Toán Cao Cấp 1-Bài 1: Hàm Số, Giới Hạn Và Liên Tục Potx - Tài Liệu Text

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (22 trang)

Trang chủ

Giáo Dục - Đào Tạo

Cao đẳng - Đại học

Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục potx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (590.79 KB, 22 trang )

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 Nội dung Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn. • Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức. BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu Bạn nên học và làm bài tập của bài này trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4 giờ đồng hồ. • Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự liên tục • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 2 1.1. Hàm số một biến số 1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số Cho X là tập hợp khác rỗng của R . Ta gọi ánh xạ ()f:Xxyfx→=6R là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x. Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f. Tập hợp f(X) {y ,y f(x):x X}=∈= ∈\ gọi là miền giá trị của f Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: yf(x)= mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức 2y1x=− xác định khi : 21x 0 x 1 1x1.−≥⇔ ≤⇔−≤≤ Do đó miền xác định của hàm số 2y1x=− là []1,1− . Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]. Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ 2: 2x 1 khi x 0f(x)1 2x khi x 0⎧+≥=⎨−<⎩ Hàm f(x) là một hàm số xác định trên R. Nếu x không âm thì giá trị của hàm số được tính theo công thức: 2f(x) x 1=+ . Nếu x âm, giá trị của hàm số được tính bởi: f(x) 1 2x.=− 1.1.2. Đồ thị của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X ⊂ R. Ứng với mỗi giá trị 0xX∈ ta có giá trị 00yf(x)= của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm 000M(x,y)= . Khi 0x thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì 0M cũng thay đổi theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độOxy. Đường cong này được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa độ()Mx;y, ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 3 Ví dụ 3: Đồ thị của hàm số 2x khi x 0y x khi 0 x 13khi x 12⎧⎪≤⎪=<≤⎨⎪⎪>⎩ được biểu diễn như sau: Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình tự như sau: Lấy các số 12 nx , x , ,x từ miền xác định của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng gần nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số 11n ny f (x ), , y f (x )== • Xác định các điểm • 111 n nnM (x , y ), ,M (x , y )== • Nối các điểm đã xác định nói trên ta có hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số. Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi. 1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.3.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) • Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a,b) nếu với mọi 12 1 2x,x (a,b),x x∈< kéo theo: 12f(x ) f(x )≤ . CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền Hình 1.2 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 4 (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là: 12 1 2 1 2x ,x (a,b),x x f(x ) f(x )∀∈ <⇒ < thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a,b) ). • Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a,b) nếu với mọi 12 1 2x,x (a,b),x x∈< kéo theo: 12f(x ) f(x )≥ . (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức: 12 1 2 1 2x ,x (a,b),x x f(x ) f(x )∀∈ <⇒ > thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a,b)). Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a,b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải. Hình 1.3 1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng ()xD xD∈⇔−∈ , chẳng hạn khoảng (l,l)−, đoạn []a,a− , tập (b,a) (a,b)(0 a b)−−∪ <<,… • Được gọi là hàm chẵn nếu: f(x) f( x)=− với mọi xD∈. Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì yvẫn không thay đổi. • Được gọi là hàm lẻ nếu: f(x) f( x)=−− với mọi x D∈. Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì ycũng đổi dấu. Ví dụ 4: Các hàm số 2f(x) x , g(x) cosx== là các hàm chẵn trên R vì: 22f( x) ( x) x f(x)xg( x) cos( x) cosx g(x)⎫−=− = =∀∈⎬−= −= =⎭R Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 5 còn hàm số 3h(x) x ,k(x) sin x== là các hàm lẻ trên R vì: 33h( x) ( x) ( x) h(x)xk( x) sin( x) sinx k(x)⎫−=− =− =−∀∈⎬−= −=− =−⎭R Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ: 1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số fđược gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu tồn tại số thực p 0≠ sao cho: x D thì x p D và f(x p) f (x).∀∈ ± ∈ + = Số p gọi là chu kỳ của hàm f . Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 6 Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T được gọi là chu kỳ cơ bản của f . Ví dụ 5: Các hàm sin x,cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x 2 ) sin x,cos(x 2 ) cosx x+π= +π= ∀∈R Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ π vì: ()tg x tgx, x k ;cotg(x ) cotg, x k 2π+π= ∀ ≠ +π +π= ∀≠π Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm ysinx=, giả sử tồn tại số dương T2<π để: ()sin x T sinx x .+=∀∈\ Khi đó với x0= ta phải có: sin T sin 0 0 T k (k )==⇒ =π ∈Z mà T2<π nên T =π. Khi đó với x2π= thì sin sin22ππ⎛⎞⎛⎞+π =⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠, hay 1 1=− . Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T. Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx 1.1.4. Hàm số hợp Giả sử ta có hai hàm số yf(u)= biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u u(x)=ϕ biểu diễn sự phục thuộc của u theo x. Thêm vào đó, khi x thay đổi trong miền X , các giá trị của hàm số u(x)=ϕ luôn thuộc vào miền xác định của hàm yf(u)=. Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho tương ứng với duy nhất một giá trị của biến y theo quy tắc: fxuyϕ⎯⎯→⎯⎯→ , hay y f ( (x))=ϕ . Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 7 Hàm số g biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và ϕ. Ký hiệu: g f ( (x))=ϕ . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác động trước đến biến x). Ví dụ 6: Hàm số 5ysinx= là hàm hợp của hai hàm 5yu= và usinx=. Cách nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số 5g(x) sin x= là hàm hợp của hai hàm 5f(x) x= và (x) sin xϕ= ”. 1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số yf(x)= có miền xác định X , miền giá trị Yf(X)=. Nếu với mỗi 0yY∈ tồn tại duy nhất 0xX∈ để 00f(x ) y=(hay phương trình 0f(x) y= có nghiệm duy nhất trong X ) thì quy tắc biến mỗi số yY∈ thành nghiệm duy nhất của phương trình f(x) y= là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , ký hiệu 1f− 1f(y) x f(x) y.−=⇔= Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của 1f−. Ví dụ 7: • Hàm số 3yx= ( →RR) có hàm ngược là hàm số 3xy= ( →RR) vì: 33yx x y=⇔= • Hàm số xya=()a0,a1>≠(*+→RR) có hàm ngược là hàm số axlogy= (+*→RR) vì: xay a x log x.=⇔= • Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu: o Hàm số ysinx= , [ 1,1]22⎛ππ ⎞⎡⎤−→−⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: xarcsiny=[1,1] , .22⎛ππ⎞⎡⎤−→−⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠ o Hàm số ycosx=[]()0, [ 1,1]π→− có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: xarccosy=[]()[1,1] 0,−→π. o Hàm số ytgx= ,22⎛ππ ⎞⎛⎞−→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠R có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: xarctgy , .22⎛ππ⎞⎛⎞=→−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠\ Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 8 o Hàm số y =cotgx ()()0, π→R có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: ()()xarccotgy 0.=→π\()()0,→πR 1.1.6. Các hàm số sơ cấp 1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa y x ( )α=α∈R Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . o Nếu 0α≥ , MXĐ là R . o Nếu α nguyên âm. MXĐ là \{0}R. o Nếu *1,ppα= ∈R thì MXĐ là +R nếu p chẵn và R nếu p lẻ. o Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là +R . • Hàm mũ: xf(x) a (0 a 1)=<≠ MXĐ: R , MGT: *+R ; Hàm số đồng biến nếu a1> và nghịch biến nếu 0a1<<. • Hàm số lôgarit: af(x) log x= (0a1<≠ ) o MXĐ: *+R , MGT:R ; Hàm số đồng biến nếu a1> và nghịch biến nếu 0a1<<. • Hàm lượng giác o ysinx= : Có MXĐ là R , MGT [ 1,1]−; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm sin là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π. Hình 1.7: Đồ thị hàm số =3yx CHÚ Ý : • Do thường ký hiệu x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn hàm ngược thay vì 1xf(y)−= có viết 1yf(x)−=. Chẳng hạn aylogx= là hàm ngược của hàm: xya= • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đồ thị của hai hàm f(x) và 1f(x)−thì theo định nghĩa: M (x, y) (C) M' (y,x) (C')=∈⇔=∈ Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 9 o ycosx= : Có MXĐ là R , MGT [1,1]− ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π. o ytgx= : Có MXĐ là \ (2k+1) , k2π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭RZ, MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ của giao điểm tia OM (M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có phương trình: x1= . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . o y = cotgx: Có MXĐ là {}\k,kπ∈RZ, MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ của giao điểm tia OM (M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trình y 1=. Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π. Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 10 • Hàm lượng giác ngược o yarcsinx= : Có MXĐ là [ 1,1]−, MGT ,22ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ là hàm ngược của hàm sin. Hàm y arcsin x= là hàm lẻ, đồng biến. o yarccosx= : Có MXĐ là [ 1,1]−, MGT []0,π là hàm ngược của hàm cos. o Hàm y arccos x= là hàm nghịch biến. o yarctgx= : Có MXĐ là R , MGT ,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠ là hàm ngược của hàm tg. Hàm y arctgx= là hàm lẻ, đồng biến. o yarccotgx= : Có MXĐ là R , MGT ,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠ là hàm ngược của hàm cotgx. Hàm y arccotgx= là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược 1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán lấy hàm hợp. Ví dụ 8: Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y ax b=+. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 11 • Hàm bậc hai: 2yax bxc=++. • Hàm lôgarit: ()2alog x x 1++. • Hàm lượng giác: 21sinxyarctg(2x3)1x+=++−. • Hàm phân thức hũu tỷ: 2xy1x=−. 1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số 1.2.1. Khái niệm 1.2.1.1. Dãy số Ta gọi dãy số là một tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một thứ tự, hay được đánh số bằng các số tự nhiên. Để cho một dãy số, người ta có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng quát và công thức truy hồi. • Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo đúng thứ tự (nếu không viết được hết thì dùng dấu “…” để biểu thị dãy còn tiếp tục). • Công thức tổng quát: Chỉ rõ cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần biết thứ tự của số hạng đó trong dãy. • Công thức truy hồi: Chỉ rõ cách xác định một số hạng khi biết các số hạng liền trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách biểu diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn hai cách kia đảm bảo có thể tìm được số hạng với thứ tự bất kỳ trong dãy. Ví dụ 9: Dãy Fibonacci và 3 cách biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • Công thức tổng quát: Số hạng thứ n là: nn15 1522⎛⎞⎛⎞−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ • Công thức truy hồi: Hai số hạng đầu tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng liền trước. Công thức tổng quát của dãy số là cách biểu diễn tốt nhất để có thể định nghĩa dãy số. Nhờ nó, dãy số được định nghĩa một cách hết sức đơn giản mà chặt chẽ. Định nghĩa: Dãy số là một ánh xạ (hàm số) có miền xác định là ` (hoặc một tập con các số tự nhiên liên tiếp của `) và lấy giá trị trong tập các số thực R . Ta thường ký hiệu dãy số bởi {}nn1x∞= hay gọn hơn {}nx. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 12 Ví dụ 10: (A) n111111, , , , , n23n∞=⎧⎫⎧ ⎫=⎨⎬⎨ ⎬⎩⎭ ⎩ ⎭ (B) {}{}nnn1( 1) 1,1, 1, ,( 1) , ∞=−=−−− (C) {}{}22n1n 1, 4,9, ,n , ∞== (D) n1n123n, , , , , n 1 234 n 1∞=⎧⎫⎧ ⎫=⎨⎬⎨ ⎬++⎩⎭⎩ ⎭ 1.2.1.2. Dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn Dãy {}nx gọi là • Dãy tăng nếu nn1xx n+<∀∈` • Dãy giảm nếu nn1xx n+>∀∈` • Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm. • Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho nxM,n≤∀∈` • Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho nxm,n≥∀∈` • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Trong ví dụ 10 • Dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi 1− và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1 không bị chặn trên nên không bị chặn. • Dãy (D) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. 1.2.2. Giới hạn của dãy số Xét dãy số nn2nn11111x , , , , 2222∞=⎧⎫⎧ ⎫==⎨⎬⎨ ⎬⎩⎭⎩ ⎭. Khoảng cách giữa nx và 0 là: nn1x02−= Ta thấy: Cho trước một số 0ε> bé tùy ý thì sẽ tìm được một số N sao cho n>N∀ thì khoảng cách giữa nx và 0 sẽ bé hơn số ε đó. Chẳng hạn, cho trước khoảng 0,05ε= thì chỉ cần n8= thì n1x0 0,05256−= <. Ta nói dãy {}nx dần tới 0 khi n tiến tới vô cùng. Định nghĩa: Dãy {}nx có giới hạn a hữu hạn khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số 0ε> cho trước (bé tùy ý), tồn tại số tự nhiên 0n sao cho với mọi 0nn> thì nxa−<ε. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 13 Ta viết: nnlim x a→∞= hay nx a khi n→→∞. Dãy {}nx được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để nnlim x a→∞=. Trong trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong định nghĩa trên, số 0n phụ thuộc vào ε nên ta viết 00nn()=ε . Ví dụ 11: n1lim 0n→∞=. Thật vậy, ta có: n1x0n−= . Với mỗi 0ε> bất kỳ chỉ cần chọn 01n1⎡⎤=+⎢⎥ε⎣⎦ thì khi 0nn> có ngay n11x01n−=< =εε. Định nghĩa: Dãy {}nx được nói là có giới hạn ∞ khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số M0> cho trước (lớn tùy ý), tồn tại số tự nhiên 0n sao cho với mọi 0nn> thì nxM> ; ta cũng viết nnlim x→∞=∞ và là dãy phân kỳ. Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu chi tiết hơn về giới hạn ,+∞ −∞. 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dãy có giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy đó là dãy bị chặn . • Giới hạn là duy nhất. 1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp Nếu có ba dãy số {}{}{}nnnx,y,z thỏa mãn: • nnnxyz≤≤ • nnnnlim x lim z a→∞ →∞== (a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì {}ny có giới hạn và nnlim y a→∞= . 1.2.3.3. Định lý Weierstrass Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 14 1.2.4. Các định lý về giới hạn của dãy số Cho {}{}nnx,y là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa có thể chứng minh các kết quả sau: nn n nnnnlim(x y ) lim x lim y→∞ →∞ →∞±=± nn n nnnnlim(x y ) lim x lim y→∞ →∞ →∞= nnnnnnnnnlim xxlim (khi lim y 0)ylimy→∞→∞ →∞→∞=≠ . Chú ý rằng khi cả {}{}nnx,y có các giới hạn vô cực thì nhìn chung không sử dụng được các kết quả nói trên. Các dạng vô định thường gặp là 0,, ,0.0∞∞−∞ ∞∞. Khi đó ta phải dùng các phép biến đổi để khử dạng vô định. Ví dụ 12: 222nn2121nn2 1nn:lim lim .12n 1 22n→∞ →∞+−∞+−⎛⎞==⎜⎟∞+⎝⎠+ ()22nn n2233n 2 3n():limn3n2nlim lim .232n3n2n11nn→+∞ →+∞ →+∞⎛⎞−⎜⎟⎛⎞−⎜⎟∞−∞ + − − = = =⎜⎟⎜⎟+−+⎝⎠+− +⎜⎟⎝⎠ 1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 1.3.1. Định nghĩa 1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) Giả sử hàm số f (x) xác định ở lân cận điểm 0x (có thể trừ tại 0x ). Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là A khi x dần tới 0x nếu: Với mọi số 0ε> cho trước, đều tồn tại một số 0δ> sao cho khi: 0xx−<δ thì f(x) A−<ε. Kí hiệu là:0xxlim f (x) A→= hay f (x) A→ khi xa→ . Một cách tương đương ta có thể định nghĩa ()fx có giới hạn là A khi 0xx→ khi và chỉ khi với mọi {}n0xx→ ta có (){}nfx A→ . 1.3.1.2. Định nghĩa (giới hạn một phía) Trong định nghĩa nêu trên, chúng ta xét quá trình 0xx→ không phân biệt 0xx> hay 0xx< . Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình này với kí hiệu như sau: Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 15 • Quá trình x tiến đến 0x về phía bên phải, tức là 0xx→ với điều kiện 0xx> , được kí hiệu là: 0xx0→+ hoặc đơn giản hơn là 0xx→+ • Quá trình x tiến đến 0x về phía bên trái, tức là 0xx→ với điều kiện 0xx<, được kí hiệu là: 0xx0→− hoặc đơn giản hơn là 0xx→− • Giới hạn của hàm số f(x) khi 0xx→+ hoặc khi 0xx→− được gọi tương ứng là giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm 0x. • Giới hạn bên phải:000xx xx,xxlim f(x) lim f (x)→+ → >=. • Giới hạn bên trái:000xx xx,xxlim f (x) lim f (x)→− → <=. Từ định nghĩa trên ta suy ra: Định lý: Điều kiện cần và đủ để 0xxlim f (x) L→= là: 00xx xxlim f(x) lim f(x) L→+ →−== . 1.3.2. Tính chất 1.3.2.1. Tính chất các hàm có giới hạn Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số Định lý: Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi xa→ thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý: Nếu hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn khi xa→ thì nó bị chặn trong miền {}Xx : 0xa ,=∈ <−<δR với δ là một số dương đủ nhỏ. Định lý: Nếu xalim f (x) L→= và Lb (Lb)>< thì, với δ là một số dương đủ nhỏ ta cũng có {}f(x) b (f(x) b) x x : 0 x a><∀∈∈<−<δR . Định lý: Nếu ()f(x) g(x) f(x) g(x)≥> với mọi {}xx : 0xa∈∈<−<δR và cả hai hàm số f(x),g(x) có giới hạn hữu hạn khi xa→ thì xa xalim f (x) lim g(x)→→≥ . 1.3.2.2. Các quy tắc tính giới hạn Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ dãy số và các quy tắc tương ứng về giới hạn của dãy số ta dễ dàng chứng minh được các quy tắc sau đây: Định lý: Nếu khi xa→ các hàm số f(x) và g(x) lần lượt có giới hạn là các số thực 1L và 2L thì: • ()12xalim f(x) g(x) L L→+=+ • ()1xalim kf (x) kL→= Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 16 • ()12xalim f(x)g(x) L L→= • 1xa2Lf(x)limg(x) L→= khi 2L0≠ . Định lý: Giả sử (x)ϕ và f (u) thỏa mãn các điều kiện: • xalim (x) b→ϕ= và ()ublim f (u) f b L→== • tồn tại số 0δ> sao cho khi x (a ;a )∈−δ +δ và x a≠ ta luôn có: u (x) b=ϕ ≠ thì: ()xalim f (x) L→ϕ= . Định lý: Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chứa điểm xa= thì xalim f (x) f (a)→= . Định lý: Nếu tồn tại số 0δ> sao cho u(x) f(x) v(x)≤≤ với mọi {}xx :0xa∈∈<−<δR và xa xalim u(x) lim v(x) b→→== thì xalim f (x) b→=. Định lý: Giả sử các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn hữu hạn khi xa→ : xalim f (x) b 0,→=> xalim g(x)→=α . Khi đó: []g(x)xalim f (x) bα→=. Ví dụ 13: 3xx53x2x 1lim 2 8x1−→∞−⎛⎞==⎜⎟+⎝⎠, do x2x 1lim 2x1→∞−=+ và x3xlim 3x5→∞=−. Định lý: Nếu xalim f (x) 0→= và g(x) là một hàm số bị chặn thì xalim f (x).g(x) 0→=. Ví dụ: 2x01lim x sin 0x→= vì 2x0lim x 0→= và 1sinx là hàm bị chặn. 1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi xa→ nếu xalim f (x) 0→=. Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f(x) A→ khi xa→ thì f(x) A (x)=+α Trong đó (x)α là một VCB khi xa→ • Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi xa→ nếu xalim F(x)→=+∞ Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 17 • Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một VCB khác không khi xa→ thì 1f(x) là VCL và ngược lại nếu F(x) là một VCL khác không khi xa→ thì 1F(x) là một VCB khi xa→ . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi xa→ • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi xa→ 1.3.3.2. Tính chất • Nếu 12f (x),f (x) là hai VCB khi xa→ thì 1212f(x) f(x),f(x).f(x)±cũng là những VCB khi xa→ . • Nếu 12f (x),f (x) cùng dấu và là hai VCL khi xa→ thì 12f(x) f(x)+ cũng là một VCL khi xa→ . Tích của hai VCL khi xa→ cũng là một VCL khi xa→ . 1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé • Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử (x), (x)αβ là hai VCB khi xa→. o Nếu xa(x)lim 0(x)→α=β; ta nói rằng (x)αlà VCB bậc cao hơn (x)β. o Nếu xa(x)lim(x)→α=∞β; ta nói rằng (x)αlà VCB bậc thấp hơn (x)β . o Nếu xa(x)lim A ( 0, )(x)→α=≠≠∞β; ta nói rằng (x)α và (x)β là hai VCB cùng bậc. o Nếu xa(x)lim(x)→αβ không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB (x)α và (x)β . Ví dụ 14: 1cosx− và 2x đều là những VCB khi x0→ . Vì: 2x0 x0 x0xxsin sin1cosx x 122lim lim limsin .lim . 0x2x x 2 22→→→−== = nên 1cosx− là VCB bậc cao hơn 2x . Ví dụ 15: 1x.sinx và 2x là những VCB khi x0→. Vì: x0 x0 x011xsin sin11xxlim lim lim sin2x 2 2 x→→ →== . Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 18 Nhưng không tồn tại x01lim sinx→ nên 1xsinx và 2x là hai VCB khi x0→ không so sánh được với nhau. • VCB tương đương Định nghĩa: Hai VCB ()xα và ()xβ khác 0 khi xa→ gọi là tương đương với nhau nếu xa(x)lim 1(x)→α=β. Kí hiệu: (x)α~ ()xβ Nhận xét: 2VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc. Định lý: Nếu (x)α và (x)β là hai VCB khi xa→ , 11(x) ~ (x), (x) ~ (x)ααβ β khi xa→ thì: 1xa xa1(x)(x)lim lim(x) (x)→→αα=ββ. Thật vậy, vì 11(x) ~ (x), (x) ~ (x)ααββ; ta có: xa xa11(x) (x)lim 1; lim 1(x) (x)→→αβ==αβ. 1.3.3.4. Các vô cùng bé tương đương thường gặp Nếu (x) 0α→khi xa→ thì : sin (x) ~ (x), tg (x)~ (x),arcsin (x) ~ (x), arctg (x) ~ (x).αα αα⎧⎨αα αα⎩ 1.3.4. Hàm số liên tục 1.3.4.1. Định nghĩa f là một hàm số xác định trong khoảng 0(a,b), x là một điểm thuộc (a,b).Ta nói rằng hàm số f liên tục tại 0x nếu: 00xxlimf(x) f(x ).→= (1.1) Nếu hàm số f không liên tục tại 0x , ta nói rằng nó gián đoạn tại 0x. Nếu đặt:00x x x, y f(x) f(x )=+ΔΔ= − thì đẳng thức (1.1) có thể viết là: []00xxlim f(x) f(x ) 0→−= hay x0lim y 0Δ→Δ=. Chú thích: Ta cũng có thể nói rằng f liên tục tại 0x(a,b)∈ nếu: 00xx xxlim f (x) f ( lim x)→→= . Ví dụ 16: Hàm số 2yx= liên tục tại mọi 0x∈R . Thật vậy, ta có: 22222000 0 0 0 00x0 x0 x0 x0y x,y y(x x),y(x x) x 2xx(x);lim y 2x.lim x lim x.lim x 0.Δ→ Δ→ Δ→ Δ→=+Δ=+ΔΔ=+Δ−=Δ+ΔΔ= Δ+ Δ Δ= Tương tự như vậy, có thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục tại những điểm thuộc miền xác định của nó. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 19 Định nghĩa: f(x) được gọi là: liên tục trong khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. liên tục trên đoạn []a,b , nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tục phải tại a (tức là xa0lim f (x) f (a)→+= ) và liên tục trái tại b (tức là: xb0lim f (x) f (b)→−= ). 1.3.4.2. Các phép toán về hàm liên tục Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra: Định lý: Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại 0x thì: • f(x) g(x)+ liên tục tại 0x • f (x).g(x) liên tục tại 0x • f(x)g(x) liên tục tại 0x nếu 0g(x ) 0≠. Định lý: Nếu hàm số u(x)=ϕ liên tục tại 0x, hàm số yf(u)= liên tục tại 00u(x)=ϕ thì hàm số hợp []y (f )(x) f (x)=ϕ=ϕD liên tục tại 0x. Chứng minh: Ta có 000xxlim (x) (x ) u→ϕ=ϕ = vì ϕ liên tục tại 0x . Hàm số:y f(u)= liên tục tại 0u. Do đó:00uulim f (u) f (u )→= 1.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tục Các định lý sau đây (không chứng minh) nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số liên tục. Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn []a;b thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m và M sao cho []mf(x)M x a;b≤≤∀∈ . Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn []a;b thì nó đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm 12x , x sao cho: [][]12f(x ) m f(x) x a,b ; f(x ) M f(x) x a,b= ≤ ∀∈ = ≥ ∀∈ Định lý (về giá trị trung gian): Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn []a;b ; m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với mọi số μ nằm giữa m và M luôn tồn tại []a,bξ∈ sao cho: f( )ξ=μ. Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên []a,b , f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a,b) tồn tại điểm ξ sao cho: ()f0ξ= Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 20 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là: • Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số • Dãy số và giới hạn của dãy số • Giới hạn của hàm số Phần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu các khái niệm về dãy số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số. Phần cuối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 21 CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Định nghĩa hàm số đơn điệu, chẵn, lẻ, tuần hoàn. 2. Định nghĩa hàm số ngược của hàm số y = f(x). Tìm hàm số ngược của các hàm số lượng giác. 3. Định nghĩa và phân loại các hàm số sơ cấp. 4. Định nghĩa giới hạn của dãy số. 5. Định nghĩa giới hạn của hàm số, giới hạn một phía, giới hạn vô hạn. 6. Phát biểu hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn. 7. Định nghĩa VCB, VCL, VCB tương đương. 8. Hàm số liên tục: Định nghĩa, tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 22 BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng bất kỳ một hàm số nào xác định trong một khoảng đối xứng cũng có thể viết được dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. 2. Viết các hàm số sau đây dưới dạng hàm số hợp a. 23y(3x 7x1)=−+ b. xylntg2= c. 1tgxy2= d. xyarcsin1x=+. 3. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ các hàm số sau: a. f(x) Acos x Bsin x=λ+λ b. 11f (x) sin x sin 2x sin 3x23=+ + c. 2f(x) sin x= d. f(x) tgx= 4. Chứng minh rằng: a. arcsin x+arccos x=2π b. arc tgx+arccotgx =2π 5. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh rằng dãy số 2n23n 1x5n 1+=− có giới hạn bằng 35. 6. Tìm giới hạn một phía của các hàm số sau: a. 2x 3 x 1f(x) 3x 5 x 1−+ ≤⎧=⎨−>⎩ khi x1→. b. 1cosxf (x) khi x 0.x−=→ 7. Chứng minh rằng hàm số 42f(x) x 2x 1=+ + liên tục tại điểm x bất kỳ.

Tài liệu liên quan

Giới hạn và liên tục của hàm số
- 57
- 1
- 8
Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực
- 22
- 3
- 5
Bài giảng Chuyên đề: Giới hạn và liên tục hàm số
- 12
- 1
- 37
Bài soạn CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC HÀM SỐ
- 12
- 1
- 31
Toán cao Cấp 3 : giải tích hàm nhiều biến Giới hạn và liên tục
- 63
- 15
- 315
Giải tích 1Chương 1: Giới hạn và liên tục
- 51
- 1
- 17
Bài 1 Giới hạn và liên tục docx
- 16
- 504
- 0
Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục potx
- 22
- 4
- 54
Bài giảng giải tích 2 chương 1.1 khái niệm đạo hàm và vi phân, giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng, khả vi và vi phân
- 33
- 1
- 2
Toán cao cấp tập 1 đại số tuyến tính
- 137
- 640
- 0