Toán Lớp 8 | Đối Xứng Tâm | Học Thật Tốt

ÔN TẬP: ĐỐI XỨNG TÂM

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hai điểm đối xứng qua một điểm Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai điểm A và A’. Điểm O đối xứng với chính nó.

2. Hai hình đối xứng qua một điểm a) Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua O với một điểm thuộc hình kia và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó. b) Định lí: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau. 3. Tâm đối xứng của một hình: Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A có tọa độ (4; 3). Hãy vẽ điểm B đối xứng với H qua gốc tọa độ và tìm tọa độ của B.

Bài giải:

Ví dụ 2: Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng?

Bài giải:

Hình a, hình c có tâm đối xứng.

Hình a có tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Hình c có tâm đối xứng là tâm của đường tròn.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua C.

Bài giải:

Tứ giác BMCD có BM // CD, BM = CD nên BMCD là hình bình hành.

Suy ra CM // BD, CM = BD.          (1)

Tứ giác BCND có BC // DN, BC = DN nên BCND là hình bình hành.

Suy ra CN // BD, CN = BD.         (2)

Từ (1), (2) suy ra M, C, N thẳng hàng và CM = CN. Do đó M đối xứng với N qua C.

Bài 2: Các điểm  và  đối xứng với các điểm  và  qua điểm  Tính  biết rằng điểm nằm giữa các điểm và , ,

Bài giải:

Theo định lí về hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua điểm , ta có:

 ; .

Do  nên:

Vậy

Ta có: .

Với:

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng các điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

Bài giải:

Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường:

MA = MC, MB = MD nên ABCD là hình bình hành.

Suy ra AD // BC, AD = BC.  (1)

Tứ giác AEBC có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường:

NA = NB, NE = NC nên AEBC là hình bình hành.

Suy ra AE // BC, AE = BC.    (2)

Từ (1), (2) suy ra D, A, E thẳng hàng và AD = AE. Do đó D đối xứng với E qua A.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. E là trung điểm của OD. M là điểm đối xứng của C qua E. N đối xứng với M qua A.Chứng minh rằng N và C đối xứng nhau qua trung điểm của OB.

Bài giải:

Gọi giao điểm của NC và OB tại I.

E là trung điểm OD nên OE = ED.

Xét tam giác ACM có EO là đường trung bình nên EO // MA,  (1)

Xét tam giác ANC có O là trung điểm AC, OI // AN suy ra I là trung điểm của NC.

Và    (2)

Vì AM = AN và từ (1), (2) ta suy ra OI = IB suy ra I là trung điểm của OB. Vậy N và C đối xứng nhau qua trung điểm OB.

Xem thêm: Hình chữ nhật

Trên đây là các kiến thức cần nhớ và các bài tập ví dụ minh họa về nội dung của bài học Đối xứng tâm – toán cơ bản lớp 8.

Chúc các em học tập hiệu quả!