Toán Tử Compact | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Cho $X, Y$ là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính bị chặn $A: X\to Y$ được gọi là toán tử compact nếu nó biến tập bị chặn thành tập compact tương đối, hay đơn giản hơn ảnh của hình cầu đơn vị $A(B), B=\{x\in X|\; ||x||_X\le 1\},$ là tập compact tương đối.

Một vài ví dụ đơn giản về toán tử compact.

VD1. $X, Y$ là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính $A: X\to Y$ đều là toán tử compact.

VD2. $X= C^1([0, 1])$ là không gian các hàm giá trị thực khả vi liên tục trên đoạn $[0, 1]$ , có đạo hàm trái tại $1$ và đạo hàm phải tại $0$ , với chuẩn

$||f||_{C^1}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}(|f(x)|+|f'(x)|)$ .

$Y=C([0, 1])$ là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn $[0, 1]$ với chuẩn

$||f||_C=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|$ .

Khi đó phép nhúng $C^1([0, 1])\hookrightarrow C([0, 1])$ là toán tử compact.

VD3. Cho $X, Y$ là các không gian định chuẩn. Ánh xạ tuyến tính bị chặn $A: X\to Y$ có ảnh $A(X)$ là không gian hữu hạn chiều được gọi là toán tử có hạng hữu hạn (finte rank). Khi đó nó cũng là toán tử compact.

Một dãy các toán tử compact $A_k: X\to Y, k\in\mathbb N,$ hội tụ theo chuẩn đến toán tử tuyến tính bị chặn $A: X\to Y$ , nghĩa là

$\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{x\in B}||A_kx-Ax||_Y=0,$

thì toán tử $A$ là compact.

VD4. Cho $X=Y=L^2(0, 1)$ là không gian các hàm giá trị phức bình phương khả tích Lebesgue trên $(0, 1)$ và nhân $K\in C([0, 1]\times(0, 1))$ . Khi đó ánh xạ

$f\mapsto \int\limits_0^1 K(x, y)f(y)dy$

là toán tử compact trên $L^2(0, 1)$ .

VD5. Cho $X=Y$ là không gian Banach. Ký hiệu $B(X), B_0(X)$ lần lượt là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên $X$ và tập tất cả các toán tử compact trên $X$ . Khi đó $B(X)$ là một đại số Banach với các phép toán tuyến tính và phép nhân là phép hợp thành. Lúc này $B_0(X)$ là ideal hai phía trong $B(X)$ , nghĩa là

$AK, KA\in B_0(X), \forall A\in B(X), \forall K\in B_0(X)$ .

Theo VD2 ta có $B_0(X)$ là tập đóng trong $B(X)$ .

Câu hỏi: nếu ta biết $K\in B_0(X)$ thì ta được gì?

Khi đó toán tử $T=I_X -K$ là toán tử Fredholm với chỉ số

$index(T)=dim(Ker T)-codim(Ran T)=0$ .

Điều này giúp ta tìm hiểu phương trình

$x-Kx=y, y\in X$ .

Nếu $T$ là đơn ánh thì phương trình trên giải được với mọi $y\in X.$ Khi đó tồn tại ánh xạ ngược $(I_X-K)^{-1}\in B(X)$ .

Quay trở lại VD2, nếu ta có dãy các toán tử compact $K_n\in B_0(X), n\in\mathbb N,$ hội tụ theo chuẩn đến toán tử $K\in B(X)$ . Khi đó $K\in B_0(X)$ và các kết quả sau.

– Nếu $T_n=I_X-K_n$ đều khả nghịch và dãy $T_n^{-1}, n\in\mathbb N,$ bị chặn đều

nghĩa là có $M>0$ để $||T_n^{-1}||\le M, \forall n\in\mathbb N,$

thì $T=I_X-K$ cũng khả nghịch. Hơn nữa

$||T^{-1}||\le M$ .

– Ngược lại, nếu $T$ khả nghịch thì tồn tại $n_0\in\mathbb N$ để

dãy $T_n, n\ge n_0$ khả nghịch và $T_n^{-1}, n\ge n_0$ bị chặn đều.

Có thể cảm thấy được ý nghĩa của kết quả trên. Tuy nhiên việc kiểm tra sự hội tụ theo chuẩn của dãy $K_n$ không phải lúc nào cũng thực hiện được vì khó hoặc vì không có điều này, thay vào đó ta chỉ biết rằng dãy $K_n$ hội tụ điểm, nghĩa là

$\lim\limits_{n\to\infty}K_n x=Kx, \forall x\in X$ .

Nếu chỉ có hội tụ điểm thì giới hạn của dãy toán tử compact chưa chắc compact. Chẳng hạn

$K_n: \ell_1(\mathbb N;\mathbb R)\to \ell_1(\mathbb N; \mathbb R), K_nx=(x_1, \dots, x_n, 0, \dots)$ .

Vậy điều kiện gì để toán tử giới hạn là compact? Câu trả lời: tập $\cup_{n\in\mathbb N} K_n(B)$ là tiền compact.

Đây chính là điểm đưa ra khái niệm “collective compactness” của P. M. Anselone (1967), tôi học được từ bài giảng của GS. E. Bonnetier.

Cụ thể như sau: một họ $\mathcal K$ các toán tử $K\in B(X)$ được gọi là “collectively compact” nếu

$\cup_{K\in \mathcal K} K(B)$ là tiền compact.

Khi đó, với mỗi $K\in\mathcal K$ đều là toán tử compact.

VD6. Dĩ nhiên một dãy các toán tử compact hội tụ theo chuẩn đến một toán tử bị chặn sẽ cho ta một họ “collectively compact”.

VD7. Cho $X=\ell_1(\mathbb N; \mathbb R)$ với $e_n=(0, \dots, 0, \underbrace{1}_{n}, 0, \dots)$ . Xét dãy toán tử $K_n:\ell_1(\mathbb N; \mathbb R)\to \ell_1(\mathbb N; \mathbb R), K_n(x)=x_n e_1$ . Có thể thấy:

– dãy $K_n, n\in\mathbb N,$ lập thành một họ “collectively compactness”,

– dãy $K_n, n\in\mathbb N,$ hội tụ điểm về toán tử $0$ , (theo điều kiện cần)

– chuẩn $||K_n||=1, \forall n\in\mathbb N$ .

VD8. Cho $X=C([0, 1]),$ và dãy các toán tử

$K_n: C([0, 1])\to C([0, 1]), K_n(f)(x)=\dfrac{\cos(x)}{n}\sum\limits_{j=1}^n f(j/n)$ .

Khi đó, ta có

– dãy $K_n, n\in\mathbb N,$ là họ “collectively compactness,”

– dãy $K_n, n\in\mathbb N,$ hội tụ điểm về toán tử

$K(f)(x)=\cos(x)\int\limits_0^1 f(x)dx$ ,

– chuẩn $||K_n-K||=1, \forall n\in\mathbb N$ .

Để ý rằng mặc dù hai ví dụ sau không hội tụ theo chuẩn nhưng toán tử giới hạn vẫn là toán tử compact. Nói cách khác nếu một dãy các toán tử compact $K_n\in B_0(X)$ là “collectively compactness” và hội tụ điểm về toán tử $K$ thì $K$ là toán tử compact. Hơn nữa ta cũng có kết quả tương tự trên, cụ thể như sau.