Toán Học - Chuỗi Luỹ Thừa (Tiếp) - Tài Liệu, Ebook, Giáo Trình

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Thư Viện Tài Liệu, Ebook, Giáo Án, Bài Giảng

Thư viện tài liệu, giáo trình, giáo án, bài giảng, đồ án, luận văn tham khảo cho học sinh, sinh viên

Toán học - Chuỗi luỹ thừa (Tiếp)

Viết rõ các hệsố đến

m) Viết rõ các hệsố đến

Ví dụ2. Khai triển thành chuỗi Taylor tại lân cận điểm tương ứng

a) ( ) ln , 1

6 trang | Chia sẻ: Mr Hưng | Lượt xem: 1542 | Lượt tải: 0

Nội dung tài liệu Toán học - Chuỗi luỹ thừa (Tiếp), để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênPGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo [email protected] PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 5 § 5. Chuỗi luỹ thừa (TT) • Khai triển một số hàm sơ cấp • Ứng dụng 4. Khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản 4.1. Một số khai triển 1°/ ( ) xf x e= • ( )(0) 1nf = • ( )( )( ) , ; , 0n x Af x e e M x A A A= • ( ) 0 , ; , 0 ! n x n x e x A A A n ∞ = = ∀ ∈ − >∑ ⇒ 0 , ! n x n x e x n ∞ = = ∀ ∈∑ 2° ( ) cosf x x= • ( ) ( 1) , 2(0) cos 2 0, 2 1 k n n kf n n k pi − = = =  = + • ( )( ) cos 1, 2 nf x x n xpi = + ≤ ∀ ∈    • 2 4 2 cos 1 ( 1) , 2! 4! (2 )! n nx x xx x n = − + − + − + ∈ 3° ( ) sinf x x= • 3 5 2 1 1sin ( 1) , 3! 5! (2 1)! n nx x xx x x n − − = − + − + − + ∈ − 4° ( ) (1 ) ,f x x α= + α ∈ • 2( 1)( ) 1 1! 2! f x x xα α α −= + + + ( 1) ( 1) , 1 1 ! nn x x n α α − α − + + + − < < 5° ( ) ln(1 )f x x= + • 2 3 1ln(1 ) ( 1) , 1 1 2 3 n nx x xx x x n −+ = − + − + − + − < < 6° ( ) arctanf x x= • 3 5 2 1 1arctan ( 1) , 3 5 2 1 n nx x xx x n − − = − + − + − + − , 1 1x x∈ − ≤ ≤ Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Maclaurin a) ( ) , 0 1xf x a a= < ≠ • lnx x aa e= • ln 0 ln , ! n x a n n a e x x n ∞ = = ∈∑ b) ( ) ln(2 )f x x= + • ( )ln 2 ln2 1 ln2 ln 1 2 2 x x x     + = + = + +        , 1 1 2 x − < < PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo [email protected] • ( ) ( )1 2 1 ln 1 1 2 nx n n x n ∞ − =   + = −    ∑ ( ) 1 1 1 .2 n n n n x n ∞ − = = −∑ • ( ) ( ) 1 1 ln 2 ln2 1 , 2 2 .2 n n n n x x x n ∞ − = + = + − − < <∑ c) 2sin x ( 2 1 2 0 1 2 2 (2 )! n n n x n ∞ − = −∑ , x ∈ ) d) 1( ) ln 1 xf x x + = − ( 2 1 0 2 , 1 1 2 1 n n x x n ∞ + = − < < +∑ ) e) 2 0 ( ) x tf x e dt−= ∫ ( ( ) ( ) 2 1 0 1 , ! 2 1 n n n x x n n ∞ + = − ∈ +∑ ) f) 2 3( ) ln(1 )f x x x x= + + + ( ( ) ( ) 21 1 1 1 1 1 , 1 1 n n n n n n x x x n n ∞ ∞ − − = = − + − − ≤ ≤∑ ∑ ) g) ( ) sinxf x e x= ( ( ) 0 2 sin , ! 4 n n x n x n ∞ = pi ∈∑ ) h) ( ) coshf x x= ( ( ) 2 0 , 2 ! n n x x n ∞ = ∈∑ ) i) 0 sin( ) x tf x dt t = ∫ ( ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 , 2 1 ! 2 1 n n n x x n n ∞ + = − ∈ + +∑ ) k) 4 0 ( ) 1 x dtf x t = − ∫ ( ( ) ( ) 5 4 11.3.5 2 1 2.5 !2 4 1 n n x n x x n n +−+ + + + + , 1x < ) l) Viết rõ các hệ số đến 6x : ( ) sinxf x e x= m) Viết rõ các hệ số đến 6x : ( ) cosxf x e x= Ví dụ 2. Khai triển thành chuỗi Taylor tại lân cận điểm tương ứng a) ( ) ln , 1f x x x= = • ( )ln ln 1 1x x= + − • ( ) ( ) ( ) 1 1ln 1 1 1 n n n x x n ∞ = − + − = −∑ b) 2 1( ) , 4 3 2 f x x x x = = + + • ( ) 1 1 1 2 f x x x = − + + • ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 ! 1 2 nn n n f x n x x + +   = − −  + +  PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo [email protected] • ( ) ( ) ( ) ( )1 14 1 ! 5 6nn n nf n − − − −= − − • ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1 5 6 4n nn n n f x x ∞ − − − − = = − − −∑ c) ( ) 1 xf x x = + , theo chuỗi luỹ thừa của 1 x x+ ( ( ) 2 31 1.3 1 2 1 2.4 1 x x xf x x x x     = + + +    +  +   +  ( ) ( ) 1.3 2 3 2.4 2 2 1 n n x n x −   + +  −  +  ) d) ( ) cos 2 xf x = , theo chuỗi luỹ thừa của 2 x pi  −    ( ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1!2 2!2 ( 1)!2 n n x x x n − pi pi pi −   − − −  − − − − +   −  ) e) ( ) sin3f x x= , theo chuỗi luỹ thừa của 3 x pi  +    ( ( ) ( )( ) 2 1 1 31 2 1 ! n n n n n −∞ = + pi − − ∑ ) f) ( ) 2 1 3 2 f x x x = − + theo luỹ thừa của ( )3x − g) ( ) 2 1 3 2 f x x x = + + theo luỹ thừa của ( )2x − 4.2. Ứng dụng của chuỗi luỹ thừa 1°/ Tính gần đúng Ví dụ 3. Áp dụng chuỗi luỹ thừa, tính gần đúng a) sin18° với độ chính xác 510− • ( ) ( ) 1 2 1 1 1 sin 2 1 ! n n n x x n −∞ − = − = − ∑ • ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 sin18 sin 10 2 1 ! 10 n n n n n −∞ − − = pi − pi ° = = − ∑ • ( ) 2 1 5 2 1 102 1 !10 n n n R n + − + pi < ≤ + • 3n ≥ b) 2 1 0 xe dx−∫ với độ chính xác 310− • 0 ! n x n x e n ∞ = =∑ • ( ) 2 2 0 1 ! n nx n x e n ∞ − = = −∑ PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo [email protected] • ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 0 00 11 1 ! 2 1 ! 2 1 n n n n n xI n n n n ∞ ∞+ = = = − = − + +∑ ∑ • ( ) ( ) 31 10 4 1 ! 2 3n R n n n −≤ ≤ ⇒ ≥ + + c) Tính gần đúng số e với độ chính xác 0,00001 (2,71828 ) d) Tính gần đúng 2 1 0 xe dx−∫ với độ chính xác 0,0001 (0,747) e) 3 0 1 dx x ∞ +∫ với độ chính xác 310− (0,118 ) 2°/ Tính giới hạn. Ví dụ 4. 3 5 7 90 sin 3! 5! 7!lim x x x x x x x→ − + − + • ( )3 5 7 9 9sin 3! 5! 7! 9! x x x x x x o x= − + − + + • ( )9 9 90 19!lim 9!x x o x A x→ + = = § 6 Chuỗi FOURIER • Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier • Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier • Đặt vấn đề 1. Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier a) Chuỗi lượng giác Định nghĩa. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng 0 1 ( cos sin ), ,n n n n n a a nx b nx a b ∞ = + + ∈∑ (1.1) Nhận xét. 1°/ Nếu 1 1 ,n n n n a b ∞ ∞ = = ∑ ∑ hội tụ ⇒ chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối trên 2°/ Tuy nhiên, 1 1 ,n n n n a b ∞ ∞ = = ∑ ∑ hội tụ không phải là điều kiện cần để chuỗi (1.1) hội tụ. b) Chuỗi Fourier PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo [email protected] Bổ đề. Với ,p k∀ ∈ , ta có 1°/ sin 0kxdx pi −pi =∫ 2°/ cos 0, 0kx dx k pi −pi = ≠∫ 3°/ cos sin 0kx px dx pi −pi =∫ 4°/ 0, cos cos , 0 k p kx px dx k p pi −pi ≠ =  pi = ≠∫ 5°/ 0,sin sin , 0 k p kx px dx k p pi −pi ≠ =  pi = ≠∫ • Giả sử ( )f x tuần hoàn với chu kì 2pi và có 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n af x a nx b nx ∞ = = + +∑ (1.2) Sử dụng bổ đề trên và tính toán ta có 0 1 ( )a f x dx pi −pi = pi ∫ ; 1 ( )cos , 1, 2,na f x nx dx n pi −pi = = pi ∫ 1 ( )sin , 1, 2,nb f x nx dx n pi −pi = = pi ∫ (1.3) Định nghĩa. Chuỗi lượng giác 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx ∞ = + +∑ với các hệ số 0a , ,n na b xác định trong (1.3) được gọi là chuỗi Fourier của hàm ( )f x . 2. Điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier Định nghĩa. Chuỗi Fourier của hàm ( )f x hội tụ về hàm ( )f x thì ta bảo hàm ( )f x được khai triển thành chuỗi Fourier. Định lí Dirichlet. Cho ( )f x tuần hoàn với chu kì 2pi , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ ];−pi pi ⇒ chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn [ ];−pi pi và có ( ) ( )S x f x= , tại điểm liên tục của ( )f x . Còn tại điểm gián đoạn x c= có ( 0) ( 0)( ) 2 f c f cS c + + −= . Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số ( )f x tuần hoàn với chu kì 2pi , xác định như sau a) 1, 0( ) 1, 0 xf x x ≤ ≤ pi =  − − pi ≤ < +) ( ) ( )0 1 1 0a f x dx pi −pi = = pi − pi = pi pi∫ PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo [email protected] +) ( )1 cosna f x nxdx pi −pi = pi ∫ ( ) 0 0 1 1 cos cos 0nx dx nx dx pi −pi = − + = pi pi∫ ∫ +) ( )1 sinnb f x nxdx pi −pi = pi ∫ ( ) 0 0 1 1 sin sinnx dx nxdx pi −pi = − + pi pi∫ ∫ ( )2 1 cosn n = − pi pi ( )2 1 1 nn n pi   = − −  pi +) ( ) 4 1 1sin sin3 sin5 3 5 f x x x x = + + +  pi   b) , 0( ) , 0 x xf x x x ≤ ≤ pi =  − − pi ≤ < ( ( ) ( )( )20 4 cos 2 1 2 2 1m m xf x m ∞ = pi + = − pi + ∑ ) c) 2( ) ,f x x x= − pi < < pi +) 2 2 0 1 2 3 a x dx pi −pi pi = = pi ∫ +) 21 sin 0nb x nx dx pi −pi = = pi ∫ +) 21 cosna x nx dx pi −pi = pi ∫ ( ) 2 2 4 4 cos 1 nn n n = pi = − ( ) 2 cos cos2 cos3 cos44 3 1 4 9 16 x x x xf x pi  = − − + − +   d) 1, 0( ) 0, 0 xf x x − pi ≤ < =  ≤ < pi ( ( ) ( )( ) ( ) 1 2 0 1 2 cos 2 1 sin1 4 2 1 n m n m x nxf x nm ∞ ∞ + = = pi + = − + + − pi + ∑ ∑ ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

Các file đính kèm theo tài liệu này:

bai_5_ptvp_bk2011_6602.pdf

Tài liệu liên quan

Bài giảng Phương pháp tính: Đạo hàm và tích phân - Nguyễn Hồng Lộc
18 trang | Lượt xem: 644 | Lượt tải: 0
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương I: Đạo hàm và vi phân (Phần 2)
74 trang | Lượt xem: 783 | Lượt tải: 0
Toán học - Lý thuyết ước lượng
68 trang | Lượt xem: 1523 | Lượt tải: 0
Máu - Các chất thay thế huyết tương
2 trang | Lượt xem: 1126 | Lượt tải: 0
Bài giảng logic tóm tắt
73 trang | Lượt xem: 1488 | Lượt tải: 0
Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm bậc thấp cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái gần như không nén được
12 trang | Lượt xem: 645 | Lượt tải: 0
Giải toán bằng nhiều cách
4 trang | Lượt xem: 1786 | Lượt tải: 0
Nguyên lý Dirichle và nguyên lý cực hạn
5 trang | Lượt xem: 1848 | Lượt tải: 0
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương II: Tích phân bội - Bài 1: Tích phân kép
36 trang | Lượt xem: 974 | Lượt tải: 0
Giáo án hình học -ÔN TẬP CHƯƠNG III
5 trang | Lượt xem: 1530 | Lượt tải: 0