Toán Lớp 8 Nâng Cao - 11. Đối Xứng Trục - đối Xứng Tâml

Dẫn dắt

Ghi bảng

1. Đối xứng trục

a) Hai điểm đối xứng với nhau qua một đường thẳng

Khi bắt đầu vào lớp 6 chúng ta được học về điểm đầu tiên đúng không nào? Vậy khi nào ta nói hai điểm đối xứng với nhau qua một đường thẳng? Để trả lời câu hỏi đó chúng ta hãy cũng đến với phần đầu tiên a) Hai điểm đối xứng với nhau qua một đường thẳng.

- Gv đưa ra ví dụ 1 và yêu cầu Hs vẽ hình vào vở.

- Ta nói: Điểm A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d.

- Vậy bạn nào có thể cho thầy biết khi nào thì ta nói hai điểm đối xứng với nhau qua một đường thẳng?

- Vậy thầy có điểm B nằm trên đường thẳng d. Cả lớp hãy tìm cho thầy điểm đối xứng với điểm B qua d nào?

- Từ đó ta có định nghĩa sau:

Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

- Điểm đối xứng với điểm B vẫn là điểm B.

- Ta rút ra được quy ước sau:

Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng d cũng là điểm B.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d và một điểm A không thuộc d. Hãy vẽ điểm A’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’

*) Định nghĩa:

Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

*) Quy ước.

Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng d cũng là điểm B.

b) Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

Khi có 2 điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Vừa rồi chúng ta đã được học về 2 điểm đối xứng với nhau qua 1 đường thẳng. Vậy 2 đoạn thẳng có thể đối xứng với nhau qua một đường thẳng hay không? Thầy và các con sẽ cùng nhau đến phần b) Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

-Gv yêu cầu hs vẽ hình ví dụ 2.

- Hai đoạn thẳng AB và A’B’ được gọi là 2 đoạn thẳng đối xứng nhau qua đường thẳng d.

- Đoạn thẳng AB và A’B’ người ta gọi là một hình.

- Vậy hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d khi nào?

- Từ đó ta rút ra được định nghĩa như sau:

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

- Và đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của AB và A’B’.

- Các con có nhận xét gì về độ dài của AB và A’B’?

- Vậy thì hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng phải bằng nhau.

- Tương tự như vậy nếu hình đó là góc hay là tam giác thì chúng cũng bằng nhau.

- Lấy điểm C trên AB và lấy C’ đối xứng với C qua d.

- Các con có nhận xét gì về vị trí của điểm C’.

- Vậy khi A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng hàng.

- Vậy khi 2 tam giác bằng nhau và có chung 1 cạnh thì cạnh đấy có phải là trục đối xứng của 2 tam giác đó không?

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB.

- Lấy điểm A’ đối xứng với A qua d.

- Lấy điểm B’ đối xứng với B qua d.

*) Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của 2 hình đó.

-Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

- Lấy điểm C thuộc đoạn AB. Lấy điểm C’ đối xứng với C qua d.

- Khi A,B,C thẳng hàng thì các điểm đối xứng với nó cũng thẳng hàng.

c) Hình có trục đối xứng.

Hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng thì đường thẳng đấy gọi là trục đối xứng của hai hình. Vậy hình như thế nào thì có trục đối xứng. Để trả lời câu hỏi đó thì thầy và các con cùng sang phần c) hình có trục đối xứng.

-Gv cho HS vẽ hình và làm ví dụ 3.

- Vậy AH được gọi là trục đối xứng của tam giác ABC.

- Vậy thế nào là trục đối xứng của một hình?

- Từ đó ta rút ra định nghĩa như sau:

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua đường thẳng d cũng thuộc hình .

-Cả lớp hãy suy nghĩ và cho thầy biết những hình sau có bao nhiêu trục đối xứng?

- Tam giác đều.

- Chữ A in hoa.

- Đường tròn.

- Gv hỏi Hs: Hình thang cân có phải là hình có trục đối xứng không?

- Bạn nào có thể vẽ cho thầy trục đối xứng của hình thang cân nào?

Gv yêu cầu Hs suy nghĩ và làm bài 5.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Tìm hình đối xứng với mỗi cạnh của tam giác ABC qua AH.

*) Định nghĩa:

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua đường thẳng d cũng thuộc hình .

-Hình có trục đối xứng d.

- Trục đối xứng của hình thang cân là đường trung trực của 2 cạnh đáy.

2. Đối xứng tâm.

Hôm nay ở đầu đề có 2 phần đó là đối xứng tâm và đối xứng trục. Vừa rồi chúng ta đã biết được đối xứng trục là thế nào rồi. Bây giờ chúng ta sẽ cùng tìm hiểu xem thế nào là đối xứng tâm.

a) Hai điểm đối xứng qua một điểm.

Khi nhắc đến tâm thì chúng ta nghĩ đến cái gì các con nhỉ?

-Đường tròn.

Chính xác. Vậy tâm của đường tròn là 1 điểm đúng không? Ở phần trước chúng ta học 2 điểm đối xứng qua 1 đường thẳng rồi. Vậy bây giờ chúng ta sẽ học 2 điểm đối xứng qua một điểm.

-Gv cho hs vẽ hình và làm ví dụ 1.

-Ta nói: A’ là điểm đối xứng của A qua O.

-Vậy khi nào thì ta nói 2 điểm đối xứng nhau qua 1 điểm?

- Từ đó chúng ta rút ra định nghĩa sau:

2 điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.

-Vậy điểm đối xứng với điểm O qua điểm O là điểm nào?

- Từ đó ta có quy ước sau:

Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng là điểm O.

Ví dụ 1: Cho điểm O và điểm A. Hãy vẽ A’ sao cho O là trung điểm của AA’.

*) Định nghĩa: 2 điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.

*) Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng là điểm O.

b) Hai hình đối xứng qua một điểm.

Tương tự giống ở trên thì ta cũng sẽ có hai hình đối xứng qua một điểm.

-Gv cho hs làm ví dụ 2.

- Ta nói A’B’ đối xứng với AB qua O.

- Vậy khi nào thì ta nói 2 hình đối xứng nhau qua 1 điểm?

- Từ đó ta rút ra định nghĩa sau:

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.

Và điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình đó.

Tương tự như trục đối xứng thì nếu hai đoạn thẳng ( góc, tam giác) đối xứng nhau qua 1 điểm thì chúng sẽ bằng nhau.

Ví dụ 2: Cho điểm O và đoạn thẳng AB.

- Vẽ điểm A’ đối xứng với A qua O.

- Vẽ điểm B’ đối xứng với B qua O.

- Lấy điểm C thuộc đoạn AB, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua O.

*) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.

- Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình đó.

-Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

c) Hình có tâm đối xứng.

Các con có biết bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang phần nào không nhỉ? Đúng rồi chúng ta sẽ đến với hình có tâm đối xứng.

-Gv cho hs làm ví dụ 3.

- Ta thấy các cạnh của hình bình hành sau khi lấy đối xứng với nhau qua điểm O vẫn thuộc hình bình hành.

Vậy điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD.

-Vậy bạn nào có thể cho thầy biếthình như thế nào thì có tâm đối xứng?

-Từ đó ta có định nghĩa sau:

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua điểm O cũng thuộc hình . Trong trường hợp này ta nói là hình có tâm đối xứng.

Vừa rồi chúng ta biết được O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD. Vậy thì tâm đối xứng của hình bình hành là điểm nào?

Từ đó ta rút ra định lí:

Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

Gv yêu cầu HS vẽ hình và suy nghĩ bài 1.

Ví dụ 3: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Tìm hình đối xứng với mỗi cạnh của hình bình hành qua điểm O.

*) Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua điểm O cũng thuộc hình . Trong trường hợp này ta nói là hình có tâm đối xứng.

*) Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.