Tóm Tắt Lý Thuyết Giải Tích 3 HUST Giải Tích BKHN - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Cao đẳng - Đại học

Tóm tắt lý thuyết giải tích 3 HUST giải tích BKHN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (953.42 KB, 10 trang )

TÀI LIỆU GT3 BÁ VJP PRO NO1I. Chuỗi ∑∞𝒏=𝒏𝟎 𝒖𝒏Điều kiện cần để 1 chuỗi hội tụ: lim 𝑢𝑛 = 0𝑛→∞→ 𝑁ế𝑢 lim 𝑢𝑛 ≠ 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì𝑛→∞( Trước khi làm 1 câu về chuỗi có thể nhẩm nhanh giới hạn này trước khi làm )1. Chuỗi sốMột số chuỗi số có sẵnChuỗi Riemann∞∑𝑛=11𝛼 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ{𝑛𝛼 𝛼 ≤ 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ìChuỗi hình học∞|𝑞| < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ∑ 𝑞𝑛 {|𝑞| ≥ 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì𝑛=0a) Chuỗi số dươngCó 𝑢𝑛 ≥ 0 ∀ 𝑛 ≥ 𝑛0Các tiêu chuẩn áp dụng cho chuỗi số dương:Tiêu chuẩn D’ Alembert ( Áp dụng tốt cho hàm có mũ, giai thừa )𝐷 < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑢𝑛+1lim= 𝐷 → { 𝐷 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì𝑛→∞ 𝑢𝑛𝐷 = 1 → 𝐾ℎô𝑛𝑔 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛Note: Cách nhớ là un+1/un < 1 suy ra un+1 < un nghĩa là số đằng sau nhỏ hơn số đằngtrước => Dãy cứ giảm dần giảm dần => Hội tụTiêu chuẩn Cauchy ( Áp dụng tốt cho hàm cần hạ bậc n )𝐶 < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụlim √𝑢𝑛 = 𝐶 → { 𝐶 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì𝑛→∞𝐶 = 1 → 𝐾ℎơ𝑛𝑔 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛Note: Từ cách nhớ của TC D’ Alembert rồi suy ra Cauchy tương tự =))Nguyễn Tiến Được – K64 Tiêu chuẩn tích phân( Theo mình thấy thì TC này thường áp dụng cho dạng dưới đây nên mình khơng nóiTCTP về mặt lí thuyết nữa )∞∑𝑛=21𝑛. 𝑙𝑛𝑎 𝑛1> 0 ∀𝑛 ≥ 2 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔𝑛. 𝑙𝑛𝑎 𝑛1𝑋é𝑡 𝑓(𝑥) =,𝑥 ≥ 2𝑥. 𝑙𝑛𝑎 𝑥𝑓(𝑥) 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐, 𝑑ươ𝑛𝑔, đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑔𝑖ả𝑚 ∀ 𝑥 ≥ 2lim 𝑓(𝑥) = 0𝑥→∞𝐶ℎỉ 𝑟𝑎∞∞∞11∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑥=∫𝑑(ln 𝑥) = 𝐼𝑎𝑎{ 22 𝑥. 𝑙𝑛 𝑥2 ln 𝑥𝐶ó 𝑢𝑛 =Nếu I hội tụ => ∑∞𝑛=2I phân kì =>1ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛.𝑙𝑛𝑎 𝑛1∞∑𝑛=2𝑛.𝑙𝑛𝑎 𝑛𝑝ℎâ𝑛 𝑘ìTiêu chuẩn so sánh∞∞Đặ𝑡 ∑ 𝑢𝑛 (1) ; ∑ 𝑣𝑛 (2)𝑛=𝑛0𝑛=𝑛0𝑁ế𝑢 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 ∀𝑛 , 𝑣𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ → 𝑢𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ+ TC1 : {𝑁ế𝑢 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 ∀𝑛 , 𝑢𝑛 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → 𝑣𝑛 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ìNote: Cách nhớ: chuỗi dài hơn to hơn mà hội tụ thì chuỗi nhỏ hơn cũng phải hội tụ.Chuỗi bé hơn nhỏ hơn mà phân kì thì chuỗi lớn hơn cũng phải phân kì0 < 𝑘 < +∞ → (1), (2) 𝑐ù𝑛𝑔 𝐻𝑇, 𝑃𝐾+ TC2 : lim=𝑘→{𝑘 = 0 → (2) 𝐻𝑇 → (1) 𝐻𝑇𝑛→∞ 𝑣𝑛𝑘 = +∞ → (2) 𝑃𝐾 → (1) 𝑃𝐾Một dạng khá phổ biến sử dụng TC2𝑢𝑛∞∞𝑛=2𝑛=2ln 𝑛∑ 𝑎 = ∑ 𝑢𝑛𝑛1𝑁ế𝑢 𝑎 < 1 → 𝐶ℎọ𝑛 𝑣𝑛 = 𝛼 𝑣ớ𝑖 1 < 𝛼 < 𝑎𝑛1𝑁ế𝑢 𝑎 > 1 → 𝐶ℎọ𝑛 𝑣𝑛 = 𝛼 𝑣ớ𝑖 0 < 𝛼 < 1𝑛𝑢𝑛→ 𝑋é𝑡 lim→ 𝑠ử 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑇𝐶2𝑛→∞ 𝑣𝑛Nguyễn Tiến Được – K64 b) Chuỗi đan dấu𝑢𝑛 𝑐ó (−1)𝑛 → 𝐾ℎơ𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔Một số tiêu chuẩn cho chuỗi đan dấu∞∞∑ 𝑎𝑛 = ∑ (−1)𝑛 . 𝑢𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑢𝑛 > 0 ∀ 𝑛 ≥ 𝑛0𝑛=𝑛0𝑛=𝑛0Tiêu chuẩn Leibnitz ( Phát triển từ tiêu chuẩn Dirichlet mục d )𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 ∀𝑛Nếu {ℎ𝑎𝑦 {𝑢𝑛 } 𝑙à 𝑑ã𝑦 đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑔𝑖ả𝑚 ∀𝑛 ≥ 𝑛0lim 𝑢𝑛 = 0𝑛→∞→ 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑎𝑛 𝑑ấ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ℎ𝑢ẩ𝑛 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧Tiêu chuẩn D’ Alembert và Cauchy mở rộng( Khi sử dụng sẽ loại bỏ được (-1) n nhờ dấu trị tuyệt đối. Thường dùng trong các bàixét sự HTTĐ nhưng mình vẫn thấy phù hợp cho chuỗi đan dấu)𝑎𝑛+1|=𝑘𝑛→∞ 𝑎𝑛lim |√𝑎𝑛 | = 𝑘lim |𝑛→∞𝑘 < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ, ℎơ𝑛 𝑛ữ𝑎 𝑐ò𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖Khi đó {∞𝑘 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ∑∞𝑛=𝑛0 𝑎𝑛 𝑣à ∑𝑛=𝑛0 |𝑎𝑛 | 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ìc) Sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi∞∞∑ 𝑢𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖 ↔ ∑ |𝑢𝑛 | ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛=𝑛0∞∞𝑛=𝑛0∞∑ 𝑢𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑛ℎư𝑛𝑔 ∑ |𝑢𝑛 | 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → ∑ 𝑢𝑛 𝑏á𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛=𝑛0𝑛=𝑛0∞∞𝑛=𝑛0→ Đị𝑛ℎ 𝑙í: ∑ |𝑢𝑛 | ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∑ 𝑢𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛=𝑛0∞𝑛=𝑛0∞𝑇𝑢𝑦 𝑛ℎ𝑖ê𝑛 𝑛ế𝑢 ∑ |𝑢𝑛 | 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑡ℎì 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 ∑ 𝑢𝑛 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì đượ𝑐∞𝑛=𝑛0𝑛=𝑛0𝑁ℎư𝑛𝑔 𝑛ế𝑢 ∑ |𝑢𝑛 | 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶 𝐷′ 𝐴𝑙𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡 ℎ𝑎𝑦 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 𝑚ở 𝑟ộ𝑛𝑔𝑛=𝑛0∞→ ∑ 𝑢𝑛 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì𝑛=𝑛0Nguyễn Tiến Được – K64 d) Một vài tiêu chuẩn nâng cao ( Sưu tầm by Trần Bá Hiếu )Tiêu chuẩn Dirichlet và Abel+∞𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ∑ 𝑎𝑛 𝑏𝑛𝑛=1−𝐷𝑖𝑟𝑖𝑐ℎ𝑙𝑒𝑡:+∞+) 𝐷ã𝑦 𝑐á𝑐 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 ∑ 𝑎𝑛 𝑙à 𝑏ị 𝑐ℎặ𝑛𝑛=1+) 𝑏𝑛 𝑙à 𝑑ã𝑦 đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ đế𝑛 0+∞=> ∑ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛=1−𝐴𝑏𝑒𝑙:+∞+) ∑ 𝑎𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛=1+) 𝑏𝑛 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑑ã𝑦 𝑠ố đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑏ị 𝑐ℎặ𝑛+∞=> ∑ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛=1Tiêu chuẩn chuỗi số mở rộng+∞+∞𝐶ℎ𝑜 2 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛 𝑣à ∑ 𝑏𝑛 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛𝑛=1+)𝑛=1𝑎𝑛=𝑘≠0𝑛→+∞ 𝑏𝑛lim𝑎𝑛 +∞+) 𝐷ã𝑦 𝑠ố { }|𝑙à đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢𝑏𝑛 𝑛=𝑛0+∞+∞=> ∑ 𝑎𝑛 𝑣à ∑ 𝑏𝑛 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ, ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏á𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ, ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔𝑛=1𝑛=1ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖Nguyễn Tiến Được – K64 Tiêu chuẩn Raabe+∞𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛 𝑣à lim 𝑛 (𝑛→+∞𝑛=1𝑎𝑛− 1) = 𝑘𝑎𝑛+1𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳTiêu chuẩn Bertrand+∞𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛 𝑣à lim ln 𝑛 [𝑛 (𝑛→+∞𝑛=1𝑎𝑛− 1) − 1] = 𝑘𝑎𝑛+1𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳTiêu chuẩn A+∞𝑛𝑛(1 − √𝑎𝑛 ) = 𝑘𝑛→+∞ ln 𝑛𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛 𝑣à lim𝑛=1𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳTiêu chuẩn B+∞ln 𝑛𝑛𝑛[(1 − √𝑎𝑛 ) − 1] = 𝑘𝑛→+∞ ln(ln 𝑛) ln 𝑛𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛 𝑣à lim𝑛=1𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ2. Chuỗi hàm∞𝐶ó 𝑑ạ𝑛𝑔 ∑ 𝑢𝑛 (𝑥)𝑛=𝑛0a) Sự hội tụ đềuNguyễn Tiến Được – K64 Định nghĩa∞∑ 𝑢𝑛 (𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 đế𝑛 𝑆(𝑥) 𝑡𝑟ê𝑛 𝑡ậ𝑝 𝑋 ↔ ∀𝜀 > 0 𝑏é 𝑡ù𝑦 ý𝑛=𝑛0∃ 𝑛0 (𝜀) ∈ 𝑁: ∀𝑛 > 𝑛0 (𝜀), 𝑡𝑎 𝑐ó |𝑆𝑛 (𝑥) − 𝑆(𝑥)| < 𝜀, ∀ 𝑥 ∈ 𝑋Một vài tiêu chuẩn xét sự hội tụ đềuTC Cauchy∀𝜀 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼∃𝑛0 : |𝑆𝑛+𝑝 (𝑥) − 𝑆𝑛 (𝑥)| < 𝜀, ∀𝑛 > 𝑛0 , ∀𝑝 ∈ 𝑁∞→ ∑ 𝑢𝑛 (𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 𝐼𝑛=𝑛0TC Weierstrass (Thường sử dụng)|𝑢𝑛 (𝑥) ≤ 𝑎𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝑁, ∀𝑥 ∈ 𝐼Nếu {∑∞𝑛=𝑛0 𝑎𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ∞→ ∑ 𝑢𝑛 (𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 𝐼𝑛=𝑛0Note: Bài tốn tìm miền hội tụ, sử dụng đến tính chất của sự hội tụ đều thường ápdụng cho dạng đặc biệt của chuỗi hàm đó là chuỗi lũy thừa nên mình khơng nói sâu vềchuỗi hàm nữa mà nói vào chuỗi lũy thừa lnb) Chuỗi lũy thừa∞𝐶ó 𝑑ạ𝑛𝑔 ∑ 𝑢𝑛 . 𝑥 𝑛𝑛=𝑛0+) 𝐵á𝑛 𝑘í𝑛ℎ ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑅 𝑐ủ𝑎 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎:𝑢𝑛1𝑅 = lim || ℎ𝑜ặ𝑐 𝑅 = lim𝑛→∞ 𝑢𝑛+1𝑛→∞ √𝑢𝑛Khi đó chuỗi lũy thừa hội tụ ∀𝑥 ∈ (−𝑅; 𝑅)Xét tại các điểm x=R và x=-R => Miền hội tụ+) 𝐿ú𝑐 𝑛à𝑦 𝑡𝑎 𝑠ử 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑣à𝑡í𝑛ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑚ộ𝑡 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑎 𝑐ó:𝑏∞∞𝑏𝑛∫ ( ∑ 𝑢𝑛 . 𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∑ (∫ 𝑢𝑛 . 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 )𝑎𝑛=𝑛0𝑛=𝑛0𝑎hoặc∞∞𝑛=𝑛0𝑛=𝑛0𝑑𝑑(𝑢𝑛 . 𝑥 𝑛 )( ∑ 𝑢𝑛 . 𝑥 𝑛 ) = ∑𝑑𝑥𝑑𝑥Nguyễn Tiến Được – K64 Đây chính là tính chất sử dụng cho dạng bài tính tổng và khai triển Taylor hayMaclaurin. Các bài về dạng này thì vơ số kể, có thể làm trong đề cương trênSami là đủ rồi còn muốn MacBook hay HBTN thì mình chịu nhé =))Bảng khai triển Maclaurin thường gặp∞𝑥 𝑥2 𝑥3𝑥𝑛𝑥𝑒 =1+ + + +⋯= ∑1! 2! 3!𝑛!𝑥∈𝑅𝑛=0∞𝑥2 𝑥4𝑥 2𝑛𝑛(−1)cos 𝑥 = 1 − + − ⋯ = ∑2! 4!2𝑛!𝑥∈𝑅𝑛=0∞𝑥3 𝑥5𝑥 2𝑛−1𝑛−1sin 𝑥 = 𝑥 − + − ⋯ = ∑ (−1)(2𝑛 − 1)!3! 5!𝑥∈𝑅𝑛=1∞1= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ = ∑ 𝑥𝑛1−𝑥|𝑥| < 1𝑥2 𝑥3𝑥 𝑛+1ln(1 + 𝑥) = −𝑥 − − − ⋯ = ∑ −23𝑛+1|𝑥| < 1𝑛=0∞𝑛=0∞𝑥3 𝑥5𝑥 2𝑛+1𝑛arctan 𝑥 = 𝑥 − + + ⋯ = ∑ (−1)352𝑛 + 1|𝑥| ≤ 1𝑛=0∞(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + ∑𝑛=1𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛 + 1) 𝑛𝑥𝑛!3. Chuỗi FourierTổng quát∞𝑎0𝑓(𝑥) =+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑥) ∀𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ∈ 𝑅2𝑛=1Một số bổ đề ∀𝑝, 𝑘 ∈ 𝑍𝜋1) ∫ sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 0−𝜋𝜋2) ∫ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 0, 𝑘 ≠ 0−𝜋𝜋3) ∫ cos 𝑘𝑥. sin 𝑝𝑥 𝑑𝑥 = 0−𝜋Nguyễn Tiến Được – K64|𝑥| < 1 𝜋0 ,𝑘 ≠ 𝑝4) ∫ cos 𝑘𝑥. cos 𝑝𝑥 = {𝜋, 𝑘 = 𝑝 ≠ 0−𝜋𝜋0, 𝑘 ≠ 𝑝5) ∫ sin 𝑘𝑥. sin 𝑝𝑥 = {𝜋, 𝑘 = 𝑝 ≠ 0−𝜋Các trường hợp đặc biệtHàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2π (Thường gặp)∞𝑎0𝑓(𝑥) =+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑥)2𝜋𝑛=11∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝜋 −𝜋1 𝜋𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …𝜋 −𝜋1 𝜋𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …𝜋 −𝜋(*) Định lý Dirichlet:Cho f (x) tuần hoàn với chu kì 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên  ;   chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn  ;  và có S(x)  f (x),tại điểm liên tục của f (x).𝑎0 =Còn tại điểm gián đoạn x  c có 𝑆(𝑐) =𝑓(𝑐+0)+𝑓(𝑐−0)2(*) Đẳng thức Parseval:Nếu f(x) thỏa mãn định lý Dirichlet thì thỏa mãn đẳng thức sau:∞1 𝜋 2𝑎02∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =+ ∑ (𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2 )𝜋 −𝜋2𝑛=1Hàm số f(x) tuần hồn với chu kì 2l bất kì∞𝑎0𝑛𝜋𝑥𝑛𝜋𝑥𝑓(𝑥) =+ ∑ (𝑎𝑛 cos+ 𝑏𝑛 sin)2𝑙𝑙𝑙𝑛=11𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑙 =𝑙1 𝑙𝑛𝜋𝑥𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) cos𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …𝑙 −𝑙𝑙1 𝑙𝑛𝜋𝑥𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) sin𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …𝑙 −𝑙𝑙Hàm số f(x) là hàm chẵn→ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 , 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻNguyễn Tiến Được – K64 2 𝜋→ 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑏𝑛 = 0 ∀𝑛 ∈ 𝑁𝜋 0Hàm số f(x) là hàm lẻ→ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ, 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛2 𝜋→ 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑎𝑛 = 0 ∀𝑛 ∈ 𝑁𝜋 0II. Phương trình vi phân cấp một𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥; 𝑦)1. Phương trình vi phân khuyết𝐹(𝑥, 𝑦 ′ ) = 0+) 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+) 𝑥 = 𝑓(𝑦 ′ ), đặ𝑡 𝑦 ′ = 𝑡 → 𝑥 = 𝑓(𝑡); 𝑦 = ∫ 𝑡𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡𝐹(𝑦, 𝑦 ′ ) = 0𝑑𝑦𝑑𝑦1+) 𝑦 ′ = 𝑓(𝑦) →= 𝑓(𝑦) → 𝑑𝑥 =→𝑥= ∫𝑑𝑦𝑑𝑥𝑓(𝑦)𝑓(𝑦)𝑓 ′ (𝑡)+) 𝑦 = 𝑓(𝑦 ′ ), đặ𝑡 𝑦 ′ = 𝑡 → 𝑦 = 𝑓(𝑡); 𝑥 = ∫𝑑𝑡𝑡𝑓 ′ (𝑡)′)′+) 𝐹(𝑦, 𝑦 = 0, đặ𝑡 𝑦 = 𝑓(𝑡) → 𝑦 = 𝑔(𝑡) → 𝑥 = ∫𝑑𝑡𝑔(𝑡)2. Phương trình vi phân phân li biến số𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥→ 𝐹(𝑦) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥3. Phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất)𝑦𝑦′ = 𝐹 ( )𝑥𝑦→ 𝑦′ = 𝑣 + 𝑥𝑣′𝑥+) 𝐾ℎ𝑖 đó 𝑝𝑡𝑣𝑝 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑝𝑡𝑣𝑝 𝑝ℎâ𝑛 𝑙𝑖+) Đặ𝑡 𝑣 =4. Phương trình vi phân tuyến tính𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 ′ + 𝑝(𝑦)𝑥 = 𝑞(𝑦)Nghiệm tổng quát:𝑦 = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 . [∫(𝑞(𝑥). 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 )𝑑𝑥 + 𝐶 ]5. Phương trình Bernoulli𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦 𝛼 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 ′ + 𝑝(𝑦)𝑥 = 𝑞(𝑦)𝑥 𝛼+) 𝑁ế𝑢 𝛼 = 1 → 𝑦′ + 𝑦[𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)] = 0 → 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡Nguyễn Tiến Được – K64 +) 𝑁ế𝑢 𝛼 ≠ 1 → 𝑦 −𝛼 . 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦1−𝛼 = 𝑞(𝑥)Đặ𝑡 𝑧 = 𝑦1−𝛼′→ 𝑧 = (1 − 𝛼)𝑦−𝛼′.𝑦 → 𝑦−𝛼𝑧′.𝑦 =1−𝛼′𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑃𝑇 𝑡𝑎 đượ𝑐:1𝑧 ′ + 𝑝(𝑥)𝑧 = 𝑞(𝑥) → 𝑧 ′ + (1 − 𝛼)𝑝(𝑥)𝑧 = (1 − 𝛼)𝑞(𝑥)1−𝛼→ 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ6. PTVP toàn phần𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 𝑄𝑥′ = 𝑃𝑦′𝑁𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑙à:𝑥𝑦∫ 𝑃(𝑥, 𝑦0 )𝑑𝑥 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶𝑥0𝑦𝑦0𝑥ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑄(𝑥0 , 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝑥0 , 𝑦0 𝑡ù𝑦 𝑐ℎọ𝑛𝑦0𝑥0(*)Nhân tử tích phân: PT 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 khơng phải là PTVP tồnphần nếu tồn tại hàm số h(x,y) sao cho:ℎ(𝑥, 𝑦)[𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦] = 0 𝑙à 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎầ𝑛[ℎ(𝑥, 𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦)]′𝑦 = [ℎ(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥, 𝑦)]′𝑥 → ℎ(𝑥, 𝑦) 𝑔ọ𝑖 𝑙à 𝑛ℎâ𝑛 𝑡ử(*)Cách tìm nhân tử h(x,y)𝑃𝑦′ − 𝑄𝑥′𝑇𝐻1: 𝑁ế𝑢= 𝐼 𝑐ℎỉ 𝑝ℎụ 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑣à𝑜 𝑥 𝑡ℎì ℎ(𝑥) = 𝑒 − ∫ 𝐼𝑑𝑥𝑄′𝑃𝑦 − 𝑄𝑥′𝑇𝐻2: 𝑁ế𝑢= 𝐼 ′ 𝑐ℎỉ 𝑝ℎụ 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑣à𝑜 𝑦 𝑡ℎì ℎ(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝐼′𝑑𝑦𝑃CHÚC MỌI NGƯỜI THI TỐT, FULL A+