Toán 12 Nguyên Hàm Tự Luận Có đáp án - 123doc

K

F (x) f(x)

f (x)dx f(x) C kf(x)dx k f(x)dx

1

x x

x

1 1

dx ln | x | C

x

a

ln a

2

2

cos xdx sin x C

1

cos x 1

sin x

dt u (x)dx

f(t)dt F(t) C F[u(x)] C

VD1: Tính nguyên hàm:

1

1

VD2: Tính nguyên hàm:

HD

2

=

trên K thì:

Hay:

u(x) v (x)dx u(x) v(x) u (x) v(x)dx

1

3 2 2

du

u

HDedu - Page 2

VD3: Tính nguyên hàm sau:

HD

x 3

=

Chú ý

vdu

VD4: Tính nguyên hàm sau:

= HD

và

4

2 x

3

1

2 x

4

I 2 t costdt

4

I 2 t sin t sin tdt 2(t sin t cos t C)

2 Tính các nguyên hàm sau:

1 Tính các nguyên hàm sau:

x

I x(x 1) dx I cos x sin xdx

2x

I x sin 2xdx I x cos 2xdx

2x 5

2

2x

2

Q(x)

,

1)(x – x2

0)2

,

1)(x – x2)(x – x3) thì:

,

1)(x – x2)2 thì:

1

,

x x (x - x )

1)(x2 + mx + n) thì:

2 1

,

HDedu - Page 4

(a) (b)

= HD

2x 5

2x 5

(a)

1

(b)

2

2

2

2

(x 1)(x 2)

2

3

VD6: Tính các nguyên hàm sau:

3ln|x+1| ln|x+2| + C

3 Tính các nguyên hàm sau:

4 Tính các nguyên hàm sau:

2

Q(x)

1

P (x)

1

P (x) P(x)

VD7: Tính nguyên hàm sau:

= HD

5 + 2x – 4x3 + 1 cho x2

2

1

P (x) P(x)

2

2x 1

4

3

HDedu - Page 6

6 Tính nguyên hàm sau:

3 2x

5 Tính nguyên hàm sau:

2x 5

1

2

3

2

3

2 4

4

1

6

1

3

2 100 7

1

200

4

8

cos x

4

1

2

2x 2x 3

4

1

2

12

x 3

3

4

1

2

3

4

2

1

2

2 2

4 3

2 1

6

2

2

x

2

3

2

1 cos 2x sin x

2

1 cos 2x cos x

2

3

3

3sin x sin3x sin x

4 3cos x cos 3x cos x

4

Tính nguyên hàm: T = (sinx) dx 1 n

–

2)k

1

2 k

(1 cos x) d(cos x)

1

VD1: Tính nguyên hàm:

= HD

2

VD2: Tính nguyên hàm:

=

3

Chú ý

VD3: Tính nguyên hàm:

= HD

Ta có:

5

1

3

1

3

HDedu - Page 9

Tính nguyên hàm: T = (cosx) dx 2

–

2)k

2

2 k

(1 sin x) d(sin x)

2

VD4: Tính nguyên hàm sau:

= HD

4

VD5: Tính nguyên hàm:

= HD

8x + cos8

2

4

2 2

2 2

1 7 35

3

T = sinf(x).cosg(x)dx

VD6: Tính các nguyên hàm sau:

= HD

(a)

cos3x.cos5x =

1

1 (cos 8x cos 2x)

2

(b)

Ta có: cos x sin 2x cos 3x 1(sin3x sin x) cos 3x

2 1 (sin3x cos 3x cos 3x sin x) 2

[ sin 6x (sin 4x sin 2x)]

1

= (sin 6x sin 4x sin 2x) 4

1 sin a cos a [ sin(a b) sin(a b)]

2 1

2 1

2

1

2

HDedu - Page 11

tan xdx, cot xdx (n ).

2

2

1

cos x 1

sin x

2

2

a cos (ax b)

a sin (ax b)

VD7: Tính các nguyên hàm:

= HD (a)

Ta có: T1 =

(b)

Ta có: T2 = (1 tan x)dx2 12 dx tan x C

cos x VD8: Tính các nguyên hàm:

= HD

Ta có:

2 1

2

1

2

(b)

2

T tan x tan xdx [(tan x 1) tan x tan x]dx

2

tan xd(tan x) tan xdx 1

tan x ln|cosx| C

2

2

Chú ý

cách làm hoàn toàn

1 Tính các nguyên hàm sau:

7

8

2 9

3 10

4 11

4 12

T sin 2x.coxdx,

T sin x cos 2x sin3xdx

T (1 cot x)dx,

T tan 2xdx,

2 Tính các nguyên hàm sau:

1

3

2

T sin x sin3x.dx

3

4

3 Tính các nguyên hàm:

cos 2xdx

sin x cos x

4 Tính nguyên hàm:

1

x

2

5 2

5 Tính nguyên hàm:

3

4

5

6

T sin x cos x(1 cos x) dx

1

2

2

4

3

3

4

5

6

T (2sin3x 4 cos 2x)dx,

T sin 2xdx,

T [3x sin (1 2x)]dx,

HDedu - Page 13

2

3

2

3

3 4

5

6

7

8

9

2

10

1

2

3

4

3

11

3

12

nên:

(sin x cos x) cos x sin x

1

d(sin x cos x)

sin x cos x (b) Vì cos2x = cos2x – sin2x nên T2

2

4

(a)

1

1

2

1

cos x

tan xd(tan x) tan x tan xdx

2

5

(a) T1 =

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

2

3

4

5

6