Toán 12 Bài 1: Nguyên Hàm

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 12 Chương 3: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm28 BT SGK 669 FAQ

Thông qua bài học các em sẽ nắm được khái niệm, các tính chất của nguyên hàm. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu đến các em công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số cơ bản, các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số là phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Nguyên hàm và tính chất

2.2. Các phương pháp tính nguyên hàm

3. Bài tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 1 Chương 3 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về bài 1 Chương 3 Toán 12

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Nguyên hàm và tính chất

a) Khái niệm nguyên hàm

- Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của \(\mathbb{R}.\)

- Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên K.

- Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K.\)

- Định lý 1: Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K.

- Định lý 2: Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên K đều có dạng \(F(x)+C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý. Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(\int f(x)dx.\) Khi đó : \(\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)

b) Tính chất

- Tính chất 1: \(\int f'(x)dx=f(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)

- Tính chất 2: \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3: \(\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.\)

c) Sự tồn tại của nguyên hàm

- Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

d) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

- Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

+ \(\int {kdx = kx + C,\,k \in \mathbb{R}}\)

+ \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{1 + \alpha }}.{x^{\alpha + 1}} + C\,(\alpha \ne - 1)}\)

+ \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C}\)

+ \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C}\)

+ \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C}\)

+ \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}\)

+ \(\int {\cos xdx = \sin x + C}\)

+ \(\int {\sin xdx = - \cos x + C}\)

+ \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\)

+ \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}\)

- Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác:

+ \(\int {{{({\rm{ax}} + b)}^k}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{{\rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}\, + C\,,(a \ne 0,\,k \ne - 1)}\)

+ \(\int {\frac{1}{{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {{\rm{ax}} + b} \right|} + C,\,a \ne 0\)

+ \(\int {{e^{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}} + b}} + C}\)

+ \(\int {c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx = \frac{1}{a}\sin ({\rm{ax}} + b)} + C\)

+ \(\int {\sin ({\rm{ax}} + b)dx = - \frac{1}{a}c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)} + C\)

2.2. Các phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số \(y = f({\rm{u)}}\) liên tục sao cho \(f[u(x)]\) xác định trên K. Khi đó nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\), tức là \(\int {f(u)du = F(u) + C}\) thì \(\int {f[u(x){\rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.\)

- Hệ quả: Với \(u = ax + b\,(a \ne 0),\) ta có: \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

- Định lí 2: Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K thì: \(\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx}\)

- Một số dạng thường gặp:

+ Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)

Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

+ Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)

Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {{x^8}}dx\)

b) \(I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx\)

c) \(I=\int \frac{1}{x^5}dx\)

d) \(I=\int\frac{1}{2x}dx\)

Lời giải:

a) \(I = \int {{x^8}dx = \frac{1}{9}{x^9} + C}\)

b) \(I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} }\)

c) \(I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ - 5}}dx = \frac{1}{{ - 5 + 1}}{x^{ - 5 + 1}} + C = } } - \frac{1}{4}{x^{ - 4}} + C\)

d) \(I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}\)

Ví dụ 2:

Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {\sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}\)

b) \(I = \int {{e^{{e^x} + x}}dx}\)

c) \(I = \int {{e^{2{x^2} + \ln {\rm{x}}}}dx}\)

d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)

e) \(I=\int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(t = {x^{2004}} + 1 \Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx \Rightarrow {x^{2003}}dx = \frac{1}{{2004}}dt.\)

Từ đó ta được:

\(I = \frac{1}{{2004}}\int {\sqrt t dt} = \frac{1}{{2004}}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{{2004}}.\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}} + C\)

\(= \frac{1}{{3006}}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{{3006}}\sqrt {{{\left( {{x^{2004}} + 1} \right)}^3}} + C\)

b) Ta có: \({e^{{e^x} + x}} = {e^{{e^x}}}.{e^x}\)

Đặt: \({e^x} = t \Rightarrow {e^x}dx = dt\)

Từ đó ta được:

\(I = \int {{e^t}dt} = \int {{e^t}dt} = {e^t} + C = {e^{{e^x}}} + C\)

c) Ta có: \(M = \int {{e^{2{x^2}}}.{e^{\ln x}}dx = } \int {{e^{2{x^2}}}.xdx}\)

Đặt: \(2{x^2} = t \Rightarrow 4xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{4}\)

Ta được: \(M = \int {{e^t}\frac{{dt}}{4} = \frac{1}{4}{e^t} + C = \frac{1}{4}{e^{2{x^2}}}} + C.\)

d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)

Đặt: \(\sqrt[{10}]{{x + 1}} = t \Rightarrow x + 1 = {t^{10}} \Rightarrow dx = 10{t^9}dt\)

Ta được:

\(\begin{array}{l} N = \int {\frac{{{t^{10}} - 1}}{t}.10{t^9}dt} = 10\int {\left( {{t^{10}} - 1} \right){t^8}dt} \\ = 10\int {\left( {{t^{18}} - {t^8}} \right)dt} = \frac{{10}}{{19}}{t^{19}} - \frac{{10}}{9}{t^9} + C \end{array}\)

\(\, = \frac{{10}}{{19}}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + + 1} \right)}^{19}}}} - \frac{{10}}{9}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + 1} \right)}^9}}} + C\)

e) Ta có:\(I = \int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{2\sin x\cos x.{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} } dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}.\sin 2xdx}\)

Đặt: \(1 + {\cos ^2}x = t \Rightarrow \sin 2xdx = - dt\)

\(\Rightarrow S = - \frac{1}{2}\int {\frac{{t - 1}}{t}dt} = - \frac{1}{2}\int {dt + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} = - \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C}\)

Ví dụ 3:

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {x{\rm{sin2}}xdx}\)

b) \(I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx}\)

c) \(I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}\)

d) \(I = \int {x{{\cos }^2}2xdx}\)

Lời giải:

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - {I_1}\)

Tính \({I_1} = \int {x{e^{2x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C\)

c) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \left( {4x + 1} \right)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Tính: \({I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 4x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4{e^x} + C = \left( {4x - 3} \right){e^x} + C\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \left( {4x - 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right){e^x} + C\)

d)

\(\begin{array}{l} I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1} \end{array}\)

Tính \({I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{2}x\\ dv = \cos 4xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{2}dx\\ v = \frac{1}{4}\sin 4x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x - \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

4. Luyện tập Bài 1 Chương 3 Toán 12

Thông qua bài học các em sẽ nắm được khái niệm, các tính chất của nguyên hàm. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu đến các em công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số cơ bản, các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số là phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần.

4.1 Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}.\)

  • A. \(\int {f(x)dx} = \ln x - \ln {x^2} + C\)
  • B. \(\int {f(x)dx} = \ln x - \frac{1}{x} + C\)
  • C. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\)
  • D. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\)

• Câu 2:

  Tìm hàm số \(f(x)\) biết rằng \(f'(x) = 2x + 1\) và \(f(1)=5.\)

  • A. \(f(x) = {x^2} + x + 3\)
  • B. \(f(x) = {x^2} + x - 3\)
  • C. \(f(x) = {x^2} + x\)
  • D. \(f(x) = {x^2} -x\)

• Câu 3:

  Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( {2x - 1} \right){e^x}dx\).

  • A. \(\int {f(x) = 2x{e^x} + C}\)
  • B. \(\int {f(x) = (2x - 1){e^x} + C}\)
  • C. \(\int {f(x) = (2x - 2){e^x} + C}\)
  • D. \(\int {f(x) = (2x - 3){e^x} + C}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 100 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 100-101 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 101 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 101 SGK Giải tích 12

Bài tập 3.1 trang 163 SBT Toán 12

Bài tập 3.2 trang 163 SBT Toán 12

Bài tập 3.3 trang 164 SBT Toán 12

Bài tập 3.4 trang 164 SBT Toán 12

Bài tập 3.5 trang 164 SBT Toán 12

Bài tập 3.6 trang 164 SBT Toán 12

Bài tập 3.7 trang 164 SBT Toán 12

Bài tập 3.8 trang 165 SBT Toán 12

Bài tập 3.9 trang 165 SBT Toán 12

Bài tập 3.10 trang 165 SBT Toán 12

Bài tập 3.11 trang 165 SBT Toán 12

Bài tập 3.12 trang 165 SBT Toán 12

Bài tập 3.13 trang 165 SBT Toán 12

Bài tập 3.14 trang 166 SBT Toán 12

Bài tập 3.15 trang 166 SBT Toán 12

Bài tập 1 trang 141 SGK Toán 12 NC

Bài tập 2 trang 141 SGK Toán 12 NC

Bài tập 3 trang 141 SGK Toán 12 NC

Bài tập 4 trang 141 SGK Toán 12 NC

Bài tập 5 trang 145 SGK Toán 12 NC

Bài tập 6 trang 145 SGK Toán 12 NC

Bài tập 7 trang 145 SGK Toán 12 NC

Bài tập 8 trang 145 SGK Toán 12 NC

Bài tập 9 trang 146 SGK Toán 12 NC

5. Hỏi đáp về Bài 1 Chương 3 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 12 Bài 2: Tích phân Toán 12 Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học Toán 12 Ôn tập chương 3 Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

Toán 12

Lý thuyết Toán 12

Giải bài tập SGK Toán 12

Giải BT sách nâng cao Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12

Giải tích 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Toán 12

Ngữ văn 12

Lý thuyết Ngữ Văn 12

Soạn văn 12

Soạn văn 12 (ngắn gọn)

Văn mẫu 12

Soạn bài Người lái đò sông Đà

Đề thi giữa HK1 môn Ngữ Văn 12

Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12 (Mới)

Trắc nghiệm Tiếng Anh 12

Unit 7 Lớp 12 Economic Reforms

Tiếng Anh 12 mới Review 1

Đề thi giữa HK1 môn Tiếng Anh 12

Vật lý 12

Lý thuyết Vật Lý 12

Giải bài tập SGK Vật Lý 12

Giải BT sách nâng cao Vật Lý 12

Trắc nghiệm Vật Lý 12

Vật lý 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Vật Lý 12

Hoá học 12

Lý thuyết Hóa 12

Giải bài tập SGK Hóa 12

Giải BT sách nâng cao Hóa 12

Trắc nghiệm Hóa 12

Hoá Học 12 Chương 4

Đề thi giữa HK1 môn Hóa 12

Sinh học 12

Lý thuyết Sinh 12

Giải bài tập SGK Sinh 12

Giải BT sách nâng cao Sinh 12

Trắc nghiệm Sinh 12

Ôn tập Sinh 12 Chương 5

Đề thi giữa HK1 môn Sinh 12

Lịch sử 12

Lý thuyết Lịch sử 12

Giải bài tập SGK Lịch sử 12

Trắc nghiệm Lịch sử 12

Lịch Sử 12 Chương 2 Lịch Sử VN

Đề thi giữa HK1 môn Lịch Sử 12

Địa lý 12

Lý thuyết Địa lý 12

Giải bài tập SGK Địa lý 12

Trắc nghiệm Địa lý 12

Địa Lý 12 VĐSD và BVTN

Đề thi giữa HK1 môn Địa lý 12

GDCD 12

Lý thuyết GDCD 12

Giải bài tập SGK GDCD 12

Trắc nghiệm GDCD 12

GDCD 12 Học kì 1

Đề thi giữa HK1 môn GDCD 12

Công nghệ 12

Lý thuyết Công nghệ 12

Giải bài tập SGK Công nghệ 12

Trắc nghiệm Công nghệ 12

Công nghệ 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Công nghệ 12

Tin học 12

Lý thuyết Tin học 12

Giải bài tập SGK Tin học 12

Trắc nghiệm Tin học 12

Tin học 12 Chương 2

Đề thi giữa HK1 môn Tin học 12

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 12

Tư liệu lớp 12

Xem nhiều nhất tuần

Video: Vợ nhặt của Kim Lân

Video ôn thi THPT QG môn Vật lý

Video ôn thi THPT QG Tiếng Anh

Video ôn thi THPT QG môn Hóa

Video ôn thi THPT QG môn Toán

Video ôn thi THPT QG môn Văn

Video ôn thi THPT QG môn Sinh

Sóng- Xuân Quỳnh

Khái quát văn học Việt Nam từ đầu CMT8 1945 đến thế kỉ XX

Người lái đò sông Đà

Quá trình văn học và phong cách văn học

Đất Nước- Nguyễn Khoa Điềm

Đàn ghi ta của Lor-ca

Tây Tiến

Ai đã đặt tên cho dòng sông

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>