Toán Học Tổ Hợp – Wikipedia Tiếng Việt

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)

Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp có hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp.

Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lý thống kê.

Toán học tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, mặc dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối thế kỷ XX (xem trang Danh sách các chủ đề trong toán học tổ hợp). Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồ thị, mà bản thân lý thuyết này lại có nhiều kết nối tự nhiên đến các lĩnh vực khác.

Toán học tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để có được công thức và ước lượng trong phân tích thuật toán.

Các bài toán cơ bản

[sửa | sửa mã nguồn]

1. Bài toán đếm: Đếm các cấu hình thỏa mãn những tính chất nào đó
2. Bài toán liệt kê tổ hợp: Liệt kê tất cả các cấu hình thỏa mãn một tính chất nào đó
3. Bài toán tìm kiếm: Tìm kiếm một hoặc một số cấu hình thỏa mãn một tính chất nào đó
4. Bài toán tồn tại: Chỉ ra sự tồn tại/không tồn tại một cấu hình tổ hợp thoả mãn một tính chất nào đó
5. Bài toán sinh ngẫu nhiên

Một số cấu hình chính

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho tập hữu hạn gồm n {\displaystyle n} phần tử: A = { a 1 , a 2 , . . . , a n } {\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}}

• Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đó là một bộ sắp thứ tự k phần tử của A, các phần tử có thể lấy lặp lại.
• Chỉnh hợp (không lặp) chập k ( 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} ) của n phần tử đó là một bộ sắp thứ tự k phần tử của A, các phần tử đôi một khác nhau.
• Hoán vị của n phần tử đã cho là một cách sắp xếp các phần tử của nó trên đường thẳng.
• Hoán vị vòng quanh của n phần tử đã cho là một cách sắp xếp các phần tử của nó trên đường tròn.
• Tổ hợp chập k các phần tử của A ( 0 ≤ k ≤ n ) {\displaystyle (0\leq k\leq n)} là một tập con k phần tử ( 0 ≤ k ≤ n ) {\displaystyle (0\leq k\leq n)} của tập A.
• Chỉnh hợp lặp với tần số cho trước k 1 , k 2 , . . . , k n {\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}} là chỉnh hợp lăp chập k với k = k 1 + k 2 + . . . + k n {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}} trong đó a 1 {\displaystyle a_{1}} xuất hiện đúng k 1 {\displaystyle k_{1}} lần, a 2 {\displaystyle a_{2}} xuất hiện k 2 {\displaystyle k_{2}} lần, a n {\displaystyle a_{n}} xuất hiện k n {\displaystyle k_{n}} lần.
• Tổ hợp bội hay tổ hợp lặp chập k các phần tử của một tập hợp n phần tử là một cách lấy ra k {\displaystyle k} lần ( k ≥ 0 ) {\displaystyle (k\geq 0)} các phần tử của một tập hợp, trong đó mỗi phần tử có thể lấy ra nhiều lần.
• Ví dụ cho A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7\}} và k = 5 {\displaystyle k=5}
  • Các chỉnh hợp lặp chập 5 của 7 phần tử có thể là: 24355 , 11111 , 22334 , 43215 , . . . {\displaystyle 24355,11111,22334,43215,...}
  • Các chỉnh hợp không lặp chập 5 của 7 như: 12345, 23456, 73241...
  • Các tổ hợp chập 5 như: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } . . . {\displaystyle \{1,2,3,4,5\},\{2,3,4,5,6\},\{3,4,5,6,7\}...}
  • Tổ hợp lặp 22234557777 là tổ hợp lặp với tần số 0,3,1,1,2,0,4

Một số công thức tính

[sửa | sửa mã nguồn]

1. Công thức tính số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là F ( n , k ) = n k {\displaystyle F(n,k)=n^{k}}
2. Số hoán vị của n phần tử là n!
3. Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là A n k = n ! ( n − k ) ! {\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}}
4. Công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử là C n k = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
5. Công thức tính số 0 ngăn cách thành n nhóm số 1, trong đó có k lần xuất hiện số 1 vì mỗi số 1 tương ứng với một phần tử được chọn và số thứ tự phần tử được chọn là số thứ tự của nhóm. Một nhóm trong đó có thể là rỗng nếu không có số 1 nào giữa hai số 0 liên tiếp. Như vậy mỗi một chuỗi (n – 1 + k) số như trên tương đương một chỉnh hợp lặp chặp k của n phần tử. Chuỗi trên có phân biệt vị trí trước và sau gồm hai phần là phần số 0 và phần số 1. Nếu ta chọn ra k vị trí để đánh số 1 thì các vị trí còn lại trong n + k – 1 vị trí sẽ phải là 0. Số cách chọn như vậy lại là số tổ hợp chập k của n + k – một phần tử. Vậy số chỉnh hợp lặp có công thức như đã nêu trên.

Bài toán liệt kê

[sửa | sửa mã nguồn]

Thứ tự từ điển

[sửa | sửa mã nguồn]

Trong các bộ từ điển, các từ được liệt kê theo thứ tự được gọi là thứ tự từ điển. Cho hai từ dưới dạng xâu của các ký tự

x = x 1 x 2 . . . x m {\displaystyle x=x_{1}x_{2}...x_{m}} y = y 1 y 2 . . . y n {\displaystyle y=y_{1}y_{2}...y_{n}}

Từ x được gọi là đứng trước từ y theo thứ tự từ điển nếu tồn tại chỉ số i, 1 ≤ i ≤ m i n { m , n } {\displaystyle 1\leq i\leq min\{m,\,n\}} sao cho

∀ j ≤ i : x j = y j {\displaystyle \forall j\leq i\,:\,x_{j}=y_{j}} x i {\displaystyle x_{i}} đứng trước y i {\displaystyle y_{i}}

Chú ý: Nếu j > m {\displaystyle j>m} thì ta coi x j {\displaystyle x_{j}} là ký tự rỗng, tương tự nếu j > n {\displaystyle j>n} thì coi y j {\displaystyle y_{j}} là ký tự rỗng, ký tự rỗng đứng trước mọi ký tự khác.

Liệt kê các hoán vị của tập n phần tử

[sửa | sửa mã nguồn]

Việc liệt kê toàn bộ các hoán vị của tập X = { x 1 , x 2 , . . . , x m } {\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},...,x_{m}\}} được quy về việc liệt kê tất cả n! hoán vị của tập chỉ số { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle \{1,2,...,n\}} . Ta sẽ liệt kê các hoán vị của n số tự nhiên { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle \{1,2,...,n\}} theo thứ tự từ điển. Nhận xét rằng, khi xếp theo thứ tự từ điển, hoán vị đứng trước tiên sẽ là hoán vị ( 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1 , n ) {\displaystyle (1,2,3,...,n-1,n)} , hoán vị đứng cuối cùng sẽ là hoán vị ( n , n − 1 , . . . , 2 , 1 ) {\displaystyle (n,n-1,...,2,1)} . Ví dụ với n=5, hoán vị đứng đầu là (1,2,3,4,5), đứng cuối là (5,4,3,2,1). Trong hoán vị đầu tiên mỗi số đều nhỏ hơn số đứng ngay sau nó, trong hoán vị cuối cùng thì ngược lại. Vậy kế tiếp sau hoán vị đầu tiên là hoán vị nào?

Hoán vị kế tiếp của một hoán vị (theo thứ tự từ điển)

[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử có hoán vị

x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n − 1 , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})} của n số 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle 1,2,...,n} .

• Thuật toán sinh hoán vị kế tiếp
  1. Tìm từ bên phải sang chỉ số i {\displaystyle i} sao cho x i − 1 < x i {\displaystyle x_{i-1}<x_{i}} .
  2. Nếu không tìm thấy thì trả lời x là hoán vị cuối cùng, không có hoán vị kế tiếp.
  3. Nếu có i như vậy:
     • sắp xếp các giá trị x i , . . . , x n {\displaystyle x_{i},...,x_{n}} theo thứ tự tăng dần.
     • đổi chỗ x i − 1 {\displaystyle x_{i-1}} cho phần tử lớn hơn x i − 1 {\displaystyle x_{i-1}} gần nhất trong các giá trị x i , . . . , x n {\displaystyle x_{i},...,x_{n}}

Ví dụ: với n=5

• kế tiếp của hoán vị ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (1,2,3,4,5)} là hoán vị ( 1 , 2 , 3 , 5 , 4 {\displaystyle (1,2,3,5,4} )
• kế tiếp của hoán vị ( 1 , 2 , 3 , 5 , 4 ) {\displaystyle (1,2,3,5,4)} là hoán vị ( 1 , 2 , 4 , 3 , 5 ) {\displaystyle (1,2,4,3,5)}
• kế tiếp của hoán vị ( 1 , 2 , 4 , 3 , 5 ) {\displaystyle (1,2,4,3,5)} là hoán vị ( 1 , 2 , 4 , 5 , 3 ) {\displaystyle (1,2,4,5,3)}

...

• kế tiếp của hoán vị ( 5 , 4 , 3 , 1 , 2 ) {\displaystyle (5,4,3,1,2)} là hoán vị ( 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ) {\displaystyle (5,4,3,2,1)}

Thuật toán liệt kê tất cả các hoán vị của n số 1,2,...,n

[sửa | sửa mã nguồn]

1. Khởi tạo: x = ( 1 , 2 , . . . , n ) {\displaystyle x=(1,2,...,n)}
2. Tìm x' là hoán vị kế tiếp của x
3. Nếu không tìm được thì dừng.
4. Nếu thấy, thay x bằng x' quay lại 2.

Ví dụ: Liệt kê 24 hoán vị của 1,2,3,4 theo thứ tự từ điển

1234	1243	1324	1342	1423	1432
2134	2143	2314	2341	2413	2431
3124	3142	3214	3241	3412	3421
4123	4132	4213	4231	4312	4321

Liệt kê các tổ hợp chập k của tập n phần tử 1,2,3,4,5,6

[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho tập A gồm 5 chữ số hệ thập phân A={1,2,3,4,5}

1. Số các số tự nhiên 4 chữ số lập thành từ 5 chữ số trên là 5 4 = 625 {\displaystyle 5^{4}=625} .
2. Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lập thành từ 5 chữ số trên là A 5 3 = 5 ! 2 ! = 60 {\displaystyle A_{5}^{3}={\frac {5!}{2!}}=60} .
3. Số các tập con 3 phần tử của 5 chữ số trên là C 5 3 = 5 ! 2 ! 3 ! = 10 {\displaystyle C_{5}^{3}={\frac {5!}{2!3!}}=10} .
4. Số các hoán vị của 5 số đó là 5 ! = 120 {\displaystyle 5!=120} .
5. Số các hoán vị vòng quanh là Q ( n ) = 4 ! = 24 {\displaystyle Q(n)=4!=24} .
6. Số các hoán vị khác nhau có thể có khi hoán vị các chữ cái trong từ XAXAM là 5 ! 2 ! 2 ! 1 ! = 30 {\displaystyle {\frac {5!}{2!2!1!}}=30} .
7. Số cách chia 7 chiếc kẹo cho 4 trẻ em là tổ hợp lặp chập 4 của 7

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn] Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Toán học tổ hợp.

x t s Toán học
Lịch sử Dòng thời gian Tương lai Đại cương Danh sách Ký hiệu
Nền tảng	Logic toán Lý thuyết hình thái Lý thuyết phạm trù Lý thuyết tập hợp Lý thuyết thông tin Triết học toán học
Đại số	Đa tuyến tính Đồng điều Giao hoán Lý thuyết nhóm Phổ dụng Sơ cấp Trừu tượng Tuyến tính
Giải tích	Giải tích điều hòa Giải tích hàm Giải tích phức Giải tích thực Lý thuyết độ đo Phương trình vi phân Vi tích phân
Rời rạc	Lý thuyết đồ thị Lý thuyết thứ tự Tổ hợp
Hình học	Đại số Euclid Giải tích Hữu hạn Rời rạc Số học Vi phân
Lý thuyết số	Số học Đại số Giải tích Hình học Diophantos
Tô pô	Đại số Hình học Đại cương Vi phân Lý thuyết đồng luân
Ứng dụng	Hóa học Kinh tế Lý thuyết điều khiển tự động Lý thuyết trò chơi Sinh học Tài chính Tâm lý Thống kê toán học Xác suất Thống kê Vật lý
Tính toán	Khoa học máy tính Lý thuyết tính toán Lý thuyết độ phức tạp tính toán Đại số máy tính Giải tích số Tối ưu hóa
Liên quan	Toán học giải trí Toán học và nghệ thuật Giáo dục toán học
Thể loại · Chủ đề · Commons · Dự án

x t s Những lĩnh vực chính của khoa học máy tính
Các nền tảng toán học	Logic toán · Lý thuyết tập hợp · Lý thuyết số · Lý thuyết đồ thị · Lý thuyết kiểu · Lý thuyết thể loại · Giải tích số · Lý thuyết thông tin · Đại số · Nhận dạng mẫu · Nhận dạng tiếng nói · Toán học tổ hợp · Đại số Boole · Toán rời rạc
Lý thuyết phép tính	Độ phức tạp Kolmogorov · Lý thuyết Automat · Lý thuyết tính được · Lý thuyết độ phức tạp tính toán · Lý thuyết điện toán lượng tử
Các cấu trúc dữ liệu và các giải thuật	Phân tích giải thuật · Thiết kế giải thuật · Hình học tính toán · Tối ưu hóa tổ hợp
Các ngôn ngữ lập trình và Các trình biên dịch	Các bộ phân tích cú pháp · Các trình thông dịch · Lập trình cấu trúc · Lập trình thủ tục · Lập trình hướng đối tượng · Lập trình hướng khía cạnh · Lập trình hàm · Lập trình logic · Lập trình máy tính · Lập trình mệnh lệnh · Lập trình song song · Lập trình tương tranh · Các mô hình lập trình · Prolog · Tối ưu hóa trình biên dịch
Tính song hành, Song song, và các hệ thống phân tán	Đa xử lý · Điện toán lưới · Kiểm soát song hành · Hiệu năng hệ thống · Tính toán phân tán
Công nghệ phần mềm	Phân tích yêu cầu · Thiết kế phần mềm · Các phương pháp hình thức · Kiểm thử phần mềm · Quy trình phát triển phần mềm · Các phép đo phần mềm · Đặc tả chương trình · LISP · Mẫu thiết kế · Tối ưu hóa phần mềm
Kiến trúc hệ thống	Kiến trúc máy tính · Tổ chức máy tính · Các hệ điều hành · Các cấu trúc điều khiển · Cấu trúc bộ nhớ lưu trữ · Vi mạch · Thiết kế ASIC · Vi lập trình · Vào/ra dữ liệu · VLSI design · Xử lý tín hiệu số
Viễn thông và Mạng máy tính	Audio máy tính · Chọn tuyến · Cấu trúc liên kết mạng · Mật mã học
Các cơ sở dữ liệu và Các hệ thống thông tin	Hệ quản trị cơ sở dữ liệu · Cơ sở dữ liệu quan hệ · SQL · Các giao dịch · Các chỉ số cơ sở dữ liệu · Khai phá dữ liệu · Biểu diễn và giao diện thông tin · Các hệ thống thông tin · Khôi phục dữ liệu · Lưu trữ thông tin · Lý thuyết thông tin · Mã hóa dữ liệu · Nén dữ liệu · Thu thập thông tin
Trí tuệ nhân tạo	Lập luận tự động · Ngôn ngữ học tính toán · Thị giác máy tính · Tính toán tiến hóa · Các hệ chuyên gia  · Học máy · Xử lý ngôn ngữ tự nhiên · Robot học · Biểu diễn tri thức và suy luận
Đồ họa máy tính	Trực quan hóa · Hoạt họa máy tính · Xử lý ảnh
Giao diện người-máy tính	Khả năng truy cập máy tính · Giao diện người dùng · Điện toán mang được · Điện toán khắp mọi nơi · Thực tế ảo
Khoa học tính toán	Cuộc sống nhân tạo · Tin sinh học · Khoa học nhận thức · Hóa học tính toán · Khoa học thần kinh tính toán · Vật Lý học tính toán · Các giải thuật số · Toán học kí hiệu
Chú ý: khoa học máy tính còn có thể được chia thành nhiều chủ đề hay nhiều lĩnh vực khác dựa theo Hệ thống xếp loại điện toán ACM.