TOÁN ỨNG DỤNG SPKT TP.HCM - 123doc

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 1 trang Được p

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT

Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 1 trang Được phép sử dụng tài liệu

Bài 1 (2,5 điểm) Một vật khối lượng m (kg) rơi theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

v0 (m/s) trong mơi trường cĩ sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc (hệ số tỷ lệ k), và gia tốc trọng trường g (m/s2) Biết vận tốc v (t) (m/s)của vật thỏa phương trình phương trình vi phân

) ( )

( ' v t

m

k g t

Cho g = 10, m = 0 , 5, k = 4

a) Áp dụng phương pháp Ơle với h= 0 , 1, tính v(0,2) ≈ (1) và v(0,5) ≈ (2)

b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, với h= 0 , 1, tính v(0,2) ≈ (3) và v(0,6) ≈ (4) Từ kết quả

đĩ suy ra gia tốc tại điểm t = 0,2s là v' ( 0 , 2 ) ≈ (5)

Bài 2 (2 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị)

Một vật chuyển động thẳng trên trục từ a đến b dưới tác động của ngoại lực biến thiên F(x) cùng hướng chuyển động của vật Khi đĩ cơng Wcủa lực F(x) được tính bởi công thức

x

0

( )

b

a

Cho a = 0, b = 1,2 và F x( )=x x+1

a) Áp dụng cơng thức hình thang 3 đoạn chia Khi đĩ W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7)

b) Áp dụng cơng thức Simpson 4 đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9)

Bài 3 (1,5 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị)

Khảo sát độ bền uốn y(x) của một loại vật liệu bằng cách tác động cùng một(loại)lực lên cùng một diện tích bề mặt của các miếng vật liệu giống nhau cĩ bề dày x thay đổi Chúng ta cĩ bảng số liệu

Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với dạng phương trình y = A + B x, suy ra A = (10) và

B= (11) Dự đốn y khi x = 0 , 25 là y(0 , 25) = (12)

Bài 4 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân

t

e t

y( )=12 −5 + y u t u du

t

0

) ( 2 cos ) ( 5

Bài 5 (2,5 điểm) Cho phương trình vi phân

t t

y t

y t

a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân trên

b) Giả sử y (t)là phương trình chuyển động thẳng của một chất điểm theo thời gian t Xác định giá trị (gần đúng) của biên độ chuyển động khi t đủ lớn

………

? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi

Bộ môn duyệt

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT

Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 1 trang Được phép sử dụng tài liệu

Bài 1 (2,5 điểm) Một vật khối lượng m (kg) rơi theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

v0 (m/s) trong mơi trường cĩ sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc (hệ số tỷ lệ k), và gia tốc trọng trường g (m/s2) Biết vận tốc v (t) (m/s)của vật thỏa phương trình phương trình vi phân

) ( )

( ' v t

m

k g t

Cho g = 10, m = 1, k = 3

a) Áp dụng phương pháp Ơle với h= 0 , 1, tính v(0,2) ≈ (1) và v(0,5) ≈ (2)

b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, với h= 0 , 1, tính v(0,2) ≈ (3) và v(0,6) ≈ (4) Từ kết quả

đĩ suy ra gia tốc tại điểm t = 0,2s là v' ( 0 , 2 ) ≈ (5)

Bài 2 (2 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị)

Một vật chuyển động thẳng trên trục từ a đến b dưới tác động của ngoại lực biến thiên F(x) cùng hướng chuyển động của vật Khi đĩ cơng Wcủa lực F(x) được tính bởi công thức

x

0

( )

b

a

Cho a = 0, b = 1,2 và F x( )=x x+1

a) Áp dụng cơng thức hình thang 3 đoạn chia Khi đĩ W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7)

b) Áp dụng cơng thức Simpson 4 đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9)

Bài 3 (1,5 điểm) (trong bài này chúng ta bỏ qua đơn vị)

Khảo sát độ bền uốn y(x) của một loại vật liệu bằng cách tác động cùng một (loại)lực lên cùng một diện tích bề mặt của các miếng vật liệu giống nhau cĩ bề dày x thay đổi Chúng ta cĩ bảng số liệu

Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với dạng phương trình y = A + B x, suy ra A = (10) và

B= (11) Dự đốn y khi x = 0 , 25 là y(0 , 25) = (12)

Bài 4 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân

t

e t

y( )=12 −5 + y u t u du

t

0

) ( 2 cos ) ( 5

Bài 5 (2,5 điểm) Cho phương trình vi phân

t t

y t

y t

a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân trên

b) Giả sử y (t)là phương trình chuyển động thẳng của một chất điểm theo thời gian t Xác định giá trị (gầng đúng) của biên độ chuyển động khi t đủ lớn

………

? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi

Bộ môn duyệt

ĐÁP ÁN MƠN TỐN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT

Mã mơn: MATH131501 Ngày thi: 6/6/2014

Bảng trả lời bài 1, 2, 3:

Đề 1: (Bài 1: m = 0,5 ; k = 4)

(2) v(0,5) ≈ 1,2496 0,5 (8) y2 = F(x2) = 0,7589 0,5

(4) v(0,6) ≈ 1,225287 0,5 (10) A ≈ 502,97126 0,5

Đề 2: (Bài 1: m = 1 ; k = 3)

(2) v(0,5) ≈ 2,7731 0,5 (8) y2 = F(x2) = 0,7589 0,5

(4) v(0,6) ≈ 2,76341 0,5 (10) A ≈ 395,62652 0,5

(5) v’(0,2) ≈ 5,55025 0,5 (11) B ≈ 59,62675 0,5

(6) W ≈ 0,97456 0,5 (12) y(0,25) ≈ 425,439895 0,5

Bài 4: Áp dụng tích chập, phương trình tương đương với

t

e t

y( )=12 −5  +5y(t)*cos2t 

Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] , và biến đổi Laplace hai vế phương trình và áp dụng định lý Borel

ta được

4

5 5

12

2 +

+ +

=

p

p Y p

Y (0,5 điểm)

4 1

5 )

4 )(

1 )(

5 (

) 4 (

−

+

−

+ +

=

−

− +

+

=

⇔

p

C p

B p

A p

p p

p

Biến đổi Laplace ngược ta được

t t t

Ce Be Ae

t

y( )= −5 + + 4 (0,25 điểm)

Từ đẳng thức (*) tính được A = 58/9 , B = -10/3 , C = 80/9 (0,25 điểm)  

Bài 5:

a) Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] , biến đổi Laplace hai vế phương trình và áp dụng tính chất đạo hàm gốc ta được

4

6 18

2

+

= + +

p Y pY Y

p (0,5 điểm)

⇔ = Y

] 9 ) 3 )[(

4 (

6

2

p (0,5 điểm)

=

4

2

2 +

+

p

B

9 ) 3 (

3 ) 3 (

2 + +

+ +

p

D p

4

2

B p

9 ) 3 (

3 9

) 3 (

) 3 (

2

+

+

p

D p

p

Biến đổi Laplace ngược ta được

)

(t

y = Acos 2t+Bsin 2t+ 3 ( cos3 sin3 ) (0,25 điểm)

t D t C

với A = -9/85 , B = 21/170 , C = 9/85 , D = 2/85 (0,25 điểm)

b) Khi t đủ lớn: )3 ( cos3 sin3 0

t D t C

Khi đó y t( ) ≈Acos 2t+Bsin 2t= A2 +B2 sin(α+ 2 ) (0,25)t  

Đây là phương trình chuyển động của dao động điều hòa có biên độ dao động là A2 +B2  

Vậy biên độ chuyển động gần bằng 2 2

B

A + , với A = -9/85 , B = 21/170 (0,25 điểm) 

Hết