Toán 11 - Giới Hạn Của Hàm Số, Cách Tính Và Bài Tập áp Dụng

Có thể bạn quan tâm

Bài viết này sẽ tổng hợp một cách hệ thống và chi tiết về lý thuyết, các phương pháp giải và các dạng bài tập điển hình về giới hạn của hàm số.

A. Lý thuyết và các dạng Bài tập có lời giải chi tiết

I. Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt

$lim_{x ightarrow x_{0}}x=x_{0}$

$lim_{x ightarrow x_{0}}c=c extrm{ },$ (c: hằng số)

2. Định lý

a) Nếu: $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)=L$ và $small lim_{x ightarrow x_{0}}g(x)=M$ thì:

$small lim_{x ightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=L+M$

$small lim_{x ightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]=L-M$

$small lim_{x ightarrow x_{0}}[f(x).g(x)]=L.M$

$small lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x)}{g(x)}=frac{L}{M}, extrm{ }(M eq 0)$

b) Nếu small f(x)geq 0 và $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)=L$ thì:

small Lgeq 0 và $small lim_{x ightarrow x_{0}}sqrt{f(x)}=sqrt{L}$

c) Nếu $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)=L$ thì $small lim_{x ightarrow x_{0}}left |f(x) ight |=left |L ight |$

II. Giới hạn vô cực. Giới hạn ở vô cực

1. Giới hạn đặc biệt

Giới hạn đặc biệt

2. Định lý:

III. Giới hạn 1 bên

$small lim_{x ightarrow x_{0} }f(x)=LLeftrightarrow lim_{x ightarrow x_{0}^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow x_{0}^{+}}f(x)=L$

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $small frac{0}{0}, extrm{ }frac{infty }{infty }, extrm{ }infty -infty , extrm{ }0.infty$ thì phải tìm cách khử dạng vô định.

* Chú ý: Đối với các hàm lượng giác thì vận dụng tương tự với giới hạn khi x tiến tới vô cùng của sinx/x =1

* Ví dụ 1: Tính giới hạn:

Bài tập vận dụng dạng 1:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

* Ví dụ 2: Tính các giới hạn

Bài tập vận dụng dạng 2:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực (Quy tắc 1 & Quy tắc 2)

* Ví dụ 3: Tính giới hạn

Bài tập vận dụng dạng 3:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

* Phương pháp:

- Nhóm các nhân tử chung: x - x0

- Nhân thêm lượng liên hợp

- Thêm, bớt số hạng vắng.

a) $small L=lim_{x ightarrow x_{0}}frac{P(x)}{Q(x)}$ với small P(x),Q(x) là các đa thức và $small P(x_{0})=Q(x_{0})=0$

Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

* Ví dụ 4: Tính giới hạn:

• $small lim_{x ightarrow 2}frac{x^3-8}{x^2-4} =lim_{x ightarrow 2}frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}$ $small =lim_{x ightarrow 2}frac{x^2+2x+4}{x+2}=frac{12}{4}=3$

b) $small L=lim_{x ightarrow x_{0}}frac{P(x)}{Q(x)}$ với $small P(x_{0})=Q(x_{0})=0$ và small P(x),Q(x) là các biểu thức chứa căn đồng bậc.

- Ta sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử thức và mẫu thức.

* Ví dụ 5: Tính giới hạn:

• $small lim_{x ightarrow 0}frac{2-sqrt{4-x}}{x} =lim_{x ightarrow 0}frac{(2-sqrt{4-x})(2+sqrt{4-x})}{x(2+sqrt{4-x})}$ $small =lim_{x ightarrow 0}frac{2^2 -(sqrt{4-x})^2}{x(2+sqrt{4-x})} =lim_{x ightarrow 0}frac{1}{2+sqrt{4-x}}=frac{1}{4}$

c) $small L=lim_{x ightarrow x_{0}}frac{P(x)}{Q(x)}$ với $small P(x_{0})=Q(x_{0})=0$ và small P(x) là biểu thức chứa căn không đồng bậc.

Giả sử: small P(x)=sqrt[m]{u(x)}-sqrt[n]{v(x)} với $small sqrt[m]{u(x_{0})}-sqrt[n]{v(x_{0})}=a$

Ta phân tích: small small P(x)=(sqrt[m]{u(x)}-a)+(a-sqrt[n]{v(x)})

* Ví dụ 6: Tìm giới hạn:

• $small lim_{x ightarrow 0}frac{sqrt[3]{x+1}-sqrt{1-x}}{x} =lim_{x ightarrow 0}left (frac{sqrt[3]{x+1}-1}{x}+frac{1-sqrt{1-x}}{x} ight )$

$small =lim_{x ightarrow 0}left (frac{1}{sqrt[3]{(x+1)^2}+sqrt[3]{x+1}+1}+frac{1}{1+sqrt{1-x}} ight )$ $small =frac{1}{3}+frac{1}{2}=frac{5}{6}$

Bài tập vận dụng dạng 4:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên

* Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau:

Bài tập vận dụng dạng 5

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên

* Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau:

• $small lim_{x ightarrow 1}left ( frac{1}{1-x}-frac{1}{1-x^2} ight )=lim_{x ightarrow 1}left (frac{x-1}{1-x^2} ight )$ $small =lim_{x ightarrow 1} left (frac{1}{-1-x} ight )=-frac{1}{2}$

Bài tập vận dụng dạng 6:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp:

_ Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

_ Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

* Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

Bài tập vận dụng dạng 1:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp: Ta thường sử dụng nhân lượng liên hợp cả tử và mẫu

* Ví dụ 2: Tìm các giới hạn

a) $small lim_{x ightarrow+ infty }(sqrt{1+x}-sqrt{x}) =lim_{x ightarrow+ infty }frac{(sqrt{1+x}-sqrt{x})(sqrt{1+x}+sqrt{x})}{(sqrt{1+x}+sqrt{x})}$

$small =lim_{x ightarrow+ infty }frac{(sqrt{1+x})^2-(sqrt{x})^2}{sqrt{1+x}+sqrt{x}} =lim_{x ightarrow+ infty }frac{1}{sqrt{1+x}+sqrt{x}}=0$

b) $small lim_{x ightarrow -infty }(sqrt[3]{1+x^2-x^3}+x)$

$small =lim_{x ightarrow -infty }frac{1+x^2}{left ( sqrt[3]{1+x^2-x^3} ight )^2-xsqrt[3]{1+x^2-x^3}+x^2}$

$small =lim_{x ightarrow -infty }frac{frac{1}{x^2}+1}{left ( sqrt[3]{frac{1}{x^3}+frac{1}{x}-1} ight )^2-sqrt[3]{frac{1}{x^3}+frac{1}{x}-1}+1}=frac{1}{3}$

Bài tập vận dụng dạng 2:

¤ Bài tập 1: Tìm giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm giới hạn sau

* Phương pháp: Sử dụng tổng hợp các phương pháp trên

* Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:

a) $small lim_{x ightarrow +infty }(x+1)left ( frac{x-2}{x^2+1} ight )$

$small =lim_{x ightarrow +infty }frac{x^2+x-2}{x^2+1} =lim_{x ightarrow +infty }frac{1+frac{1}{x}-frac{2}{x^2}}{1+frac{1}{x^2}}=1$

b) $small lim_{x ightarrow -infty }(x^2-1)left ( frac{sqrt{x^2+2}+1}{x^2+1} ight )$

$small =lim_{x ightarrow -infty }left ( frac{(x^2-1)sqrt{x^2+2}+x^2-1}{x^2+1} ight )$

$small =lim_{x ightarrow -infty }frac{(1-frac{1}{x^3})sqrt{1+frac{2}{x^2}}+frac{1}{x}-frac{1}{x^3}}{frac{1}{x}+frac{1}{x^3}}=infty$

Do: $small lim_{x ightarrow -infty }(1-frac{1}{x^3})sqrt{1+frac{2}{x^2}}+frac{1}{x}-frac{1}{x^3}=1$ ; $small small lim_{x ightarrow -infty }left (frac{1}{x}+frac{1}{x^3} ight )=0$