3; ;a b c ta có: ( )( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 3. . .a b c a b c a a b b c c+ + + +  + + ( ) 2 2 2 2a b c= + + . Suy ra ( )2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c + + + +  + + ( ) ( ) 4 9 a b c a b c + +  + + ( ) 31 9 a b c= + + 3 8 9 p= . Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b c= = . Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 20 Mã đề 0108 Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều. Câu 31. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 4a b c r + +  . Lời giải Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan Ta có: ( ) 22 2a a b c − − ( ) 22 2 1 1 a a b c   − − . Tương tự: ( ) 22 2 1 1 b b c a  − − ( ) 22 2 1 1 c c a b  − − . Nên ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a c a b + +  + + − − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 a b c a b c b c a b c a c a b c a b = + + − + + − − + + − − + + − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 4 4 4p b p c p c p a p a p b = + + − − − − − − ( )( )( )4 p p a p b p c = − − − ( )( )( ) 2 4 p p p a p b p c = − − − 2 2 2 1 4 4 p S r = = . chithin.nguyen@gmail.com Câu 32. Cho tam giác .ABC Chứng minh rằng: a. 3. a b c b c a c a b a b c + +  + − + − + − b. 1 1 1 1 . a b ch h h r + + = c. 2 2 2 1 .b c a a b c h h h h h h r + +  Lời giải Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn a. Ta có: ( )( ) 2 b c a a c b b c a a c b c + − + + − + − + −  = ( )( ) 2 a c b a b c a c b a b c a + − + + − + − + −  = ( )( ) 2 a b c b c a a b c b c a b + − + + − + − + −  = Nhân theo vế ta có: ( )( )( )a b c b c a c a b abc+ − + − + −  Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 21 Mã đề 0108 ( )( )( ) 1. abc a b c b c a c a b   + − + − + − Ta lại có: ( )( )( ) 33 3. a b c abc b c a c a b a b c b c a c a b a b c + +   + − + − + − + − + − + − Dấu " "= xảy ra khi a b c= = hay tam giác ABC đều. b. Ta có: 1 1 1 1 1 . 1 1 12 2. . 2. . 2. . 2 2 2 a b c a b c p a b c a b c Sr S S h h h a h b h c h p + + = = = = + + = + + c. Ta có: 2 1 2b a b a h h h h +  2 1 2c b c b h h h h +  2 1 2a c a c h h h h +  2 2 2 1 1 1 1 .b c a a b c a b c h h h h h h h h h r  + +  + + = Dấu " "= xảy ra khi a b ch h h= = khi đó tam giác ABC đều. chithin.nguyen@gmail.com Câu 33. Cho tam giác ABC có 2 2 2sin sin 2sin .B C A+ = Chứng minh rằng 60 .A  Lời giải Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn Từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a R R R + = 2 2 22b c a + = Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos . 2 2 2 2 b c a a a a A bc bc b c a + − = =  = = + Suy ra 60 .A  Chubabien@gmail.com, Thuy.tranthithanhdb@gmail.com Câu 34. Cho tam giác ABC có 4 4 4 3 3 3a b c+ = . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù. Lời giải Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu Ta có 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43 3 3 3 3 3 3 3 33a b c c a b a b a b a b     + =  = + = + + +        ( ) 4 4 4 4 4 4 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 33 2 2a b a b a b a b a b a b a b a b a b    + + +  + + = + + = +    Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 22 Mã đề 0108 Suy ra 2 2 2c a b + mà 2 2 2 cos 0 90 2 a b c C c ab + − =     Vậy tam giác có một góc tù. Câu 35. Tam giác ABC có 2 2 2 236a b c r+ + = thì có tính chất gì? Lời giải Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu ( )( )( )22 2 2 2 2 36 36 36 p a p b p cS a b c r p p − − − + + = = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 36 p b p c p c p a p a p b p − − − − − − = (1) Ta có ( )( )2 p b p c p b p c a− −  − + − = Tương tự ( )( ) ( )( )2 ;2p c p a b p a p b c− −  − −  Suy ra ( )( ) ( )( ) ( )( ) 8 p b p c p c p a p a p b abc p p − − − − − −  (2) Từ (1) và (2) suy ra: ( )( )2 2 2 2 2 2 9 9 abc a b c a b c a b c abc a b c + +   + + + +  + + Mà 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + ( )( ) 9a b c ab bc ca abc + + + +  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0a b bc c b c cb b c a ab b − + + − + + − +  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0a b c b c a c a b a b c − + − + −   = = . Vậy tam giác ABC có 2 2 2 236a b c r+ + = thì ABC đều.

Tài liệu đính kèm:

toan_11_chuyen_de_he_thuc_luong_trong_tam_giac.pdf

Tài liệu liên quan

Giáo án Hình học 11 - Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lượt xem: 868 Lượt tải: 0
Giáo án môn Hình học 11 - Tiết 12: Phép đồng dạng
Lượt xem: 1389 Lượt tải: 0
Giáo án môn Hình học 11 - Tiết 8: Hình bằng nhau
Lượt xem: 1484 Lượt tải: 0
Giáo án Hình học 11 - Tiết học: Đường thằng vuông góc với mặt phẳng
Lượt xem: 898 Lượt tải: 0
Giáo án Hình học 11 - Tiết 42: Ôn tập chương III
Lượt xem: 3395 Lượt tải: 1
Tóm tắt lý thuyết hình học không gian lớp 11
Lượt xem: 10629 Lượt tải: 1
Câu hỏi trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lượt xem: 19487 Lượt tải: 1
Giáo án Hình học 11 - Hai đường thẳng vuông góc
Lượt xem: 981 Lượt tải: 0
Giáo án Hình học 11 - Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Lượt xem: 1099 Lượt tải: 0
Giáo án Hình học 11 - Tiết 16: Bài tập hai đường thẳng song song mặt phẳng
Lượt xem: 1087 Lượt tải: 0