Tổng Hợp Các Công Thức Tính đạo Hàm Chi Tiết - Toán Lớp 11

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết lớp 11 (hay, chi tiết)

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Tổng hợp các công thức tính đạo hàm lớp 11 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Tổng hợp các công thức tính đạo hàm.

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết

Quảng cáo

I. Định nghĩa đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

* Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b).Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) :

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f' (x0 ). Vậy

* Chú ý:

Đại lượng ∆x= x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f( x0)= f( x0+ ∆x)- f( x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính hàm định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên. Đạo hàm trên khoảng; trên đoạn.

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f' (x0+ )=f'(x0-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0)

trong đó y0= f( x0) .

Quảng cáo

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

a. Vận tốc tức thời.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0:

v(t0) = s’(t0)

b. Cường độ tức thời.

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0:

I(t0)= Q’(t0) .

II. Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

a. Định lí 1: Hàm số y= xn (n ∈ N; n > 1) có đạo hàm tại mọi x∈R và :

(xn )'=nx(n-1)

Nhận xét :

Đạo hàm của hàm hằng bằng 0 : (c)'=0 .

Đạo hàm của hàm số y=x bằng 1 : (x)'=1.

b. Định lí 2. Hàm số y= √x có đạo hàm tại mọi x dương và :

(√x)'= 1/(2√x)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

a. Định lí : Giả sử u= u(x) ; v= v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có :

(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'

(u.v)'=u'.v+u.v'

(u/v)'= (u'.v-u.v')/v2 ( v=v(x)≠0 )

(u1±u2±⋯±un) '= u1'±u2'±⋯±un'

b.Hệ quả.

Nếu k là một hằng số thì : ( ku)'=k.u'

(1/v)'= (- v')/v2 ( v=v(x)≠0)

3. Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí : Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm tại x là u'xvà hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm tại x là :

y'x= y'u.u'x

Bảng tóm tắt

( u+v-w)'=u'+v'-w'

(ku)^'=k.u' ( k là hằng số)

(uv)'=u^'.v+uv'

( u/v)'= (u' v-uv')/v2

(1/v)'=(-v')/v2

y'x= y'u.u'x

III. Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn lượng giác

2. Đạo hàm của hàm số y= sinx

* Định lí : Hàm số y= sinx có đạo hàm tại mọi x∈R và (sinx)'=cosx

* Chú ý : Nếu y= sinx và u= u(x) thì : ( sinu)'=u'.cosu

3. Đạo hàm của hàm số y= cosx

* Định lí : Hàm số y= cosx có đạo hàm tại mọi x∈R và ( cosx)'= -sinx

* Chú ý : Nếu y= cosu và u= u(x) thì : (cosu)'= -u'.sinu

4. Đaọ hàm của hàm số y= tan x

* Định lí : Hàm số y= tanx có đạo hàm tại mọi x≠π/2+kπ;k∈Z và (tanx)'= 1/(cos2 x)

* Chú ý : Nếu y= tan u và u= u( x) thì ta có : ( tanu)'= u'/(cos2 u)

5. Đạo hàm của hàm số y= cotx

*Định lí : hàm số y= cotx có đạo hàm với mọi x≠kπ;k∈Z và (cot⁡x )'= (- 1)/(sin2 x)

*Chú ý : Nếu y= cotu và u= u(x) ta có : (cotu)'= (- u')/(sin2 u)

Quảng cáo

Bảng đạo hàm

IV. Vi phân

1. Định nghĩa

Tích f' (x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y= f(x) tại điểm x (ứng với số gia ) được kí hiệu là : d f(x) hoặc dy tức là :

dy= df(x)= f' (x).∆x

*Chú ý

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y=x ta có :

dx=d( x)=(x).∆x=1.∆x= ∆x

Do đó với hàm số y= f(x) ta có : dy=df(x)=f' (x).dx

2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng.

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a ;b) và có đạo hàm tại x thuộc (a;b). Giả sử ∆ x là số gia của x. Ta có :

f(x0+ ∆x)≈f(x0 )+f' (x0 ).∆x

V. Đạo hàm cấp cao của hàm số

1. Định nghĩa

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: .

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc Y, n lón hơn hoặc bằng 2 ) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f(n), tức là: f((n) ) (x)=(f((n-1) ) (x))'

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s= s( t) ; trong đó s= s(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai.

Đạo hàm cấp hai s''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s= s(t) tại thời điểm t.

Quảng cáo

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều