[Toán Học] Những Con Số Kỳ Thú Trong Toán Học - {Epsilon + Bit}'s Blog

Trong toán học, những con số được đặt tên rất thú vị và chúng cũng tuân theo các quy luật khá hấp dẫn.

Việc khám phá ra các con số này là một thành tựu của nhân loại nói chung và các nhà toán học nói riêng. Các con số có mặt trong khắp các lĩnh vực. Bài viết này xin giới thiệu đến các bạn các con số thú vị đó cùng quy luật của chúng dưới góc nhìn giải trí. Chúc các bạn có một cuộc khám phá thú vị với toán học các con số.

1. Cặp số thân thiết

Hai số nguyên dương tạo thành một cặp số thân thiết khi chúng tuân theo quy luật:

Số này bằng tổng tất cả các ước của số kia (trừ chính nó) và ngược lại.

“Trong anh có tôi, trong tôi có anh, gắn bó thân thiết, không tách rời nhau”

Cặp số thân thiết đầu tiên được tìm ra và nó cũng là cặp số thân thiết nhỏ nhất là: 220 và 284.

Cùng nhau phân tích 1 chút.

• 220 ngoài chính nó ra, nó còn có 11 ước số khác là: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110. Tổng của 11 ước này cho chúng ta 284
• 284 ngoài bản thân nó, còn có 5 ước số khác là: 1, 2, 4, 71, 142. Tổng của chúng vừa đúng bằng 220

Thế kỷ 17, nhà toán học Pháp Fecma tìm ra cặp số thân thiết thứ hai là: 17296 và 18416. Cùng thời điểm đó, một nhà toán học Pháp khác đã tìm ra được cặp số thứ ba: 9363544 và 9437056.

Điều khiến giới toán học kinh ngạc nhất là khi Ơ-le đã công bố một lúc 60 cặp số thân thiết năm 1750 và tưởng rằng “Ơ-le đã tìm ra hết cả rồi”. Nhưng không ngờ, một thế kỷ sau, một thanh niên nước Ý mới có 16 tuổi tên là Baconi đã công bố một cặp số thân thiết vào năm 1866, nó chỉ lớn hơn cặp số nhỏ nhất một chút, đó là 1184 và 1210.

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, máy tính ra đời, các nhà toán học đã kiểm tra tất cả các số trong phạm vi 1.000.000 và đã tìm được 42 cặp số thân thiết. Hiện nay, đã tìm được hơn 1000 cặp số thân thiết. Thế nhưng liệu có phải số thân thiết là vô hạn? Và quy luật phân bố của chúng thế nào? Đây là hai câu hỏi lớn còn đang bỏ ngỏ.

Vơi máy tính, chỉ bằng một thuật toán khá đơn giản với một ngôn ngữ lập trình nào đó, chúng ta dễ dàng tìm kiếm các cặp số thân thiết.

2. Cặp số hứa hôn

Ngoài khai niệm về thân thiết, các nhà toán học cũng định nghĩa cặp số hứa hôn. Hai số nguyên dương là cặp số hứa hôn khi thoả mãn quy luật sau:

Tổng các ước của số này (khác chính nó) nhiều hơn số kia đúng 1 đơn vị

Những cặp số hứa hôn đầu tiên đã được tìm ra: (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1675, 1648), (2024, 2295), (5775, 6128).

Người ta chứng minh được rằng, cặp số hứa hôn luôn gồm một số chẵn và một số lẻ – chính là một số nam và một số nữ

3. Emirp – Prime

Một Emirp là một số nguyên tố mà khi đảo ngược vị trí các chữ số của nó ta cũng được một số nguyên tố. Định nghĩa này không bao gồm các số nguyên tố xuôi ngược (như 151, 787, … ), cũng không bao gồm số nguyên tố có 1 chữ số (như 5, 7, … ).

Những Emirp đầu tiên được tìm ra là: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, … Tính đến tháng 11 năm 2009, các emirp lớn nhất được biết đến là , được tìm ra bởi Jens Kruse Andersen trong tháng 10 năm 2007.

4. Số hoàn hảo

Trong lý thuyết số, một số nguyên dương được gọi là số hoàn hảo khi nó bằng tổng các ước của nó (trừ chính nó). Hoặc có thể định nghĩa khác: Số hoàn hảo là số nguyên dương có tổng các ước gấp đôi nó.

Chẳng hạn như số hoàn hảo đầu tiên là 6 vì 6 = 1+2+3.

Bốn số hoàn hảo đầu tiên trong là: 6, 28, 496, 8128 được biết đến từ rất lâu trong toán học Hy Lạp do nhà toán học Nicomachus tìm ra. Một nhà toán học vô danh đã đưa ra số hoàn hảo thứ năm là: 33.550.336. Năm 1588, nhà toán học người Ý Pietro Cataldi xác định 8.589.869.056 và 137.438.691.328 là số hoàn thiện thứ sáu và thứ bảy.

Euclid đã chứng minh được rằng là một số hoàn hảo khi là số nguyên tố. Mà để điều đó xảy ra thì cũng phải là số nguyên tố. Và số nguyên tố có dạng được gọi là số nguyên tố Mersenne – lấy theo tên của tu sĩ Marin Mersenne người nghiên cứu về lý thuyết số và số hoàn hảo. Đến thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã chứng minh: “Mỗi số nguyên tố Mersenne tạo ra một số hoàn hảo và ngược lại, mỗi số hoàn hảo tương ứng với một số nguyên tố Mersenne”. Đây chính là Định lý Euclid – Euler.

Tính đến tháng 9 năm 2008, mới chỉ có 46 số Mersenne được tìm ra, có nghĩa là mới có 46 số hoàn thiện được tìm ra, số lớn nhất là với 25.956.377 chữ số.

Đến tháng 2 năm 2013, có thêm 2 số nguyên tố Mersenne được tìm r, do đó có 48 số hoàn hảo được tìm thấy, số lớn nhất là với 34.850.340 chữ số.

5. Số mạnh mẽ

Số MẠNH MẼ – nguồn gốc của tên này xuất phát từ sự tích gót chân Achilles. Và có lẽ từ đây, người ta mới đưa ra phân biệt ba thuật ngữ: Số hoàn hảo, số Achilles và số Mạnh mẽ.

Một số được gọi là số MẠNH MẼ nếu khi nó đồng thời vừa chia hết cho số nguyên tố vừa chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó. Chẳng hạn, 25 là một số mạnh mẽ, vì nó vừa chia hết cho số nguyên tố 5, nó vừa chia hết cho bình phương của 5 (chính là 25). Như vậy, có thể thấy được rằng một số mạnh mẽ có thể trùng với một số hoàn hảo. Người ta đưa ra thêm khái niệm số Achilles là một số mạnh mẽ nhưng không phải là số hoàn hảo.

Dưới đây là danh sách tất cả các con số mạnh mẽ trong đoạn từ 1 đến 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49,

64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169,

196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343,

361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576,

625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900,

961, 968, 972, 1000.

6. Số kỳ quặc

Để hiểu được khái niệm số kỳ quặc, ta cần đi qua hai định nghĩa: Số phong phú và Số bán hoàn hảo

Số phong phú là số mà tổng các ước số của nó (không kể chính nó) lớn hơn số nó. Ví dụ, số 12 có tổng các ước số (trừ nó) là 1+2+3+4+6=16>12 nên nó là một số phong phú.

Số bán hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng tất cả hoặc một số ước của nó. Như vậy, tập số bán hoàn hảo rộng hơn tập số hoàn hảo. Một số số bán hoàn hảo: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, …

Như vậy, giữa hai tập số bán hoàn hảo và số phong phú có các phần tử chung. Dựa vào đó, người ta định nghĩa:

Số kỳ quặc là số phong phú nhưng không phải là số bán hoàn hảo

Hay nói cách khác, tổng các ước của nó (trừ nó) là  số lớn hơn nó nhưng tổng của một số hoặc tất cả các ước không bao giờ bằng số đó.

Vài số kỳ quặc đầu tiên là 70, 836, 4030, 5830, …

7. Số hạnh phúc

Một số hạnh phúc được xác định như sau:

• Với một số nguyên dương bất kì
• Thay thế số đó bằng tổng bình phương các chữ số của nó
• Và lặp đi lặp lại qúa trình cho đến khi được số bằng 1 hoặc nó lặp vô tận trong một chu kì mà không bao gồm 1.

Những con số kết thúc tại 1 là những con số hạnh phúc, trường hợp còn lại gọi là con số buồn.

Hãy cùng thử với số 44

• Lần 1:
• Lần 2:
• Lần 3:
• Lần 4:

Do đó, 44 là một số hạnh phúc

Điều thú vị là số hạnh phúc rất phổ biến, có 143 số từ 0 đến 1000. Và số hạnh phúc lớn nhất không có chữ số nào lặp lại là 986.543.210 – Một con số hạnh phúc thực sự.

8. Số bất khả xâm phạm

Cái tên lạ lạ này được đặt cho những số “không thể” viết dưới dạng tổng tất cả các ước của một số nguyên dương bất kì (không tính số nguyên dương đó).

Chẳng hạn, 4 không phải là số bất khả xâm phạm vì 4 = 3+1. Trong đó 3 và 1 là tất cả các ước (trừ chính nó) của 9. Còn 5 là số bất khả xâm phạm.

Các số bất khả xâm phạm đầu tiên: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, …

9. Số tự mãn

Số tự mãn là những số bằng tổng các mũ bậc ba của mỗi chữ số của nó

Ví dụ:

• 
• 
• 
• 

Với một thuật toán đơn giản, máy tính và ngôn ngữ lập trình nào đó, chúng ta rất dễ tìm được các số tự mãn.

Kết thúc bài viết này, xin trích dẫn một câu nói của một nhà toán học Anh GH Hardy được công bố trong cuốn sách “Lời xin lỗi của toán học” nhận xét về các con số và quy luật của nó.

“Đây là những khái niệm kỳ lạ, rất thích hợp cho các câu đố và có khả năng giải trí, nhưng không có gì hấp dẫn với các nhà toán học”

Sưu tầm và hoàn thiện: hoan.ph

Share this:

• X
• Facebook

Like Loading...

Related