Toán 12 - Tích Phân Hàm Chẵn Lẻ - HOCMAI Forum

• Diễn đàn Bài viết mới Tìm kiếm trên diễn đàn
• Đăng bài nhanh
• Có gì mới? Bài viết mới New media New media comments Status mới Hoạt động mới
• Thư viện ảnh New media New comments Search media
• Story
• Thành viên Đang truy cập Đăng trạng thái mới Tìm kiếm status cá nhân

Đăng nhập Đăng ký

Tìm kiếm

Everywhere Đề tài thảo luận This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề By: Search Tìm nâng cao… Everywhere Đề tài thảo luận This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề By: Search Advanced…

• Bài viết mới
• Tìm kiếm trên diễn đàn

Menu Install the app Install Toán 12Tích phân hàm chẵn lẻ

• Thread starter Tiến Phùng
• Ngày gửi 25 Tháng một 2020
• Replies 0
• Views 26,740

• Bạn có 1 Tin nhắn và 1 Thông báo mới. [Xem hướng dẫn] để sử dụng diễn đàn tốt hơn trên điện thoại

• Diễn đàn
• TOÁN
• TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
• Toán lớp 12
• Nguyên hàm và tích phân

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. T

Tiến Phùng

Cựu Cố vấn Toán

Thành viên 27 Tháng mười 2018 3,742 3,706 561 Hà Nội Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

* Nhắc lại: Cho hàm f(x), nếu trên tâp xác định D của f(x), ta lấy x thuộc D thì -x cũng thuộc D: - f(x) là hàm chẵn nếu f(x)=f(-x) -f(x) là hàm lẻ nếu f(x)=-f(-x) Do tính chất hàm chẵn lẻ, ta có: - Nếu f(x) là hàm chẵn, thì: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}f(-x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex] - Nếu f(x) là hàm lẻ, thì: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=0[/tex] Một số ví dụ về bài toán tích phân hàm ẩn chẵn lẻ: 1. Cho f(x) thỏa mãn f(x) và f(-x) liên tục trên R, đồng thời: [tex]2f(x)+3f(-x)=\frac{5}{x^2+1}[/tex]. Tính gía trị của [tex]I=\int_{-2}^{2}f(x)dx[/tex]. Giải: Ở đề bài không hề cho f(x) là hàm chẵn, nhưng ở đây vẫn xếp vào dạng chẵn lẻ, bởi vì ở tích phân có tính chất: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}f(-x)dx[/tex] ( dù không cần f(x) chẵn, vẫn có tính chất đó). Chứng minh: đặt [TEX]x=-t=>dx=-dt[/TEX], đổi cận, ta được: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{-a}f(-t)dt=\int_{-a}^{a}f(-t)dt=\int_{-a}^{a}f(-x)dx[/tex] Giờ áp dụng điều này, cùng với giả thiết: ta có: [tex]5I=\int_{-2}^{2}5f(x)dx=\int_{-2}^{2}2f(x)+3f(-x)d=\int_{-2}^{2}\frac{5}{x^2+1}dx[/tex] =>[tex]I=\int_{-2}^{2}\frac{1}{x^2+1}dx=arctanx|_{-2}^2=2arctan2[/tex] 2. Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên R. Biết [tex]\int_{0}^{2}f(-x)dx=2;\int_{1}^{2}f(-2x)dx=4.[/tex]. Tính: [tex]I=\int_{0}^{4}f(x)dx[/tex] Giải: Trước tiên ta thấy cận dữ kiện khác với cận của I. Thứ 2 là có 1 dữ kiện là f(-x), 1 là f(-2x), như vậy chưa bàn đến cận, ta phải chuyển nó hết về f(x) cái đã. - Với [TEX]I_1=\int_{0}^{2}f(-x)dx=2[/TEX], đặt -x=t=>-dx=dt, đổi cận, thu được: [tex]I_1=\int_{0}^{2}f(-x)dx=-\int_{0}^{-2}f(t)dt=\int_{-2}^{0}f(t)dt=\int_{-2}^{0}f(x)dx=2[/tex] - Với [TEX]I_2=\int_{1}^{2}f(-2x)dx=4[/TEX], làm tương tự như với [TEX]I_1[/TEX], đặt -2x=t, ta sẽ thu được kết quả: [tex]I_2=\int_{-4}^{-2}\frac{f(x)}{2}dx=4=>\int_{-4}^{-2}f(x)dx=8[/tex] Như vậy, sau khi đổi cận, ta thấy cận đã liên tiếp từ -4 đến 0. Ngược dấu với 2 cận của I. Ta lại đổi biến: Đặt x=-t, biến đổi tương tự, ta có [tex]I=\int_{0}^{4}f(x)dx=\int_{-4}^{0}f(-x)dx[/tex] Theo đề cho f(x) là hàm lẻ =>f(x)=-f(-x)=>[TEX]I=-\int_{-4}^{0}f(x)dx[/TEX] Vậy I=[tex]-(\int_{-4}^{-2}f(x)dx+\int_{-2}^{0}f(x)dx)=-10[/tex] 3. Cho f(x) là hàm số chẵn trên R, và k>0. Tính [tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{kx}}dx[/tex] Giải: Đây là 1 câu thường gặp trong các đề thi thử, và có nhiều biến thể, nhưng chung quy đều có f(x) trên tử, và [TEX]1+a^{kx}[/TEX] dưới mẫu. Ta luôn xử lí như sau: Đặt x=-t=>dx=-dt, đổi cận, thu được tích phân: [tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)dx}{1+e^{-kx}}=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx[/tex] Do f(x) là hàm chẵn nên ta có: [tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)e^{kx}} {1+e^{kx}}dx[/tex] Lúc này, lấy I+I, ta có: [tex]2I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx+\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{kx}}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)(e^{kx}+1)}{e^{kx}+1}dx=\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex] => [TEX]I=\int_{0}^{a}f(x)dx[/TEX] 4. Tính tích phân: [tex]I=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx}{\sqrt{x^2+1}-x}dx[/tex] Giải: ở bài này nếu dùng từng phần thì rõ ràng quá phức tạp, hoặc không ra, ta thấy mẫu khi liên hợp sẽ đẹp, nên ta thử liên hợp được: [tex]I=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx(\sqrt{x^2+1}+x)}{x^2+1-x^2}dx=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}sinx\sqrt{x^2+1}dx+\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}xsinxdx[/tex] Lúc này ta nhận thấy: [tex]f(x)=sinx\sqrt{x^2+1}[/tex] là hàm lẻ, vì nó liên tục trên R, và :[tex]f(-x)=-sinx\sqrt{x^2+1}=-f(x)[/tex]. Do đó, theo tính chất hàm lẻ, [TEX]\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}sinx\sqrt{x^2+1}dx=0[/TEX] Vậy tích phân cần tính chỉ là tích phân: [tex]\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}xsinxdx[/tex]. Ta có thể dễ dàng tính được nó bằng tích phân từng phần.

• 

Reactions: Nguyễn Linh_2006, Bella Dodo, iceghost and 2 others You must log in or register to reply here. Chia sẻ: Facebook Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Chia sẻ Link

• Diễn đàn
• TOÁN
• TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
• Toán lớp 12
• Nguyên hàm và tích phân

Top Bottom

• Vui lòng cài đặt tỷ lệ % hiển thị từ 85-90% ở trình duyệt trên máy tính để sử dụng diễn đàn được tốt hơn.