Toán Chuyên Ngành Hàm Phức Và Toán Tử Laplace - 123doc

Mặt phẳng phức... §2 TÍCH PHÂN CAUCHY CHO MIỀN ĐƠN LIÊN& ĐA LIÊNI... Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace§3 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY I... Chuỗi Taylor và Macla

CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH

§ 1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC

I Dạng đại số:

1 Định nghĩa: Dạng đại số của số phức có dạng: z=x+iy

x=Rez: phần thực

y=Imz: phần ảo

i: đơn vị ảo, i2   1

Tập tất cả các số phức gọi là Trường số phức: ký hiệu C

2 2 số phức bằng nhau:

2 1 2

2

1

x x iy

x

iy

x

3 Số phức liên hợp:

Số phức liên hợp của z=x+iy là z x iy

4 Các phép toán về số phức:

2 1 1 2 2

1 2 1

2

1

y x

z

y x y x i y y x

1 1

1 1 1

5 4 3 2

i i i i

i

B

II.Biểu diễn hình học và dạng lượng giác

1 Mặt phẳng phức

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

x (Rez) r

) ( )

(

sin cos

2 2

Arg z

Argument

y x

r

i r

 là hàm đa trị

arg(z) là giá trị chính   arg(z)  

0 , 0 2

0 , 0 arctan

0 , 0 arctan

0 arctan

)

arg(

y x

y x

y x x y

y x x y

x x

3 cos 2

4

3 4 1

arctan arg

2

i z

z

r

3 Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

1 2

1

2

1

sin cos

sin cos

r

z

z

i r

n

k r

2 4

k i

k

5 Dạng mũ

Công thức Euler: i i  

re z

i e

5 Một số miền trong mặt phẳng phức:

 z 1 z2 : Khoảng cách giữa 2 số phức

 z  z0 r: Đường tròn tâm Z0, bán kính r

 z  z0 r: Hình tròn mở tâm Z0, bán kính r ( hình tròn không tính biên)

 z  z0 r: Hình tròn đóng tâm Z0, bán kính r ( hình tròn có biên)

 z  z0 r: Phần ngoài hình tròn mở tâm Z0, bán kính r

a)41 i 3 b) 5  4 i 3

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

4 Tìm và biểu diễn hình học các số phức thỏa: z  z2

; 0 , 3

1

0

3 2

2 2

2

k

k r re

r e

r re e

5 Vẽ tập điểm xác định bởi

a) z 1 i  1 b) zi  3 c)Rez  i 2 d) 2z i  4 e) z  1 z i

6 Vẽ miền trong của mp phức xác định bởi:

a)0  Rez Im z b) z 1  Rez

§2 HÀM 1 BIẾN PHỨC

I Miền và biên trong mp phức:

Miền trong mp phức là tập D có tính chất sau:

1 D là tập mở zD, Sz,rD

2 D liên thông  z1,z2D có thể nối z1, z2 bằng đường gấp khúc nằm trọn trong D

3 Biên của D là đường cong kín C: gồm các điểm của mp phức thỏa:

a) CD b)  hình tròn nếu chứa 1 điểm của C thì nó sẽ chứa ít ra 1 điểm của D

4 DDCgọi là miền đóng

II Hàm biến phức

1 Định nghĩa: S  C, Hàm số f: S  C là 1 quy tắc cho mỗi z  S tương ứng 1 phần tử duy nhất  f z C Hàm biến phức này gọi là hàm đơn trị

2 Trong lý thuyết hàm phức ta thường gặp các hàm đa trị nghĩa là ứng với mỗi z có thể có nhiều f(z)

3 Phần thực và phần ảo của hàm biến phức:

 z ux y ivx y

f w iy

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

y x u v

xy i u

y x iy x

f

w

2 2

III Giới hạn và liên tục

1 Giới hạn: w0 gọi là Giới hạn của hàm w  f z khi z  z0     0 ,    0 sao chokhi z z0    w w0  

3  f z ux;yivx;y liên tục  Các hàm u(x;y), v(x;y) cũng liên tục

IV Các hàm sơ cấp cơ bản

1 Hàm mũ:

 e z: đơn trị và giải tích z

 e z: có thể âm

  e z e z

2.Hàm lượng giác

z iz e iz e z z i z iz e

z i z iz e

2 sin , 2 cos sin cos sin

z

z tghz

z e z e shz

z e z

e

chz

sinh

cosh coth

, cosh

sinh ,

 Vậy Lnz là hàm đa trị

 Với k=0 ta được nhánh chính của Lnz

3 Điều kiện để hàm biến phức khả vi tại 1 điểm:

Định lý: Cho hàm  f z ux;yivx;y, nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:

v x

u

Tại điểm z=x+iy thì f(z) khả vi tại điểm này

4 Điều kiện để hàm biến phức giải tích tại 1 điểm:

Định lý: Nếu hàm   f z ux;yivx;y khả vi tại mọi điểm trong lân cận nào đó của điểm z0 thì f(z) giải tích tại z0

NHẬN XÉT:

 Trong 1 miền thì tính khả vi và giải tích là tương đương nhau

 Nhưng tại 1 điểm thì tính giải tích đòi hỏi điều kiện nhiều hơn tính khả vi Định lý: Cho hàm  f z ux;yivx;y, nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:

u

y

v x

v x

v i x

5 Liên hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa

5.1 Hàm u(x;y) gọi là hàm điều hòa trên miền D nếu nó thỏa pt LPLACE:

v

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

5.2 Định lý: hàm  f z ux;yivx;y giải tích trên D  phần thực và phần ảo là những hàm điều hòa trên D và thỏa điều kiện C-RVí dụ: xét tính giải tích và tính đạo hàm của các hàm sau:

a)f z x2 y2 2ixy b) f z e x cos y isiny

GIẢI:

y

u x y

v y x

v x x

u

2 2

v ye x

v ye x

Ví dụ: xét tính khả vi của các hàm sau:

v y x

v x x

0

0 9

x y y

x x

b) f z x2  y2  2ixy

y y

u x y

v y x

v x

x

u

2 ,

2 ,

2 ,

x

x

c) f z x2 y2 yix2y2 2xy x

1 2 ,

2 2 ,

1 2 2 ,

u x y y

v y

x x

v x

2 1 2

2

2 2

y

x

x y x

Ví dụ: Tìm hàm giải tích f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết

  0 1

; 2 2

4 6 ,

4 3 3 ,

1 6 4 4

6

2

2 2

2

2

2 2

2 2

v

y y

v y x y y

v y x

v x

xy

x

v

Ta có V là hàm điều hòa

 Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:

v y

u

y y x y

v x u

4 6

4 3

z f so C f

Because

i y y x y x C x xy xy

z f

C x x g x x g y y x

x g y y dx

u x g xy xy

x g dy x xy u

2 3 2 2

3 2

2 3 2 2

3 2

3 2

2 2

2 2

2 2

3 1 4

3 ) ( : , 1 )

0 ( :

2 2

3 4

3 ) (

) ( 3

) ( 4

3 3

) ( 4 3 )

( 4

3 ) ( 4

sin ,

cos cos

2

2 2

2

2

2 2

v

ye y

v ye y

v y e x

v y

e

x

Ta có V là hàm điều hòa

 Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:

v y

u

y e

y

v x u

x

x

sin cos

Ta có:

e yi y

e z f so C iC

f Because

i C y e y e z f

C y g o y g y e

y g y e dy

v y g y e y g ydx e

v

x x

x x

x

x x

x

sin cos

) ( : , 0 1

1 )

0 ( :

sin cos

) (

) ( )

( cos

) ( cos )

( sin )

( sin

2 ,

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

v

y x

x y y

u y x

y y

u y x

x y x

u y

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

 Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:

2 2 2 2

y x

y x

v y u

y x

x y

v x u

Ta có:

i C y

x arctg y

x z

f

C y g y

g y x x

y g y x

x dy

v y g y

x acrtg y

g dx y x

y v

) (

) ( 0 ) ( 2

) ( 2

) ( 2

) ( 2

2 2

2 2

2 2 2

2

BÀI TẬP: HÀM GIẢI TÍCH- HÀM KHẢ VI-TÍNH ĐẠO HÀM

1 Viết mỗi hàm sau đây thành 1 đa thức theo z=x+iy

y x z

f

a

2 1

2 2 )

, 2 2

)

3 3

) , 2

1 2 )

2 2 2

2

3 2 2

3 2

 2

3 2

3 3

x xy

x u

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

§4 PHÉP BIẾN HÌNH PHÂN TUYẾN TÍNH

I Định nghĩa:

1.Ánh xạ phân tuyến tính có dạng:

2 2

2 1 2

2 2

2 1

2

,

0 ,

z a

ad bc c

a z a

ad bc z z c

a z d a

bc d

cz

c

a

z a

bc cz c

a z a

b z a z b az z

z d

cz

z

bc ad d

2.Vậy phép biến hình phân tuyến tính là hợp của 3 phép:

1) z1 czdlà phép co và phép tịnh tiến

 là phép co và phép tịnh tiến.

3 Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất:

a) Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất bảo giác

b) Ánh xạ phân tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn

c) Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền

d) Ánh xạ phân tuyến tính biến các điểm đối xứng thành điểm đối xứng

4 Ánh xạ phân tuyến tính biến 3 điểm tương ứng thành 3 điểm:

 

2

2 3 1 3

1 2

2 3 1 3

1

3 2 1 3

2 1

.

, , ,

,

z z

z z z z

z z

z z

z

z i

i i i z

2 2

1 3

3

z

z i i

i z

z

2

1 1

1 2

1 1

1

2

1 , , 1 , 0 ) 2

1 , 1 , , , 0 ) ,

1 , 0 , 2

1 ,

CHƯƠNG II TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC

§1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC

I Định nghĩa và công thức:

1 Định nghĩa: Cho đường cong C định hướng, trơn từng khúc và trên C chohàm phức f(z) Tích phân đường của f(z) dọc theo C được tính theo công thức:

1         

C C

C

udy vdx i vdy udx dz

z f

2 Nếu C cho dưới dạng tham số:  

t x x

với  t , khi đó z(t)=x(t)+iy(t)

II Tính chất: Các tính chất của tích phân đường loại II của hàm thực vẫn còn

đúng cho hàm phức:

BA AB

C

C C

C

ML dz z f dz z f

d

dz z f dz z f

c

C withC dz z f dz z f dz z f b

dz z g b dz z f a dz z bg z af

a

)

)

, )

)

2 1 2

L: độ dài của C, M  max f z ,zC

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

  , 1 , 2 )I  z 2dz k

a

k

C

k trong đó C1 là đoạn thẳng nối O→1+i

C2 là đường gấp khúc nối O→1&1→1+i

Z(t)=x(t)+iy(t)=t(1+i)

3 1 2 3

1 2 2

2 1

1

1 0

3 1

0 2 1

0

2 2

I           

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

O

1+i 1

1 C2

C2 C1

y

x

 

 t it z

t y

t x

i

t t z y

t t x

0 , 1 1

1

0

1 0 , 1

0

3

2 3

3

1 2

1 3

1

1 0

3 2 1

0

2 1

0

3 1

0

2 1

x B

Trong đó C1 là đường thẳng AB

C2, C3 là các nửa cung tròn đơn vị ( z  1) có cùng điểm đầu và điểm cuối vàchiều như hình vẽ

GIẢI:

Tham số hóa đường thẳng C1: AB

0

t t y x

Z(t)=x(t)+iy(t)=ti

i tdt tdt i

dt t i idt y x

1 0

1 1

1

1

2 2 1

Tham số hóa nửa đường tròn C2:

1

t r

e re

i i i i

i e

dt e i

2

sin 2

cos 2

3 sin 2

3 cos

2 3

nửa đường tròn C3:

3

1

t r

e re

i i i i

i e

dt e i

2

3 sin 2

3 cos 2

sin 2

cos

2 2 3 2

2 3

C

GIẢI:

C

C      

4 2

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

C2

C1 2i

i C3 y

x B

2 1

Tham số hóa đường thẳng C2: BC

0

t y

t x

Z(t)=x(t)+iy(t)=t

1

1 2 1

0

t y

t x

Z(t)=x(t)+iy(t)=t

1

2 1 2

t r

e re

3

2 3

2 2

e i

i dt e i e

e I

Tham số hóa nửa đường tròn C3:

e re

0 3

0

3 0

ví dụ: Tính tích phân sau với C là biên nửa trên đường tròn đơn vị

dz z z I

C



C i

y

x

A B

1 -1

Tham số hóa nửa đường tròn C3:

e re

x

B

4 o

4+2i C2

2

t t y

t x

Z(t)=x(t)+iy(t)=t 2 it

3

8 10 2 3 2 2

2 0

2 3 4 2

0

dt i t it

0

t t y x

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

Z(t)=x(t)+iy(t)=it

2 2

2 0

2 2

2

t y

t x

Z(t)=x(t)+iy(t)=t+2i

2 2

4 0

2 4

với a) C1 :0→i& i→1+i

b) C2: 0→1+i theo đường thẳng: y=x

c) C3: 0→1+i theo đường thẳng: y  x2

C2

i y

x

C3 o

1+i C1

C1

§2 TÍCH PHÂN CAUCHY CHO MIỀN ĐƠN LIÊN& ĐA LIÊN

I Các định lý

1 Định lý 1

f(z) giải tích trong miền đơn liên D, thì   

C

dz z

f đối với mọi đường cong trong miền này có cùng điểm đầu và điểm cuối sẽ có cùng giá trị:

       

b a C

C

dz z f dz z f dz

z

f

2 1

C1 b

f

D

C

3 Mở rộng của định lý 2:

Nếu D là miền giới nội với biên C thì

   0



C

dz z

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

C a

a dz

a

b

C z z

dz z z

sin 4 cos

4

2

4 Công thức Newtons-Leibnitz:

f(z) giải tích trong miền đơn liên D, a b D f z dz F z b a F b F a

b a

1 21

22 1

1

1 )

1 2 3

2 2

3 1

2

2

2 )

0

21 22 0

20 21 0

20

1 1

20

1 1

0

1 1

0

1 0

1 0

i t

t dz t t dz t t I dz dt z

t

zdz z

I b

i e

i e

i i

e i d e i i

e z I

i

e dz e v

dz du z

u

dz e z I

a

i i

i i

i i

iz i

i iz

i iz

iz iz

5 Tích phân Cauchy cho miền đa liên:

Định lý: D là miền đa liên, bị chặn có biên là các đường cong C0, C1, …, Cn, trong đó C0 bao các đường cong kín C1, …, Cn

f(z) là hàm giải tích trên D ta có:

Cn C

C C

dz z f dz

z f dz z f dz

z

2 1

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

§3 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY

I Các định lý:

1 Định lý 1: Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên tục trên D, zD, ta có:

z

dz z f

dz z f i

n a

dz z

C k

z z f With dz i z

z I

dz i z

z I

1

 

i z

z z f With dz i z

z I

z I

Vídụ: Tính tích phân

2

1 2 : ) , 2 2 : ) , 2 2 : ) : , 9

1

3 2

i z

I

a

1 :

, 3 3

2 3 2 3

i z

I

b

1 :

, 3 3

2 3 2

z

f

I

C

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

C3 C2

C1

-3i -2i

3i 2i

 

9

1 :

, 9

1 )

2 2

Vídụ: Tính tích phân       



C

z

i z C With dz z z z

e

2 2

2 2

1+i

C

C2C1

1-i

, 1

2

! 1

0 2 :

1

0

2 2

4 4 ,

, 2 2 :

,

1 , 1

: , :

:

1 1

2 2

1 2

2 2

2

2 1

2 2

2 1

2 2

1

2 2

1 1

2 2

2

2 2

1 1

i C

z C

C

z z

C

C

z C

z

ie i

if dz i z

z f I

have

We

D in GT i z z

e z

f with dz i z

z f I

i f

dz z

z f I

have

We

f

z z

z z e z f D in GT z

z

e z

f with dz z

z

f

I

D i r i z C r z C

With

dz i z i z z

e dz

z z z

e I

1

2 1

i i

C C

C

e i ie

i dz z f dz z f dz

4 2

&

4 :

2 2

2

1 2

2

2 1

1 2

1

2 2

1 2

1 2

2 1

z z e z f D in GT z

e z

f

With

dz i z

z f dz

z

z f I

I dz i z i z z

e I

z z

C C

, 2 :

, 2

2

! 1

0 2 :

2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 2

1 1

2 2

1

i C

z C

C

e i

if dz i z

z f I

have

We

D in GT i z z

e z

f with dz i z

z f

I

i f

dz z

z f I

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

D1

8

4 8

1 2

2 2

2 1

i i

C C

C

e i e

i dz z f dz z f dz z



BÀI TẬP TÍCH PHÂN CAUCHY

Tính các tích phân sau trên các miền đã chỉ ra:

z

x y x C With dz z

z I

d

z C With dz z

z

z I

c

z C With dz z

z

z I

b

i z C With dz z

e I

a

0 2 :

: , 1 4

sin )

2 : : , 3 1 )

4 2 : : , 1 1 )

4 :

: , )

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

CHƯƠNG III: CHUỖI HÀM PHỨC

§1 CHUỖI LŨY THỪA

Phần này trên cơ sở của chuỗi lũy thừa hàm thực sinh viên đã học ở toán cao cấp 3Việc xét tính hội tụ và tìm bán kính hội tụ dựa trên các tiêu chuẩn D’Alembert và tiêu chuẩn Cauchy Do đó bài này không nói lại lý thuyết, chỉ xét ví dụ và bài tập

1 Tiêu chuẩn D’Alembert

Bán kính hội tụ của chuỗi 

2 Tiêu chuẩn Cauchy:

Bán kính hội tụ của chuỗi 

1 1

, 1 4 ) , 3

1 )

, 1 )

, 4

)

n

n n

n n

n n

n n

n

z d

z n c

n

z b

n

z

a

GIẢI:

1 4

4 4

4 1

4

1 4

4 lim lim

4 1

)

3 1 :

3

3 3

3

3 3 1

3 lim lim

3 1

)

1 :

1 1

1

1 1 lim lim

)

4 :

1 4

4 4

4 4

4 4

4 1 lim lim

)

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

z z

With

a

a R

z z

n z

n z

z

With

n

n a

a R

z n z

n

z n

z z

z

With

n

n a

a R

b

z

MHT

ky phân n

n n

z n

z z

z

With

n

n a

a R

a

n

n n

n n n

n n

n

n n

n

n n

n n

n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

n n









BÀI TẬPCHUỖI LŨY THỪA

Tìm R và hình tròn hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:

1

1 2

, 1 )

, )

,

! 1 2

1 )

, 4 1

2 )

n

n n

n n

n

n n

n

z n d i z e c

n

z b

n

z

a

§2 CHUỖI TAYLOR-CHUỖI MACLAURIN

I Chuỗi Taylor và Maclaurin

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

a f z

f z

n

e e

z

f

II Khai triển Maclaurin của 1 số hàm sơ cấp cơ bản

! 1 1

! 3 2 1

! 2 1 1

1

)

4

! 1 2

1

! 1 2

1

! 7

! 5

! 3 sin

)

3

! 2

1

! 2

1

! 6

! 4

! 2 1 cos

! 2 1

)

1

0 2

0

3 2

0

1 2 1

2 7

5 3

0

2 2

6 4 2

0

3 2

z z z

C z n

z n

n

z n z

z z

z

C z n

z n

z z

z z z z

C z n

z n

z z

z z z

C z n

z n

z z

z z e

n

n n

n

n

n n

n n n

n

n

n n n

n n

n n

z z z

n n n



III.Chuỗi Laurent và điểm bất thường cô lập của hàm giải tích

1 Định lý và định nghĩa

 

t a dt n  C

t f i

f hội tụ trên z a Rgọi là phần đều

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

a z

a a z

a a z a z

2 Điểm bất thường cô lập của hàm giải tích

a) Định nghĩa: Hàm f(z) giải tích trên miền 0  z a r thì a gọi là điểmbất thường cô lập của hàm giải tích f(z) Khi đó f(z) có thể khai triểnthành chuỗi Maclaurin trên miền 0  z a r

n

n n

n

n

a z

dt a t

t f i

a

C C

1 2

1

1 1

3 Phân loại

a) Cực điểm: Điểm cô lập bất thường z=a được gọi là cực điểm cấp m

nếu khai triển Laurent của f(z) trong hình tròn 0  z a r có dạng:

1 1

m

m

m n

n

a

with

a z a a

z

a a

z

a a

z

a a

z a

z

 Nếu m=1 thì a gọi là cực điểm đơn

 Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì

lim

A z f a z

z f

m a

z

a z

b) Điểm bất thường bỏ được

Điểm bất thường cô lập z=a của f(z) gọi là điểm bất thường bỏ được, nếukhai triển Laurent của f(z) trên miền 0  z a rcó phần chính triệt tiêu,tức là  f z   

c) Điểm bất thường cốt yếu

điểm bất thường cô lập z=a của f(z) gọi là điểm bất thường cốt yếu, nếuphần chính của khai triển Laurent trên miền 0  z a rcó vô số số hạng.Ví dụ : Khai triển Laurent của hàm số tại điểm bất thường cô lập đã chỉ

ra và gọi tên các điểm bất thường cô lập đó

lim

lim :

! 3

2

! 2 2

2 2

2 2

!

2 2

! 2

2 2

! 1

2 2 1 2

!

2 2 2 2

2 2

)

4 3

2 2

4 3 4 2 2

4 3

4

2 2 3

4

0 3

4 3

2 2 4 3 2

e z f z

z f have

We

e z

e z

e z

e

n

z z

z z

e

n

z z

e z

e e z

f

z at z

e z

f

a

z z

n n n

n n z

1 1

! 2

1 1

1

1 1

1 cos 1 )

n n

n n

z n n

z z

z at z

z z

1

0 sin

)

2 0

1 2

z z

z

f

z at z

z z

f

c

n n

n n