Toán 12 Bài 4: Hàm Số Mũ Hàm Số Lôgarit - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 12 Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm34 BT SGK 289 FAQ

Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các em khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Hàm số mũ

2.2. Hàm số Lôgarit

3. Bài tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 4 Chương 2 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về Bài 4 Chương 2 Toán 12

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa hàm số mũ

- Cho số thực dương \(a\) khác 1.

- Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

b) Tính chất hàm số mũ

- Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)

- Tập giá trị: \((0;+\infty )\)

- Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

- Với \(0 < a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

- Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.

c) Đạo hàm của hàm số mũ

- Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )'=e^x\)

- Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)

- Đối với hàm hợp:

+ ​\(({e^u})' = u'.{e^u}\)

+ ​\(({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'\)

2.2. Hàm số Lôgarit

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

- Cho số thực dương \(a\) khác 1.

- Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)

b) Tính chất hàm số Lôgarit

- Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)

- Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)

- Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

- Với \(0< a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

- Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

- Đạo hàm:

+ \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

+ \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

+ \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)

- Đối với hàm hợp:

+ ​\(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\)

+ ​\(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}}\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

Lời giải:

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}} \Rightarrow y' = (2x - 3){.2^{{x^2} - 3x}}.\ln 2\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

\(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)

Lời giải:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x - \ln x} \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y' = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)'}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)

Ví dụ 3:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _2}(25 - 4{x^2})\)

b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) - 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)

c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(25 - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - \frac{2}{3}\\ x \ne - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \frac{1}{3};0} \right\}\).

Ví dụ 4:

Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m - 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải:

Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m - 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.(2m - 1) = 17 - 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\)

Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

4. Luyện tập Bài 4 Chương 2 Toán 12

Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các em khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.

4.1 Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( x \right)\) là một trong bốn hàm số được đưa ra trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm \(f\left( x \right)\).

  

  • A. \(f\left( x \right) = {e^x}\)
  • B. \(f\left( x \right) = {x^{\frac{e}{\pi }}}\)
  • C. \(f\left( x \right) = \ln x\)
  • D. \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^x}\)

• Câu 2:

  Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x};\) \(y = \log {\rm{x}};y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\) Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó?

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 1
  • D. 4

• Câu 3:

  Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?

  • A. \({\left( {{{\log }_3}x} \right)'} = \frac{1}{{x\ln 3}}.\)
  • B. \({\left( {{2^x}} \right)'} = {2^x}\ln 2.\)
  • C. \({\left( {\ln x} \right)'} = \frac{1}{x}.\)
  • D. \({\left( {{e^{5x}}} \right)'} = {e^{5x}}.\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 77 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 77 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 77 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 77 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 78 SGK Giải tích 12

Bài tập 2.27 trang 117 SBT Toán 12

Bài tập 2.28 trang 117 SBT Toán 12

Bài tập 2.29 trang 117 SBT Toán 12

Bài tập 2.30 trang 117 SBT Toán 12

Bài tập 2.31 trang 117 SBT Toán 12

Bài tập 2.32 trang 117 SBT Toán 12

Bài tập 2.33 trang 117 SBT Toán 12

Bài tập 2.34 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.35 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.36 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.37 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.38 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.39 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.40 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.41 trang 118 SBT Toán 12

Bài tập 2.42 trang 119 SBT Toán 12

Bài tập 2.43 trang 119 SBT Toán 12

Bài tập 2.44 trang 119 SBT Toán 12

Bài tập 2.45 trang 119 SBT Toán 12

Bài tập 47 trang 111 SGK Toán 12 NC

Bài tập 48 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 49 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 50 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 51 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 52 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 53 trang 113 SGK Toán 12 NC

Bài tập 54 trang 113 SGK Toán 12 NC

Bài tập 55 trang 113 SGK Toán 12 NC

Bài tập 56 trang 113 SGK Toán 12 NC

5. Hỏi đáp Bài 4 Chương 2 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 12 Bài 1: Lũy thừa Toán 12 Bài 2: Hàm số lũy thừa Toán 12 Bài 3: Lôgarit Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit Toán 12 Ôn tập chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit ADSENSE TRACNGHIEM Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

Toán 12

Lý thuyết Toán 12

Giải bài tập SGK Toán 12

Giải BT sách nâng cao Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12

Hình học 12 Chương 3

Ngữ văn 12

Lý thuyết Ngữ Văn 12

Soạn văn 12

Soạn văn 12 (ngắn gọn)

Văn mẫu 12

Soạn Ai đã đặt tên cho dòng sông

Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12 (Mới)

Trắc nghiệm Tiếng Anh 12

Unit 9 Lớp 12 Deserts

Tiếng Anh 12 mới Unit 5

Vật lý 12

Lý thuyết Vật Lý 12

Giải bài tập SGK Vật Lý 12

Giải BT sách nâng cao Vật Lý 12

Trắc nghiệm Vật Lý 12

Ôn tập Vật lý 12 Chương 3

Hoá học 12

Lý thuyết Hóa 12

Giải bài tập SGK Hóa 12

Giải BT sách nâng cao Hóa 12

Trắc nghiệm Hóa 12

Hoá Học 12 Chương 5

Sinh học 12

Lý thuyết Sinh 12

Giải bài tập SGK Sinh 12

Giải BT sách nâng cao Sinh 12

Trắc nghiệm Sinh 12

Sinh Học 12 Chương 2 Tiến hóa

Lịch sử 12

Lý thuyết Lịch sử 12

Giải bài tập SGK Lịch sử 12

Trắc nghiệm Lịch sử 12

Lịch Sử 12 Chương 3 Lịch Sử VN

Địa lý 12

Lý thuyết Địa lý 12

Giải bài tập SGK Địa lý 12

Trắc nghiệm Địa lý 12

Địa Lý 12 VĐSD và BVTN

GDCD 12

Lý thuyết GDCD 12

Giải bài tập SGK GDCD 12

Trắc nghiệm GDCD 12

GDCD 12 Học kì 1

Công nghệ 12

Lý thuyết Công nghệ 12

Giải bài tập SGK Công nghệ 12

Trắc nghiệm Công nghệ 12

Công nghệ 12 Chương 3

Tin học 12

Lý thuyết Tin học 12

Giải bài tập SGK Tin học 12

Trắc nghiệm Tin học 12

Tin học 12 Chương 2

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 12

Tư liệu lớp 12

Xem nhiều nhất tuần

Video: Vợ nhặt của Kim Lân

Đề cương HK1 lớp 12

Video ôn thi THPT QG môn Hóa

Video ôn thi THPT QG môn Toán

Video ôn thi THPT QG môn Văn

Video ôn thi THPT QG môn Sinh

Video ôn thi THPT QG môn Vật lý

Video ôn thi THPT QG Tiếng Anh

Quá trình văn học và phong cách văn học

Khái quát văn học Việt Nam từ đầu CMT8 1945 đến thế kỉ XX

Người lái đò sông Đà

Đất Nước- Nguyễn Khoa Điềm

Đàn ghi ta của Lor-ca

Tây Tiến

Ai đã đặt tên cho dòng sông

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>