Toán 9 – Căn Bậc Hai – So Sánh Các Căn Bậc Hai Số Học

Ở lớp 7, ta đã học căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x² = a.

Tức là, ví dụ căn bậc hai của 64 là √64 và −√64 hay là ±8.

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0.

Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau: 

• Số dương kí hiệu là √a >>> gọi là CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
• Số âm kí hiệu là −√a.

Số âm không có căn bậc hai.

Mục lục

Toggle

• 1.Định nghĩa Căn bậc hai số học
• 2.So sánh các căn bậc hai số học
• Các dạng bài tập Căn bậc hai 
  • Dạng 1: Tính căn bậc hai số học và căn bậc hai 
    • Bài 1 SGK Toán 9 tập 1
  • Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học 
    • Bài 2 SGK Toán 9 tập 1
  • Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai
    • Bài 3 SGK Toán 9 tập 1
    • Bài 4. SGK Toán 9 tập 1
    • Bài 5. SGK Toán 9 tập 1
• Tóm tắt bài học: Căn bậc hai – Căn bậc hai số học
• Bài tập nâng cao về Căn bậc hai
  • Bài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉ
  • Bài 2: So sánh các căn bậc hai số học
  • Bài 3: Giải phương trình có chứa căn bậc hai

1.Định nghĩa Căn bậc hai số học

Với số dương a, số √a  được gọi là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương.

Để khai phương một số, ta có thể dùng máy tính bỏ túi.

Ví dụ: Căn bậc hai số học của 16 là √16 = 4. 

Căn bậc hai số học của 6 là √6.

Chú ý: Với a ≥ 0, ta có:

Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x² = a.

Nếu x ≥ 0 và x² = a  thì x = √a.

Ta có thể viết như sau: 

Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121

=> căn bậc hai của 121 là ±11

b) 1,21: căn bậc hai số học của 1,21 là 1,1 vì 1,1 ≥ 0 và 1,1² = 1,21.

=> căn bậc hai của 1,21 là ±1,1

2.So sánh các căn bậc hai số học

Nhắc lại với các em là:

Nếu a < b thì √a < √b với a, b không âm.

Nếu √a < √b thì a < b với a, b không âm.

Ta sẽ áp dụng định lí sau để so sánh các căn bậc hai số học.

Định lí:

Với hai số a và b không âm, ta có: a < b ⇔ √a < √b

Ví dụ: So sánh các căn bậc hai số học

a) 4 và √15

Đầu tiên ta viết 4 = √16 và so sánh √16 và √15.

Vì 16 > 15 nên √16 > √15. Vậy 4 > √15.

b) √11 và 3

Vì 11 > 9 nên √11 > √9. Vậy √11 > 3.

Tìm x không âm, biết:

a) √x > 2

Vì 2 = √4, nên √x > √4.

Vì x ≥ 0 nên √x > √4  ⇔ x > 4.

Vậy x > 4.

b) √x < 3

Ta biết 3 = √9 nên √x < √9.

Vì x ≥ 0 nên √x < √9  ⇔ x < 9.

Vậy 0 ≤ x < 9

c) √(2x) < 4

Ta có 4 = √16 nên √2x < √16.

Vì x ≥ 0 nên √2x < √16 ⇔ 2x < 16 ⇔ x < 8.

Vậy 0 ≤ x < 8.

Các dạng bài tập Căn bậc hai 

Dạng 1: Tính căn bậc hai số học và căn bậc hai 

Bài 1 SGK Toán 9 tập 1

Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121

=> căn bậc hai của 121 là ±11

b) 144 : căn bậc hai số học của 144 là 12 vì 12 ≥ 0 và 12² = 144

=> căn bậc hai của 144 là ±12

c) 169 : căn bậc hai số học của 169 là 13 vì 13 ≥ 0 và 13² = 169

=> căn bậc hai của 169 là ± 13

d) 225 : căn bậc hai số học của 225 là 15 vì 15 ≥ 0 và 15² = 225

=> căn bậc hai của 225 là ± 15

e) 256 : căn bậc hai số học của 256 là 16 

=> căn bậc hai của 256 là ± 16

f) 324 : căn bậc hai số học của 324 là 18

=> căn bậc hai của 256 là ± 18

g) 361 : căn bậc hai số học của 361 là 19 

=> căn bậc hai của 361 là ± 19

h) 400 : căn bậc hai số học của 400 là 20

=> căn bậc hai của 400 là ± 20.

Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học 

Bài 2 SGK Toán 9 tập 1

So sánh:

a) 2 và √3 

Đầu tiên ta viết 2 = √4 và so sánh √4 với √3. 

Vì 4 > 3 nên √4 > √3. Vậy 2 > √3.

b) 6 và √41

Ta có: 6 = √36. Vì 36 < 41 nên √36 < √41.

Vậy 6 < √41.

c) 7 và √47

Ta có 7 = √49. Vì 49 > 47 nên √49 > √47.

Vậy 7 > √47

Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai

Giải phương trình x² = a (với a ≥ 0).

Chú ý: Nếu a < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Nghiệm của phương trình x² = a (với a ≥ 0) là các căn bậc hai của a, tức là 

x² = a (với a ≥ 0) ⇔ x = √a hoặc −√a.

Bài 3 SGK Toán 9 tập 1

Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3):

a) x² = 2 

⇔ x = √2 hoặc −√2

⇔ x = 1,414 hoặc − 1,414

b) x² = 3

⇔ x = ±√3 = ±1,732

c) x² = 3,5

⇔ x = ±√3,5 = ±1,87

d) x² = 4,12 

⇔ x = ±√4,12 = ±2.03

Bài 4. SGK Toán 9 tập 1

Tìm số x không âm, biết:

a) √x = 15

⇒ x = 15² = 225    <<<  căn bậc hai số học của 225 bằng 15

b) 2√x = 14

⇔ √x = 7      <<< chia cả hai vế cho 2

⇔ x = 7² = 49     <<< căn bậc hai số học của 49 là 7

c) √x < √2

⇔ 0 ≤ x < 2      <<< kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x < 2

d) √2x < 4

Ta có 4 = √16 nên √2x < √16.

Vì x ≥ 0 nên √2x < √16 ⇔ 2x < 16 ⇔ x < 8.

Vậy 0 ≤ x < 8.       <<< kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x < 8.

Bài 5. SGK Toán 9 tập 1

Đố: Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m và chiều dài 14 m.

Giải:

Trước tiên ta tính diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng = 14 × 3,5 = 49 m².

Gọi cạnh của hình vuông cần tìm là x, với x > 0.

Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh = x² = diện tích hình chữ nhật nên

x² = 49. >>> Muốn tính x ta tìm căn bậc hai số học của 49.

x > 0 nên x là căn bậc hai số học của 49 tức là x = √49 = 7.

Vậy cạnh của hình vuông cần tìm là 7m.

Tóm tắt bài học: Căn bậc hai – Căn bậc hai số học

Kết thúc bài hôm nay, chúng ta cần nhớ điều gì về căn bậc hai và căn bậc hai số học?

#1. Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau: 

• Số dương kí hiệu là √a >>> gọi là CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
• Số âm kí hiệu là −√a.

Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0.

Số âm không có căn bậc hai.

#2. Căn bậc hai số học của một số không âm là một số không âm >>> √a ≥ 0.Với a ≥ 0:

Số x là căn bậc hai số học của a tức là

x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = (√a)² = a.

Cuối cùng, ta phải nhớ định lí sau về căn bậc hai số học:

>>> Học Toán 9 online với giáo viên liên hệ 035 3150072.

Bài tập nâng cao về Căn bậc hai

Bài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉ

Để để chứng minh một số a là số vô tỉ, ta thường dùng phương pháp phản chứng: Giả sử a là số hữu tỉ thì dẫn đến mâu thuẫn. 

Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ.

Nhưng để dễ hiểu phương pháp làm, ta sẽ chứng minh √5  là số vô tỉ.

Giải:

Giả sử √5 là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:

√5 = m/n   với m, n ∈ Z, n ≠ 0, ƯC (m, n) = 1. (m/n là phân số tối giản)

⇒ (√5)² = m²/n²    hay    5n² = m²                                (1)

⇒ m² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5.

Đặt m = 5k (k ∈ Z) ta có :     m²  =   25k²                      (2)

Từ (1) và (2) ta có:      5n² =  25k²  

                            ⇒    n² = 5k²

suy ra n² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên m/n không phải là tối giản, như vậy trái giải thiết ƯC(m, n) = 1.

Vậy √5 không phải số hữu tỉ, do đó √5  là số vô tỉ. (đpcm)

Bài 2: So sánh các căn bậc hai số học

So sánh hai số:

a) 2√3  và  3√2

Ta có (2√3)² = 2². (√3)² = 4. 3 = 12.

(3√2)² =  3². (√2)²  = 9.2 = 18.

Vì 12 < 18 nên (2√3)² < (3√2)² ⇒ 2√3 < 3√2.

b) √24 + √45   và  12

Ta so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên:

Ta có 24 < 25 nên √24 < √25

45 < 49 nên √45 < √49

 Vì vậy nên √24 + √45 < √25 + √49 = 5 + 7 = 12

c) √37 −√15  và  2

T a so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên:

Ta có 37 > 36  nên  √37 > √36

15 < 16 nên √15 < √16 ⇒  −√15  > −√16

Nên √37 −√15 > √36 −√16 = 6 − 4 = 2.

Bài 3: Giải phương trình có chứa căn bậc hai

Điều kiện: x ≥ 1

Phương trình ⇒ x − 1 = 49    <<< Bình phương hai vế để mất căn bậc hai

⇔ x = 50   (thỏa mãn điều kiện)  <<< Cộng cả hai vế với 1

⇔ x² + 1 = 4   <<< Bình phương hai vế để mất căn bậc hai

⇔ x² = 3  <<< Trừ hai vế cho 1

⇔ x = √3 hoặc −√3 

⇔  x² + 5x + 20  = 16  <<< Để bỏ căn bậc hai, ta bình phương hai vế

⇔ x² + 5x + 4 = 0    <<< Trừ cả hai vế cho 16

⇔ (x + 1)(x + 4) = 0    <<< Phân tích đa thức thành nhân tử

⇔ x = −1 hoặc x = −4

Vì −2 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

Các bài tập trên là những bài tập mẫu liên quan đến căn bậc hai, căn bậc hai số học mà ta vừa học. 

Các em hãy cố gắng đọc hiểu và tự mình làm lại rồi kiểm tra lại nhé!

Nếu muốn Học Toán tiếng Anh phần này thì học tại đây.

Bài tiếp theo: Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Quay lại trang: Học toán 9

Xem thêm

• 20 câu giao tiếp tiếng Đức khi đi mua sắm
• Cách dùng weil, wenn, và dass trong ngữ pháp tiếng Đức
• Free grade 1 math worksheets
• Toán 9 – Bất đẳng thức là gì? Cách chứng minh bất đẳng thức
• Toán 9 – Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ths-GV Toán

Nguyễn Thùy Dung

Chia sẻ:

• Facebook
• X

Thích điều này:

Thích Đang tải... Tweet Pin It Tags:căn bậc hai số học, tìm căn bậc hai, toán 9