Toán NC Lớp 9 - Bài 3: Rút Gọn Biểu Thức

1. Lý thuyết

Bài toán: Rút gọn biểu thức chứa ẩn

- Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

• \(\sqrt A \) có nghĩa khi \(A \ge 0\)
• \(\frac{A}{B}\) có nghĩa khi \(B \ne 0\)
• \(\sqrt {\frac{A}{B}} \) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{A}{B} \ge 0\\ B \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \ge 0\\ B \ne 0 \end{array} \right.\)

- Thực hiện rút gọn

• Khi rút gọn tổng, hiệu các phân thức thì trước hết ta tìm mẫu thức chung (gọn nhất)
• Khi rút gọn phân thức ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi thực hiện rút gọn
• Nếu biểu thức chứa các căn thức giống nhau thì đặt căn thức đó làm ẩn phụ. Đưa về bài toán rút gọn với ẩn phụ mới
• Khi rút gọn biểu thức chứa nhiều biểu thức con ta có thể rút gọn từng biểu thức con trước

2. Bài tập

Ví dụ 1: Cho \(P = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 1}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\)

a. Rút gọn Q

b. Tính giá trị Q khi \(x = 7 + 4\sqrt 3 \)

c. Tìm gía trị nhỏ nhất của \(\frac{P}{Q}\)

Giải:

a. Q có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x - 4 \ne 0\\ \sqrt x + 2 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \ne 4 \end{array} \right.\)

Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2}\)

\(\begin{array}{l} Q = \frac{{t - 1}}{{t + 2}} + \frac{{5t - 2}}{{{t^2} - 4}} = \frac{{\left( {t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) + 5t - 2}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)}}\\ = \frac{{{t^2} - 2t - t + 2 + 5t - 2}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)}} = \frac{{{t^2} + 2t}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)}}\\ = \frac{{t\left( {t + 2} \right)}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)}} = \frac{t}{{t - 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \sqrt x = \sqrt {7 + 4\sqrt 3 } = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 4\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \\ = \left| {2 + \sqrt 3 } \right| = 2 + \sqrt 3 \end{array}\)

\(Q = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 - 2}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}\)

c.

\(\begin{array}{l} \frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\\ \frac{P}{Q} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} \\ \frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 \end{array}\)

GTNN \(\frac{P}{Q} = 2\sqrt 3 \) khi \(\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn điều kiện)

Chú ý:

\(x \ge 0;y \ge 0,x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (AM - GM, Cosi)

Dấu "=" khi x = y

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

\(A = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2}\)

Giải

A có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} a \ge 0\\ 1 - \sqrt a \ne 0\\ 1 - a \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge 0\\ a \ne 1 \end{array} \right.\)

Đặt \(\sqrt a = t \Rightarrow a = {t^2}\)

\(\begin{array}{l} A = \left( {\frac{{1 - {t^3}}}{{1 - t}} + t} \right){\left( {\frac{{1 - t}}{{1 - {t^2}}}} \right)^2}\\ = \left[ {\frac{{\left( {1 - t} \right)\left( {1 + t + {t^2}} \right)}}{{1 - t}} + t} \right]{\left[ {\frac{{1 - t}}{{\left( {1 - t} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right]^2}\\ = \left( {1 + t + {t^2} + t} \right){\left( {\frac{1}{{t + 1}}} \right)^2}\\ = \left( {1 + 2t + {t^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{t^2} + 2t + 1}}} \right) = 1 \end{array}\)

Ví dụ 3: Cho \(P = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{2{\rm{x}} + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {x - 1} }}\)

a. Rút gọn P

b. Tìm GTNN của P

c. Tìm x để \(Q = \frac{{2\sqrt x }}{P}\) nhận giá trị là số nguyên

Ví dụ 4: Cho \(B = \left( {\frac{{y\sqrt y - 1}}{{y - \sqrt y }} - \frac{{y\sqrt y + 1}}{{y + \sqrt y }}} \right):\frac{{2\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}}{{y - 1}}\)

a. Rút gọn B

b. Tìm tất cả các số nguyên y để B có giá trị là số nguyên