Toán Cao Cấp A3

Trang chủ Tìm kiếm Trang chủ Tìm kiếm Toán cao cấp A3 pdf 36 2 MB 36 87 4.3 ( 6 lượt) Xem tài liệu Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Tải về Đang chuẩn bị: 60 Bắt đầu tải xuống Đang xem trước 10 trên tổng 36 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên Chủ đề liên quan bài tập toán cao cấp a1 toán cao cấp A1 Bài tập toán cao cấp Ôn thi Toán cao cấp A1 Ôn tập Toán cao cấp A1 toán đại học

Nội dung

ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 45 ----Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 2. Tích phân bội Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt Chương 4. Phương trình vi phân Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3 – ĐHCN TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu ∂D hay Γ . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với biên ở vô cùng.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Khoảng cách giữa 2 điểm M1 (x1, y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là: (x1 − x 2 ) 2 + (y1 − y2 ) . 2 • Hình tròn S (M , ε) mở có tâm M (x , y ), bán kính ε > 0 được gọi là một lân cận của điểm M . Nghĩa là: ε • M M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 < ε . Toán cao cấp A3 Đại học • Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D . Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b).
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số b) Lân cận của một điểm ) dvntailieu.wordpress.com • Miền phẳng D kể cả biên ∂D được gọi là miền đóng, miền phẳng D không kể biên ∂D là miền mở. ………………………………………………………….. ( Biên soạ soạn: ThS. ThS. Đoà Đoàn Vương Nguyên Download Slide bài giả giảng Toá Toán A3 tại
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số §1. Khái niệm cơ bản §2. Đạo hàm riêng – Vi phân §3. Cực trị của hàm hai biến số d M 1 , M 2 = M 1M 2 = 3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – NXB Giáo dục. 4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) – NXB Giáo dục. 5. Đặng Văn Vinh – Slide bài giảng Toán A 3 – ĐH Bách khoa Tp.HCM. 6. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2) – NXB ĐHQG Hà Nội. 7. Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2) – NXB Giáo dục. 8. James Stewart – Calculus Early Transcendentals, sixth edition – USA 2008. c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 . Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng mỗi (x , y ) ∈ D với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ duy nhất được gọi là hàm số hai biến số x , y . • Tập D ⊂ ℝ2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số f (x , y ), ký hiệu là Df . Miền giá trị của hàm f (x , y ) là: { } G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df . Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm M (x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f (x , y ) có nghĩa. 1 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Trong mpOxy cho dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, ... VD 1. • Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy có Df = ℝ2 . Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu • Hàm số z = 4 − x 2 − y 2 có MXĐ là hình tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2 . • Hàm số z = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXĐ là hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2 . • Hàm số z = f (x , y ) = ln(2x + y − 3) có MXĐ là nửa mp mở có biên d : 2x + y − 3 = 0 , không chứa O . mọi lân cận của M 0 đều chứa vô số phần tử của dãy. • Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của tập D ⊂ ℝ 2 nếu mọi lân cận của điểm M 0 đều chứa vô số điểm thuộc D . b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) • Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là giới hạn của dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2,... nếu M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm tụ duy nhất của dãy.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số n →∞ Ký hiệu là: lim M n = M 0 hay M n   → M0. n →∞ Giải. 0 ≤ f (x , y ) = • Hàm số f (x, y ) có giới hạn là L ∈ ℝ ∪ {±∞} khi Mn Vậy dần đến M 0 nếu lim f (xn , yn ) = L . Ký hiệu: n →∞ lim f (x , y ) = x →x 0 y →y0 VD 2. lim (x ,y )→(x 0 ,y0 ) M →M 0 2x 2y − 3x − 1 lim lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ), với f (x , y ) = xy x 2 + y2
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số lim (x ,y )→(0,0) sin(x 2 + y 2 ) x 2 + y2 VD 5. Cho hàm số f (x , y ) = Chứng tỏ rằng = lim r →0 sin r 2 r2 = 1. 2xy . x + y2 lim f (x , y ) không tồn tại. 2 (x ,y )→(0,0) (x ,y )→(0,0) f (x , y ) = lim r →0 r 2 sin 2ϕ r2 = sin 2ϕ. Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không duy nhất. Vậy lim f (x , y ) không tồn tại. (x ,y )→(0,0) Toán cao cấp A3 Đại học ≤ y2 x →0 y →0 = x   → 0 . f (x , y ) = 0 . Nhận xét • Nếu đặt x = x 0 + r cos ϕ, y = y 0 + r sin ϕ thì: VD 4. Tìm . lim sin(x 2 + y 2 ) . x 2 + y2 Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: (x ,y )→(0,0)
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: lim lim (x ,y )→(0,0) x2 + y2 xy (x , y ) → (x 0 , y0 ) ⇔ r → 0 . 3 =− . 2 xy 2 + 3 (x , y )→(1,−1) VD 3. Tìm f (x , y ) = lim f (M ) = L. xy c) Giới hạn lặp • Giới hạn theo từng biến khi M n dần đến M 0 của hàm số f (x , y ) được gọi là giới hạn lặp. Khi x → x 0 trước, y → y 0 sau thì ta viết: lim lim f (x , y ). y →y 0 x →x 0 Khi y → y 0 trước, x → x 0 sau thì ta viết: lim lim f (x , y ). x →x 0 y →y 0 VD 6. Xét hàm số f (x , y ) = sin x 2 − sin y 2 lim lim f (x , y ) = lim y →0 x → 0 y →0 x 2 + y2 − sin y 2 y2 . Ta có: = −1 , 2 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số lim lim f (x , y ) = lim
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số sin x 2 Nhận xét • Nếu lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) thì không tồn = 1. x2 Vậy lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ). x →0 y → 0 x →0 y →0 x →0 y →y0 x →x 0 tại x →0 y →0 • Định lý Trong ℝ2 cho hình vuông H có 1 đỉnh là M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm số f (x , y ) xác định trong H . Nếu tồn tại lim (x ,y )→(x 0 ,y 0 ) f (x , y ) = L ∈ ℝ và mỗi y ∈ Y (x ,y )→(x 0 ,y0 ) x →x 0 y →y 0 f (x , y ). • Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại giới hạn bội và ngược lại. 1.3. Hàm số liên tục • Hàm số f (x , y ) liên tục tại M 0 (x 0 , y0 ) ∈ D ⊂ ℝ2 nếu lim tồn tại ϕ(y ) = lim f (x , y ) ∈ ℝ thì: (x ,y )→(x 0 ,y0 ) x →x 0 f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ). • Hàm số f (x , y ) liên tục trên tập D ⊂ ℝ2 nếu nó liên tục lim lim f (x , y ) = lim ϕ(y ) = L . y →y 0 x →x 0 lim y →y 0 tại mọi điểm thuộc D .
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số Hàm số f (x , y ) liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2 Chú ý §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D . VD 7. Xét sự liên tục của f (x , y ) = sin x 2 − sin y 2 . x 2 + y2 Giải. Với (x , y ) ≠ (0, 0) thì hàm số f (x , y ) xác định nên liên tục. Tại (0, 0) thì lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ) không tồn tại (VD 6). Vậy hàm số f (x , y ) liên tục trên ℝ2 \ {(0, 0)}. ……………………………………………………………
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số fy/ (x 0 , y0 ) = lim y →y 0 y − y0 ∂f (x , y ). ∂x 0 0 f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 ) / . Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim x →x 0 x − x0 Ký hiệu: fx (x 0 , y 0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z = ln x2 + 1 x 2 + y2 + 1 . Chú ý ∂f df = . ∂x dx • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự. • Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx/ = VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: f (x , y ) = x 4 − 3x 3y 2 + 2y 3 − 3xy tại (−1; 2). Toán cao cấp A3 Đại học có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y 0 ).
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y 0 ) là: f (x 0 , y ) − f (x 0 , y0 ) chứa điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y 0 ) VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos . x tại (π; 4). y 2 VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f (x , y, z ) = e x y sin z . b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ). 3 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số Ký hiệu: VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: f (x , y ) = x 3ey + x 2y 3 − y 4 tại (−1; 1). ∂  ∂f  ∂2 f ,  = ∂x  ∂x  ∂x 2 ∂  ∂f  ∂2 f = ,  = ∂y  ∂y  ∂y 2 f // = fxx = ( fx ) = 2 x f x // y2 ( )y = fyy = fy fxy// = fxy = ( fx ) y ( )x fyx// = fyx = fy VD 6. Cho hàm số f (x , y ) = x 5 + y 4 − x 4y 5 . Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5) (1; −1) là: 3 2 x y ∂  ∂f  ∂2 f = = ,   ∂y  ∂x  ∂y ∂x ∂  ∂f  ∂2 f = .   = ∂x  ∂ y  ∂x ∂y A. (−1) 2 e ; C. (−1)m 2m e 2x −y ; (m ≥ 2) của z = e C. f (5) (1; −1) = 120 ; 3 2 D. f (5) (1; −1) = −120 . 3 2 x y
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số VD 7. B. f (5) (1; −1) = −480 ; 3 2 x y • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 có định nghĩa tương tự. Đạo hàm riêng z (mm −+2n n) 2 x y x n m +n 2x −y A. f (5) (1; −1) = 480 ; 3 2 x y x y • Định lý Schwarz Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng fxy// , fyx// liên tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2 thì fxy// = fyx// .
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số 2x −y là: B. (−1)m 2m +n e 2x −y ; D. (−1)n 2m e 2x −y . b) Định nghĩa • Nếu trong lân cận S (M 0 , ε) với số gia ∆x , ∆y mà số gia ∆f tương ứng có thể viết được dưới dạng: ∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ), r = (∆x )2 + (∆y )2 , 2.2. Vi phân trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm 2.2.1. Vi phân cấp 1 a) Số gia của hàm số • Cho hàm số f (x , y ) xác định trong lân cận S (M 0 , ε) M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y của điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cho x một số gia ∆x và y một số gia ∆y , khi đó hàm f (x , y ) có tương ứng số gia: ∆f = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0 , y0 ). thì đại lượng A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân của hàm số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ). • Khi đó, f (x , y ) được gọi là khả vi tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Ký hiệu là: df (x 0 , y 0 ) = A.∆x + B.∆y.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số Nhận xét • Xét những điểm M (x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) dịch chuyển trên đường đi qua M 0 song song Ox . Khi đó ∆ y = 0 : ∆ f = f (x 0 + ∆ x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A.∆ x + O (∆ x ) ∆f ⇒ lim = A ⇒ A = fx/ (x 0 , y 0 ) . ∆x → 0 ∆ x ∆f Tương tự, lim = B ⇒ B = fy/ (x 0 , y 0 ) . ∆y → 0 ∆ y c) Định lý • Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận nào đó của (x 0 , y 0 ) và các đạo hàm riêng này liên tục Suy ra df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y . • Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . Tương tự, dy = ∆y . Vậy: df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy. Toán cao cấp A3 Đại học tại (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ). VD 8. Cho hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y 5 . Tính df (1; −1). VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z = e x 2 −y sin(xy 2 ). 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cấp 2 • Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc lập. Các số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý độc lập với x , y nên được xem là hằng số đối với x , y . 4 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Vi phân của df (x , y ) được gọi là vi phân cấp 2 của f (x , y ). Ký hiệu và công thức: d f = d (df ) = fx′′2dx + 2 fxy′′dxdy + fy′′2dy . 2 2 2 Chú ý • Nếu x , y là các biến không độc lập (biến trung gian) b) Vi phân cấp n ( n ) ∑C d n f = d d n −1 f = f Trong đó k =0 (n ) x ny 0 n 0 =f (n ) xn , f (0n )n = f (nn ) , x y 0 n y dx dy = dx , dx dy = dy n . x = x (ϕ, ψ ), y = y(ϕ, ψ ) thì công thức trên không còn n k (n ) f dx k dy n −k . n x k y n −k đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp x , y độc lập. VD 10. Cho hàm số f (x , y ) = x 2y 3 + xy 2 − 3x 3y 5 . Tính vi phân cấp hai df 2 (2; −1). VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm số f (x , y ) = x 3y 2 . VD 13. Tính vi phân d 3z của hàm số z = e 2x cos 3y . VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm f (x , y ) = ln(xy 2 ).
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp a) Hàm hợp với một biến độc lập • Cho f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y và x , y là những Tính trực tiếp như sau: ω(t ) = (3t 2 − t )2 sin t ⇒ ω ′(t ) = 2(3t 2 − t )(6t − 1)sin t + (3t 2 − t )2 cos t hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của biến t là ω(t ) = f (x (t ), y(t )) khả vi. Ta có: dx dy + fy/ . dt dt VD 14. Tính ω ′(t ) với hàm số f (x , y ) = x 2y và ω′(t ) = fx/ x = 3t 2 − t, y = sin t . dx dy Giải. ω ′(t ) = fx/ . + fy/ . dt dt = 2xy(3t 2 − t )t/ + x 2 (sin t )t/ = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t .
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số b) Hàm hợp với hai biến độc lập • Cho f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y và x , y là những hàm khả vi đối với hai biến độc lập ϕ, ψ . Khi đó, hàm hợp của 2 biến ϕ, ψ là ω(ϕ, ψ) = f (x (ϕ, ψ), y(ϕ, ψ)) khả vi. Ta có: ω/ϕ = fx/ .x ϕ/ + fy/ .y ϕ/ , ω/ψ = fx/ .x ψ/ + fy/ .y ψ/ . 2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) • Hàm z(x , y ) xác định trên Dz ⊂ ℝ2 thỏa phương trình F (x , y, z (x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) được gọi là hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*). Toán cao cấp A3 Đại học = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t . VD 15. Cho f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ), y = sin2 x . Tính df . dx Giải / / df = ln(x 2 + y 2 ) + ln(x 2 + y 2 ) (sin 2 x )/x  x  y dx = 2x 2 x +y 2 + 2y sin 2x 2 x +y 2 = 2x + 2y sin 2x x 2 + y2 .
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: Fx/ + Fz/ .z x/ = 0, Fy/ + Fz/ .zy/ = 0 . / Vậy z x = − Fx/ Fz/ , zy/ = − Fy/ Fz/ (F / z ) ≠0 . VD 16. Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình: xyz = cos(x + y + z ). Tính z x/, zy/ . VD 17. Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 . Tính zy/ . 5 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số 2.5. Đạo hàm theo hướng – Vector gradient 2.5.1. Hàm vector  • Ánh xạ r : T ⊂ ℝ → ℝ 3     t ֏ r (t ) = x (t ).i + y(t ).j + z (t ).k được gọi là một hàm vector.  Vậy r (t ) = x (t ), y(t ), z (t ) ( )     • Giới hạn lim r (t ) = v ⇔ lim r (t ) − v = 0 t →t0 • Đạo hàm t →t0     r ′(t ) = x ′(t ).i + y ′(t ).j + z ′(t ).k
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số   • Trong không gian Oxyz , đặt r (t ) = OM . Khi t thay đổi thì điểm M thay đổi và vạch ra 1 đường  cong. Đường cong này được gọi là tốc đồ của r (t ). Phương trình tham số của tốc đồ: x = x (t ); y = y(t ); z = z (t )    Tại điểm M 0 thuộc tốc đồ của r (t ) , ta có r (t0 ) = OM 0 . Chú ý    • Nếu r ′(t0 ) ≠ 0 thì r ′(t0 ) là vector chỉ phương tiếp tuyến tại điểm M 0 của tốc đồ.   • Nếu r ′(t0 ) = 0 thì điểm M 0 được gọi là điểm kỳ dị của tốc đồ.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số 2.5.2. Đạo hàm theo hướng a) Định nghĩa Giả sử hàm f (x , y, z ) xác định trong một lân cận của   điểm M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ). Xét v = (vx , vy , vz ) ≠ 0 , gọi ∆ là  nửa đường thẳng gốc M 0 theo hướng v . Trên ∆ lấy điểm M sao cho đoạn M 0M thuộc lân cận nói trên và đặt r = M 0M .  Đạo hàm tại điểm M 0 theo hướng v của hàm f , ký hiệu fv′(M 0 ), là giới hạn (nếu có) b) Cosin chỉ phương   Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi v = (vx , vy , vz ) ≠ 0    với i , j , k . Khi đó cos α, cos β, cos γ được gọi là các  cosin chỉ phương của v và: vy v v cos α = x , cos β =  , cos γ = z |v | |v | |v | fv′(M 0 ) = lim f (M ) − f (M 0 ) r → 0+ r c) Định lý Nếu f (x , y, z ) khả vi tại điểm M 0 thì tồn tại đạo hàm tại   điểm M 0 theo hướng v ≠ 0 bất kỳ và fv′(M 0 ) = fx′(M 0 )cos α + fy′(M 0 )cos β + fz′(M 0 )cos γ
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số d) Tính chất 1) (k .f )v′ = k .fv′ (k ∈ ℝ); 2) ( f + g )v′ = fv′ + gv′  f ′ f ′.g − f .gv′ 3) ( f .g )v′ = fv′.g + f .gv′ ; 4)   = v (g ≠ 0) .  g   g2 v 2.5.3. Vector gradient a) Định nghĩa Giả sử hàm f (x , y, z ) có các đạo hàm riêng tại điểm M 0 . Vector gradient tại M 0 của hàm f , ký hiệu ∇f (M 0 ) hay  gradf (M 0 ), là vector    ∇f (M 0 ) = fx′(M 0 ).i + fy′(M 0 ).j + fz′(M 0 ).k Toán cao cấp A3 Đại học
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số Vậy  ∇f (M 0 ) = gradf (M 0 ) = fx′(M 0 ), fy′(M 0 ), fz′(M 0 ) ( ) b) Ý nghĩa Ta có: fv′(M 0 ) = fx′(M 0 )cos α + fy′(M 0 )cos β + fz′(M 0 )cos γ  v = ∇f (M 0 ).(cos α, cos β, cos γ) = ∇f (M 0 ).  . |v |  Gọi ϕ là góc giữa ∇f (M 0 ) và v , ta được fv′(M 0 ) = ∇f (M 0 ) .cos ϕ 6 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. Định nghĩa (cực trị địa phương) Từ công thức trên, ta có: • max fv′(M 0 ) = ∇f (M 0 ) khi ϕ = 0 . • Hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt là cực trị) tại M 0 (x 0 , y 0 ) nếu với mọi điểm M (x , y ) khá • min fv′(M 0 ) = − ∇f (M 0 ) khi ϕ = π . Vậy ý nghĩa của vector gradient là: hướng của ∇f (M 0 ) là hướng tăng nhanh nhất của hàm f và, hàm f sẽ giảm nhanh nhất theo hướng ngược lại.  VD 18. Cho f (x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 , v = (1; −2; −2) . Tính ∇f (M ), fv′(M ) tại M (0; 1; −3). ………………………………………………… gần nhưng khác M 0 thì hiệu ∆ f = f (x , y ) − f (x 0 , y 0 ) có dấu không đổi. • Nếu ∆ f > 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu và M 0 là điểm cực tiểu của z = f ( x , y ) . • Nếu ∆ f < 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được gọi là giá trị cực đại và M 0 là điểm cực đại của z = f ( x , y ) . 2  y 3y 2 VD 1. Hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy = x −  +  2  4 ⇒ f (x , y ) ≥ 0, ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 nên đạt cực tiểu tại O (0; 0) .
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số 3.2. ĐỊNH LÝ a) Điều kiện cần • Nếu hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y 0 ) và Khi đó: AC − B 2 > 0 • Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .  A>0  AC − B 2 > 0 • Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .  A 0, y > 0). x y Khẳng định đúng là: A. z đạt cực tiểu tại M (2; 5) và giá trị cực tiểu z = 39 . B. z đạt cực tiểu tại M (5; 2) và giá trị cực tiểu z = 30 . C. z đạt cực đại tại M (2; 5) và giá trị cực đại z = 39 . VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm z = x y thỏa điều kiện: x − y + 3 = 0. b) Phương pháp nhân tử Lagrange =− fy/ ϕy/ là nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước: • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): L(x , y, λ ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ). • Bước 2. Giải hệ: Lx′ = 0, Ly′ = 0, Lλ′ = 0 Suy ra điểm dừng M 0 (x 0 , y0 ) ứng với λ 0 .
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số f (x , y ) = 2x + y với điều kiện x 2 + y 2 = 5 . VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 thỏa điều kiện x 2 + y 2 = 3x + 4y . VD 10. Tìm điểm cực trị của hàm z = xy thỏa điều kiện: 2 2 x y + = 1. 8 2 VD 11. Tìm cực trị của hàm số f (x , y ) = 10x + 40y thỏa điều kiện xy = 20 và x , y > 0 . Toán cao cấp A3 Đại học là điểm cực trị có điều kiện của f (x , y ) với điều kiện ϕ(x , y ) = 0 . • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số 2 ϕ/x Nếu tại điểm M 0 , hàm f (x , y ) đạt cực trị thì ta nói M 0 f (x , y ), sau đó tìm cực trị của hàm một biến.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số Tại điểm cực trị (x , y ) của f , gọi λ = − M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc đường cong (γ) : ϕ(x , y ) = 0 . a) Phương pháp khử • Từ phương trình ϕ(x , y ) = 0 ta rút x hoặc y thế vào D. z đạt cực đại tại M (5; 2) và giá trị cực đại z = 30 . fx/ 3.5. Cực trị có điều kiện (cực trị vướng) • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên lân cận của điểm • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M 0 (x 0 , y 0 ) ứng với λ 0 : ′′ dxdy + L ′′2dy 2 . d 2L(M 0 ) = Lx′′2dx 2 + 2Lxy y Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: d ϕ(x 0 , y 0 ) = ϕx′ (x 0, y0 )dx + ϕy′ (x 0, y 0 )dy = 0 (1)   (dx )2 + (dy )2 > 0 (2).  • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:  Nếu d 2L(M 0 ) > 0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .  Nếu d 2L(M 0 ) < 0 thì f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .  Nếu d 2L(M 0 ) = 0 thì M 0 không là điểm cực trị.
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số 3.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục) Cho miền D ⊂ ℝ 2 đóng có biên ∂D : ϕ(x , y ) = 0 và f (x , y ) là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có thể không khả vi tại m điểm M 1 ,..., M m ). Giả sử biên ∂D trơn, nghĩa là hàm ϕ khả vi. Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực hiện các bước sau: • Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do N 1 ,..., N n trong D (chỉ cần tìm điểm dừng). • Bước 2. Tìm các điểm cực trị P1 ,..., Pp trên biên ∂D thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = 0 (chỉ cần tìm điểm dừng). 8 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 1. Hàm số nhiề nhiều biế biến số
Chương 2. Tích phân bội §1. Tích phân bội hai (tích phân kép) §2. Tích phân bội ba §3. Ứng dụng của tích phân bội ………………………….. • Bước 3. Giá trị max f (x , y ), min f (x , y ) tương ứng là D D giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau: f (M 1 ), ..., f (M m ), f (N 1 ),..., f (N n ), f (P1 ),..., f (Pp ). VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3 f (x , y ) = x + y trong miền D : x − x + y ≤ . 4 VD 13. Cho hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f (x , y ) trong miền D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 . VD 14. Tìm max, min của z = sin x + sin y + sin(x +y ) π π trong miền D : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ . 2 2 ……………………………………………………… 2 2 2 2 §1. TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f (x , y ) liên tục, không âm và một mặt trụ có các đường sinh song song với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy .
Chương 2. Tích phân bội
Chương 2. Tích phân bội • Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n . Diện tích mỗi phần 1.2. Tích phân bội hai a) Định nghĩa • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị cũng ký hiệu là ∆Si . Khi đó, khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta lấy điểm M i (xi ; yi ) tùy ý và thể tích V của khối trụ là: n V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si . i =1 { Lấy n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n . Khi đó, } • Gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si là đường kính của ∆Si . Ta có: V = n I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si được gọi là tổng tích phân của i =1 n ∑ f (xi ; yi )∆Si . max d →0 f (x , y ) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm lim i chặn trong mặt phẳng Oxy . Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si , i = 1; n . i =1 chọn M i ).
Chương 2. Tích phân bội • Nếu giới hạn I =
Chương 2. Tích phân bội n lim max di →0 ∑ f (xi , yi )∆Si tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số f (x , y ) trên miền D . Ký hiệu là: I = D Toán cao cấp A3 Đại học D f (x , y ) khả tích trên miền D ; f (x , y ) là hàm dưới dấu tích phân; x và y là các biến tích phân. D ∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x , y )dxdy. D ∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói hàm số Nhận xét  S (D ) = ∫∫ dxdy (diện tích của miền D ). ∫∫ f (x , y )dS . • Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , Oy ta được ∆Si = ∆x i .∆yi hay dS = dxdy . Vậy I = • Nếu tồn tại tích phân i =1 D  Nếu f (x , y ) > 0 , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 , z = f (x , y ) là V = ∫∫ f (x , y )dxdy . D 9 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011
Chương 2. Tích phân bội
Chương 2. Tích phân bội b) Định lý Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì • Tính chất 3 Nếu chia miền D thành D1, D2 bởi đường cong có diện khả tích trong D . 1.3. Tính chất của tích phân bội hai Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại. • Tính chất 1. ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . D D • Tính chất 2 ∫∫ [ f (x, y ) ± g(x, y )]dxdy = D ∫∫ ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; D D tích bằng 0 thì: ∫∫ f (x, y )dxdy = D D1 D D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )}, D
Chương 2. Tích phân bội
Chương 2. Tích phân bội y 2 (x ) và với mỗi x ∈ [a ; b ] cố định, ∫ Chú ý f (x , y )dy tồn tại. y1 (x ) b I = Khi đó: ∫ dx a b f (x , y )dy. ∫∫ y1 (x ) I = thì c d d a c c D x1 (y )
Chương 2. Tích phân bội a 2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: y2 (x ) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ u(x )dx ∫ f (x , y )dx . b ∫ dx ∫ f (x, y )dy=∫ dy ∫ f (x , y )dx . b x 2 (y ) ∫ dy ∫ f (x , y )dxdy = D Tương tự, nếu miền D là: D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } d 1) Nếu miền D là hình chữ nhật, D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c; d ] thì: y2 (x ) ∫ D2 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1. Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini) Giả sử tích phân I = ∫∫ f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy, k ∈ ℝ . D ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy . v(y )dy. y1(x ) a
Chương 2. Tích phân bội 3) Nếu D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: d x 2 (y ) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ v(y )dy ∫ D c u(x )dx . x1 (y ) 4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản. VD 1. Cho I = ∫∫ f (x, y )dxdy . Xác định cận tích phân D lặp với miền D giới hạn bởi y = 0, y = 2x , x = a > 0 . Toán cao cấp A3 Đại học VD 2. Tính tích phân I = ∫∫ 6xy dxdy . 2 D Trong đó, D = [0; 2]× [−1; 1]. 10 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Tìm kiếm

Chủ đề

Thực hành Excel Atlat Địa lí Việt Nam Hóa học 11 Trắc nghiệm Sinh 12 Đề thi mẫu TOEIC Mẫu sơ yếu lý lịch Bài tiểu luận mẫu Giải phẫu sinh lý Tài chính hành vi Đồ án tốt nghiệp Đơn xin việc Lý thuyết Dow adblock ​ Bạn đang sử dụng trình chặn quảng cáo?

Nếu không có thu nhập từ quảng cáo, chúng tôi không thể tiếp tục tài trợ cho việc tạo nội dung cho bạn.

Tôi hiểu và đã tắt chặn quảng cáo cho trang web này