Tổng Hợp: Chuyên đề Các Bài Toán Về UCLN Và BCNN - Tài Liệu Text

Có thể bạn quan tâm

Tổng hợp: Chuyên đề các bài toán về UCLN và BCNN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1016.25 KB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com1

CHUYÊN ĐỀ: ƢCLN, BCNN

BÀI 1: CÁC TÍNH CHẤT VÀ BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ ƢCLN VÀ BCNN









A.CÁC KÝ HIỆU

1.Ước và Bội của một số nguyên

Với

a, b



Z và b  0. Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b. Ta cịn nói a là bội của b và b là ước của a.

2.Nhận xét

-Nếu a = b.q thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b  q.

-Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 khơng phải là ước của bất kì số ngun nào. -Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.

3.Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.

Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số (a – k) ⋮ b 4.Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC (a, b, c). 5.Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC (a, b, c). 6.Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất

-Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

-Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó.

B.CÁC TÍNH CHẤT- (

a

,1)



1;



a

,1





a

-Nếu

a b



(

a

,

b

)



b

;



a

,

b





a

-Nếu a, b nguyên tố cùng nhau



(

a

,

b

)



1;



a

,

b





a

.

b

UC

(

a

,

b

)



U

(

ucln

(

a

,

b

));

BC

(

a

,

b

)



B

(

bcnn

(

a

,

b

))

- Nếu (

a

,

b

)



d

;



a



dm



(

m

,

n

)



1;

vd

: (10,15)



5;



10 

2.5 

(2,3)



1 

b



dn



15 

3.5

- Nếu



a

,

b





c

;



c



am



(

m

,

n

)



1;

vd

:



10,15





30;



30 

10.3 

(2,3)



1 

c



bn

ab



(

a

,

b

).



a

,

b



B. BÀI TẬP

</div>(2)<div class='page_container' data-page=2>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com2

Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai. Hãy chứng minh a.Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau

b.

2 n



5;3

n



7

nguyên tố cùng nhau với

n



N













b







5 n



1 d



11(

thoa

.

man

)

Bài 2: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng = 162 và ƯCLN của chúng bằng 18

Bài 3: Cho

a



4 n



3;

b



5 n



1(

n



N

), biết rằng a, b không nguyên tố cùng nhau.

Tìm ƯCLN (a,b)

Lời giải

a. Gọi hai số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 2n + 1 và 2n + 3 (

n



N

)

Đặt

d



(2

n



1;2

n



3)





2

2 n

n





3

1 d

d



(2

n



3)



(2

n



1)



2 d





d



1 d



2 



Vì 2n + 1 và 2n + 3 là các số lẻ nên d là số lẻ



d



1

b. Đặt

d



(2

n



5;3

n



7)





2 n



5 d



n



2 d





2 n



4 d



1 d



d



1 

dpcm



3 n



7 d



2 n



5 d

Lời giải

Gọi hai số ần tìm là a và b. Giả sử

a



b

Ta có:

a



b



162;(

a

,

b

)



18

Đặt



a



18 m





(

m

,

n

)



1 

b



18 n



m



n

Từ

a



b



162 

18(

m



n

)



162 

m



n



9

Lập bảng:

m 1 2 3 4

n 8 7 6 5

a 18 36 loai 72

b 144 126 90

Do ( m, n ) = 1

Kết luận: Các số cần tìm là: (18,144);(36,126);(72,90)

Đặt (

a

,

b

)



d



d



1

Lời giải

a



4 n



3 d





5(4

n



3)



4(5

n



1)

d



11 d





d



1(

loai

)







</div>(3)<div class='page_container' data-page=3>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com3

Bài 4: Cho hai số tự nhiên lớn hơn 100, biết ƯCLN của hai số đó là 45 và số lớn là 270. Hãy tìm số nhỏ?









Bài 5: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15

Bài 6: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6

Bài 7: Cho (

a

,

b

)



1;

a



b

.

CMR

:

a



b

;

a



100;(

a

,

b

)



45;

b



270

Lời giải

Đặt

a

b



45 45.6

m









m



(



m

6

,6)



1 



m





m

5(



tm

1(

)

loai

)



a



5.45 

225 





Lời giảiGọi hai số cần tìm là a, b (

a

,

b



N

;

a

,

b



200)

Ta có:

a



b



90;(

a

,

b

)



15

Đặt

a



15 m











(

m

,

n

)



1 





(

m

,

n

)



1 



15(

m



n

)



90 m



n



6

Lại có:

a

,

b



200 



15 m



200 



m



13 

15 n



200 

n



13

m n a b

13 7 195 105

11 5 65 75

7 1 85 15

Vậy: (

a

,

b

)



(195,105);(65,75);(85,15)

Lời giải

ab



432;(

a

,

b

)



6(

a



b

)



mn



12

Đặt

a



6 m

;

b



6 n





(

m

,

n

)



1 

m



n

m n a b

1 12 6 72

3 4 18 24

Vậy (

a

,

b

)



(6,72);(18,24)

</div>(4)<div class='page_container' data-page=4>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com4

Lời giải

a. (

a

,

a



b

)



1

b. (

b

,

a



b

)



1

c. (

ab

,

a



b

)



1 (

a

,

a



b

)



1 

a



b d







c



0



Bài 8: Biết rằng

abc

là bội chung của

ab

;

ac

;

bc

.

CMR

:

abc

là bội của

bc

abc

là bội của 11

a. Đặt

(

a

,

a



b

)



d

(

d



N

)





a d





b d



d



UC

(

a

,

b

)



d



U

(

UC

(

a

,

b

))



1 d



d



1 (

ab

,

a



b

)



d





Giả sử

d



1.

Gọi p là số ước nguyên tố của d ( 1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn tại ít nhất một ước nguyên tố )



d

Ta có:

ab

Vậy

d



1 

(

ab

;

a



b

)



1 

a

b d





a

b p



a





p



a p



b p

d.



a



b d



a



b p



b p



a p





a



b p

abc

:

ab



10 ab



c ab



c ab



c



0

( do c có một chữ số,

ab

có hai chữ số ) -



abc ac



(100

a



10 b

)



Đặt

b



ak

(

k



N

)

Lời giải

abc ba



c  0;b ak 100a 10b (10b a)  99a 10b a  99a 10ak a  99 10k 1 10k 1 11 k 1 a b; c  0 Vì

b. abc aa0  110a 11 dpcm



ab d



a



b d



p







ab p

a



b p



p







a b



b p



p



UC

(

a

,

b

)



p



U

(

ucln

(

a

,

b

))



1 p



p



1(

vo

.

ly

)

b p



a p



10 a



b a

</div>(5)<div class='page_container' data-page=5>

Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌCWebsite:tailieumontoan.com5

Lời giải

Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)  300;UCLN(a,b) 15

 

Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a và b, biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng bằng 210

Bài 11: Biết rằng



a,b



.(a,b) ab



a,b



 600;(a,b) nhỏ hơn 10 lần (a ,b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai b.(a, b) = 12, [ a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai

c.Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó Ta có: ab  300.15  4500(1)

Giả sử a b;UCLN(a,b)  15

a  15m (m, n)  1 mn  20

Đặt

b  15n m n ;(1)  15m.15n  4500 m nTa có bảng:

  



m n a b

1 20 15 300

4 5 60 75



Đặt (a,b) d; gia.su.a  b

a dm (m, n)  1

Đặt

b dn m n

Lời giải

2 ab d

mn

Ta có: ab dm.dn d mn;



a,b



  dmn

(a,b) d

Theo đầu bài



a,b



 210 dmn  210; d  ab 2940  14 mn 210  15

Ta có bảng:



a,b



210 14

m n a b

1 15 14 210

3 5 42 70

</div>(6)<div class='page_container' data-page=6>

Website:tailieumontoan.com

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

a. Ta có: (a,b)  600 :10  60;(a,b).



a,b



ab  60.60  120.b b  300

b. Số thứ hai là 36





  

Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và ƯCLN(a, b) = 16. c. Gọi hai số phải tìm là: a và b

(m, n)  1 (a,b) d, đặt a dm;b dn 



ab d 2 .m.n

; a,b dmn

m, n N *

Có: d  dmn  4 d(mn 1)  4(1)

Vì tổng của hai bằng 60 nên d(m n)  60(2)

(a,b) d

Từ (1)(2) 1, 2,3, 4,6,12 d d  12(thoa.man) m  2;n  3 a  24;b  36

Hoặc m  3;n  2 a  36;b  24 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ

Lời giảiGiả sử a ≤ b.

Ta có ƯCLN(a, b) = 16

=> a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1 ; m ≤ n.

Ta có: a + b = 128 => 16(m + n) = 128 => m + n = 8 Vì ƯCLN(m, n) = 1 nên:

Trường hợp 1có: m = 1, n = 7 => a = 16, b = 112 Trường hợp 2 có: m = 3, n = 5 => a = 48, b = 80

Lời giảiGiả sử a ≤ b.

Do ƯCLN (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN (m, n) = 1 ; m ≤ n.

Ta có ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = 6 Vì ƯCLN (m, n) = 1 nên:

Trường hợp 1 có: m = 1, n = 6 => a = 6, b = 36 Trường hợp 2 có: m = 2, n = 3 => a = 12, b = 18.

Lời giải

ƯCLN(a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1.

a m m 13

Ta có:   2, 6   , mà ƯCLN(m, n) = 1

b n n 5

b a

</div>(7)<div class='page_container' data-page=7>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com7

=> m = 13 và n = 5 => a = 65 và b = 25.

Bài 4: Tìm a, b biết a + b = 42 và BCNN (a, b) = 72.

Bài 5: Tìm a, b biết a - b = 7, BCNN (a, b) = 140.

Bài 7: Tìm a, b biết a/b = 4/5 và BCNN (a, b) = 140. Lời giải

Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n. Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)

BCNN (a, b) = mnd = 72 (2)

=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n

=> Chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 (thỏa mãn các điều kiện của m, n).

Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24

Lời giải

Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1.

Do đó : a - b = d(m - n) = 7 (1’) BCNN (a, b) = mnd = 140 (2’)

=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}.

Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất : d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 (thỏa mãn điều kiện ƯCLN(m, n) = 1) Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .

Lời giải Ta có ƯCLN(a, b) = ab/BCNN (a, b) = 180/60 = 3. Tìm được (a, b) = 3

Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.

Lời giải

Đặt ƯCLN(a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác ƯCLN(4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. Lưu ý BCNN(a, b) = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.

Lời giảiGiả sử a ≤ b.

</div>(8)<div class='page_container' data-page=8>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com8

Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1 ; m ≤ n.

Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = 6

Bài 10: Tìm hai số a,b biết bội chung nhỏ nhất của a; b là 420, ƯCLN(a;b) = 21 và a + 21 = b Vì ƯCLN(m, n) = 1 nên:

Trường hợp 1 có m = 1, n = 6 => a = 6, b = 36 Trường hợp 2 có m = 2, n = 3 => a = 12, b = 18.

Lời giải

+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1)

và ƯCLN(m, n) = 1 (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :



BCNN



15m; 15n





300 

15.20 

BCNN



m; n





20 (3)

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :



15m



15 

15n



15. 

m



1 



15n



m



1 

n

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).

Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75

Lời giải

+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m; b = 21n (1)

và ƯCLN(m, n) = 1 (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:



BCNN



21m; 21n





420 

21.20 

BCNN



m; n





20 (3)

+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:



21m



21 

21n



21. 

m



1 



21n



m



1 

n

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105

</div>(9)<div class='page_container' data-page=9>

Website:tailieumontoan.com

Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC

Bài 11: Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 440.

 2n

b. (3n  3;4n  9)  1 Bài 1: Cho n N*.CMR :

a. (n  3;2n  5)  1

Bài 2: Cho a, b là số tự nhiên lẻ, b N.CMR : (a, ab 128) 1 Lời giải

Gọi hai số phải tìm là a và b ( a, b N* , a > b)

Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k và b = 28q . Trong đó k, qN*và k, q nguyên tố cùng

nhau.

Ta có : a - b = 84 k - q = 3

Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 10 < q < k <16.

Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15. Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau => q = 11và k = 14.

Ta có : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392 Vậy hai số phải tìm là 308 và 392.

BÀI 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAUA. Bài toán và phƣơng pháp giải

Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ( a, b) = 1 Phƣơng pháp giải: Giả sử d = ( a, b)

-Cách 1: Chỉ ra d = 1 -Cách 2:

+) Giả sử d  1(d  2) ( phương pháp phản chứng ) +) Gọi p là ước nguyên tố của d

+) Chỉ ra rằng p = 1 ( vô lý) +) Kết luận: d = 1

B. Bài tập

Lời giải

* n  3 d 2n  6 d

a. Gọi (n  3;2n  5) d(d N ) 

2n  5 d   5 d  d 1

4(3n  7)

b. (3n  3; 4n  9) d 

3(4n  9)

Lời giảid

</div>(10)<div class='page_container' data-page=10>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com10

d  (a, ab 128) d lẻ a d

ab 128 d

  128 d 

27 d 2 d



d : le

 d : le d  1

Bài 5: Cho n N*

. Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4

Bài 6: Tìm ƯC LN ( 1 + 2 + 3 + <.+ n, 2n + 1) với n N, n  2 Lời giải

+) Theo đầu bài ta có: 17n2 1 6 17n2 1 2 17n2 1 chẵn n lẻ n / 2  (n, 2)  1

+) Vì 17n21 6 17n2 1 3 n ( nếu n

/ 3  (n,3)  1

13a  4b

Gọi d  (13a  4b,15a  7b) 

15a  7b

Lời giải

-Nếu (d,31)  1 d 31 ( vì 31 có hai ước là 1 và chính nó, mà

(1, d)  1  d 31)  31UC(13a  4b;15a  7b)

- Nếu (d,31) 1  (3) a

d UC(a,b)  1 d  1

Lời giảiGọi

d  (2n 1,9n  4)(d N *) 2n 1 d (1)  2(9n 4) 9(2 n 1) d 17

d d 1

 



-Nếu

9n  4 d (2) d 17

d  17  (9n  4)  4(2n 1) n  8 17 n 17  9k(k N)  9n  4  9(17k  9)  4  9.17k 85 17 2n 1  2(17k  9) 1  2.17k 17 17

Vậy nếu n có dạng 17k + 9 ( k N ) thì ƯCLN ( 2n – 1, 9n + 4) = 17 Lời giải

n(n 1) n(n 1) n(n 1) d

( , 2n 1) d  2 

 2  2n 1 d

2n 1 d 

Bài 4: Cho hai số a, b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng 13a + 4b và 15a + 7b hoặc ngyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 31

Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 17n21 6(n N*) thì (n, 2)  1;(m,3) 1

3 17n2 3 17n21 3 loai n / 3)

d (1)

 91a  28b d 31a d(3)

d (2) 6 0a  28b d

</div>(11)<div class='page_container' data-page=11>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com11

Giả sử d > 1, p là ước nguyên tố của d

 n(n 1) d  n p  n 1 p  (n 1) n  1 p 1 p(vo.ly) d  1

n 1 p n p

 

k 19

k 19  k  19q 19a dk d.19.q a dq a d  2b d b d d UC(a, b) 1 d 1

5b d

Bài 8:

a) Chứng minh rằng: (a,b)  1 và a, b khác tính chẵn lẻ thì (ambn, ambn)  1m, n N*và am bn  0

b. (20172015 20162014, 20172015  20162014 )  1

Bài 1: Chứng minh rằng 2 số n + 1 và 3n + 4 (n N) là hai số nguyên tố cùng nhau





Lời giải

d  (11a  2b,18a  5b) ta chứng minh d  1

d  19  5(11a  2b)  2(18a  5b)  19a

Đặt 19a dk(k N *) d.k 19 d 19 dpcm





-Nếu

am bn

a) d  (am bn , am bn ) 

am bn

Lời giải

. Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ

am

bn

Giả sử d > 1  d có ít nhất một ước số là số ngun tố, giả sử ước nguyên tố đó là p

am p

n

b p

a p



b p  p UC(a,b); ma : (a,b)  1 1 p p  1 vo.ly

Vậy d  1 d  1  dpcm

b. a  2017;b  2016;m  2015;n  2014 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ

Lời giải

Bài 7: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b. Chứng tỏ rằng 11a + 2b và 18a + 5b hoặc là số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19

d

d 2am d d 2bn d

 

d d

</div>(12)<div class='page_container' data-page=12>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com12

Gọi d = ƯCLN (n + 1; 3n + 4) d N * , nên ta có:  n 1 d 3n  3 d 3n  4 d  3n  4 d 1 d



 2



21n  4



42n  8 d

 

Bài 2: Chứng minh rằng 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 4: Tìm UC của 2n + 1 và 3n + 1 với n N

Bài 5: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4

Vậy hai số: n + 1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với (n N)

Lời giảiGọi d = ƯCLN (2n + 1; 2n + 3) d N*

2n 1 d

Khi đó ta có: 

2n  3 d 



2n  3







2n 1



d  2 d d U









1; 2





Mà ta lại có 2n + 1 d mà 2n + 1 là số lẻ nên d = 2 (loại), do đó d = 1 Vậy hai số 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giảiGọi d = ƯCLN (14n + 3; 21n + 4) d N*

14n  3 d

Khi đó ta có: 

21n  4 d

 3



14n  3





d

 42n  9 d

d  =>



42n  9







42n  8





Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi d = ƯCLN( 2n + 1, 3n+1) d N*Khi đó ta có :

Lời giải

2n 1 d  3



2n 1



d  6n  3 d 



6n  4







6n  3



d  1 d  d U









1; 1



  

3n  2 d 2



3n  2



d 6n  4 d

Do đó ƯC( 2n + 1; 3n + 1) là ước của d, hay là ước của 1 Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy ƯC ( 2n + 1; 3n + 1) = U (1) = { 1; -1)

Lời giải

Gọi ƯCLN( 9n + 24; 3n + 4) = d d N*

Khi đó ta có: 9n  24 d 9n  24 d 



9n  24







9n 12



d  12

3n  4 d 9n 12 d

=> d U









1;2;3;4;6;12



Do 3n + 4 d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d = 3, 6, 13 (loại)

Bài 3: Chứng minh rằng 14n + 3 và 21n + 4 (n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau

d  1 d

</div>(13)<div class='page_container' data-page=13>

Website:tailieumontoan.com

Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC

Do đó d = 1; 2; 4

Để d = 2 thì n phải chẵn

 

7



5n  7



d 

  

b) 2n + 3 và 4n + 8 a) 7n + 10 và 5n + 7

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số sau ngyên tố cùng nhau

Bài 7: Cho 2 số 3n + 1 và 5n + 4 là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm UCLN (3n + 1; 5n + 4)

Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4 Để d = 1 thì là số lẻ,

Vậy với n = 4k + 2 ( k N ) thì ƯCLN (9n + 24; 3n + 4) = 2 Với n = 4k ( k N ) thì ƯCLN (9n + 24; 3n + 4) = 4

Với n = 2k + 1 với (k N ) thì ƯCLN (9n + 24; 3n + 4) = 1

Lời giải

a)Gọi d = ƯCLN (7n + 10; 5n + 7) d N*

7n 10 d

Khi dó ta có:

5n  7 d 

5



7n 10



d

 

35n  50 d

35n  49 d 



35n  50







35n  49





Do đó d = 1

Vậy hai số 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau b)Gọi d=UCLN(2n+3 ; 4n+8) d N*

Khi đó ta có: 2n  3 d 2



2n  3



d 4n  6 d 



4n  8







4n  6



d  2 d d 



1; 2





4n  8 d 4n  8 d 4n  8 d Vì 2n + 3 d, mà 2n + 3 là 1 số lẻ nên d = 2 (loại)

Khi đó d = 1, Vậy hai số 2n + 3 và 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải

Gọi ƯCLN (3n + 1; 5n + 4) = d => 7 d => d = 7 hoặc d = 1 Mà d # 1 nên d = 7

Lời giải

Gọi x là số chia, a là thương, ta có: 145 = a.x + 12 (x > 12) => 145 - 12 = 133 = a.x => x là Ư(133)

Lại có 133 = 7. 19 => x



U(133) =



1;7;19;133



mà x > 12 => x = 19 hoặc 133 -Nếu

-Nếu

x  19 thuong.  7

x 133 thuong. 1(loai)

Bài 8: Tìm số chia và thương của 1 phép chia, có số bị chia là 145, số dư là 12 biết rằng thương khác 1

</div>(14)<div class='page_container' data-page=14>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com14

Lời giải

Gọi d = ƯCLN (11a + 2b; 18a + 5b) nên 11a  2b d 18(11a  2b) d

18a  5b d  11(18a  5b) d 19b d

Bài 9: Cho ƯCLN(a, b) = 1, tìm ƯCLN (11a + 2b; 18a + 5b)

d  19



  





Bài 11: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. CMR: m và m.n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Và 5(11a  2b)  2(18a  5b) d 19a d 

d  1





Lời giải

a) Gọi d = ƯCLN (21n + 5; 14n + 3) d N*

14n  3 d 3



14n  3



d

Khi đó ta có:  

42n  9 d



42n  9







42n  8





21n  4 d 2



21n  4



d 42n  8 d

Vậy ƯCLN (21n; 14n + 3) = 1

b) Gọi ƯCLN (18n + 2, 30n + 3) d N*

18n  2

Khi đó ta có:

30n  3

Vậy ƯCLN (18n + 2, 30n + 3) = 1

c) Gọi d = ƯCLN (24n + 7, 18n + 5) d N*

24n  7 d

Khi đó ta có:  3



24n  7



d 72n  21 d  1 d => d=1

18n  5 d 4



18n  5



d 72n  20 d

Vậy ƯCLN (21n, 14n + 3) = 1

Lời giải

Giả sử m và (m.n + 4) cùng chia hết cho số tự nhiên d, khi đó ta có:

m d



m.n  4 d mm..n n d  4 d  4 d d 



2; 4;1



, do m d và m lẻ => d = 2 hoặc d = 4 loại

 

Vậy d = 1

Khi đó m và m.n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 12: Cho (a,b) = 1. Chứng tỏ rằng (8a + 3) và (5b + 1) là nguyên tố cùng nhau Lời giải

Gọi ƯCLN( 8a + 3; 5b + 1) = d d N*

c) 24n + 7 và 18n + 5 b) 18n + 2 và 30n + 3

a) 21n + 5 và 14n + 3

Bài 10: Cho n là số tự nhiên, Tìm ƯCLN của

d  1 d

d  5



18n  2



d  90n 10 d  1 d

d 3



30n  3



d 90n  9 d

</div>(15)<div class='page_container' data-page=15>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com15

8a  3b d

 5(8a  3b) d  40a 15b d  7b d



5a  b d  8(5a  b) d 40a  8b d



và 



8a  3b d



8a  3b d

3



5a b



d 15a  3b d 



15a  3b







8a  3b



d  7a d



a b d

 

Bài 13: Biết (a, b) = 95. Tìm (a + b, a - b)

Bài 15: Tìm n để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Vì (a, b) =1 nên d = 1 hoặc d = 7

Lời giải

Gọi ƯCLN( a+ b, a - b) = d d N*

a b



a b d Ư(2) hoặc dƯ(b) và a b d  2a d dU (2) hoặc dƯ(a)



mà ƯCLN( a, b) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2 Vậy ƯCLN (a + b; a - b) = 2 hoặc 95

Lời giải

Gọi ƯCLN( 9n + 24; 3n + 4) = d, Khi đó ta có:

9n  24 d

9n  24 d 



9n  24







9n 12



d  12

3n  4 d 9n 12 d

=> d U









1;2;3;4;6;12



Do 3n + 4 d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d = 3, 6, 13 (loại) Do đó d = 1; 2; 4

Để d = 2 thì n phải chẵn

Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4 Để d = 1 thì n là số lẻ,

Vậy để 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì n lẻ

Lời giải

Gọi ƯCLN (18n + 3, 21n + 7) = d d N*

18n  3 d

Khi đó ta có:  7



18n  3



d 



126n  42







126n  21



21n  7 d 6



21n  7



d

d U









1; 3; 7; 21



Bài 14: Tìm n để 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (n



N) d

d

 2b d 

d

d  21 d

</div>(16)<div class='page_container' data-page=16>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com16

Do 21n + 7 d, mà 21n + 7 không chia hết cho 3, nên d = 1 hoặc d = 7 Để hai số 18n+3 và 21n+7 là hai số nguyen tố thì d khác 7 hay

18n+3  7 =>18n+3-21 7=>18n-18 7=>18( n-1) 7=>n-1 7=>n-1 7k=>n 7k+1

d

 4n  3 d 



4n  6



d 4n  6 d







  

Bài 16: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau



Vậy n 7k +1 với k là số tự nhiên thì 18n+3 và 21n+7 là hai số nguyên tố

a. 4n + 3 và 2n + 3 b. 7n + 13 và 2n + 4

c. 9n + 24 và 3n + 4 d. 18n + 3 và 21n + 7

Lời giải

a)Gọi ƯCLN( 4n + 3, 2n + 3) = d d N*

4n  3



2n  3 



4n  3



d  3 d  d 



1;3





Để 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyê tố cùng nhau thì d khác 3 hay

2n  3 3  2n  3  n  3  n  3k(k  N)

Vậy n  3k(k N) thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau b, Gọi ƯCLN( 4n + 3, 2n + 3) = d d N*

4n  3



2n  3 



4n  3



d  3 d  d 



1;3





Để 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyê tố cùng nhau thì d khác 3 hay

2n  3 3  2n  3  n  3  n  3k(k  N)

Vậy n  3k(k N) thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

9n  24 d

c, Gọi d UCLN 9n  24;3n  4 

3n  4 d 12 d d 



1; 2; 3; 4; 6; 12



Nếu d 



2; 4; 6; 12



 9n  24 chẵn và, 3n  4 chẵn => d 



2; 4; 6; 12



loại Nếu d 3  3n  4 3 Vô lý => d = 3(loại)

Nếu d = 1=> 9n  24,3n  4

Vậy n lẻ

là số lẻ => 9n + 24 lẻ=> n lẻ và 3n + 4 lẻ => n lẻ

Lời giải

Gọi d = UCLN( 11m + 5n, 9m + 4n) d N*

11m  5n d

Khi đó ta có :

9m  4n d 

9



11m  5n



d

11



9m  4n



d

 99m  45n d

99m  44n d  n d (1)

Bài 17: Cho m,n là hai số tự nhiên, Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n, B là tập hợp các ước số chung của 11m  5n và 9m  4n , CMR: A = B

d

 4n  3 d 



4n  6



</div>(17)<div class='page_container' data-page=17>

Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌCWebsite:tailieumontoan.com17

Tương tự ta có : 11m  5n d 9m  4n d

 4



11m  5n



d 5



9m  4n



d  

44m  20n d

45m  20n d

 m d (2)



d  2

Bài 18: Cho n là số tự nhiên, Tìm ƯCLN và BCNN của: n và n + 2

Bài 19: Cho 2 số 3n + 1 và 5n + 4 là hai số khơng ngun tố cùng nhau, tìm ƯCLN (3n + 1; 5n + 4)

Từ (1) và (2) ta có : dUC(m; n) d U (A)

và BU(d) = U(A), Vậy A = B

Lời giải

Gọi d = ƯCLN (n; n+2) => d N*



n d  2 d d  1



Để d = 2 thì n 2 => n chẵn, d = 1 thì n lẻ Ta có: ƯCLN (a; b). BCNN (a, b) = a.b TH1: Nếu d = 1 thì BCNN (n ;n+2) =n(n+2)

n



n  2



TH2: Nếu d = 2 thì BCNN( n; n+2) =

Lời giải

Gọi ƯCLN (3n + 1, 5n + 4) = d d N*

3n 1 d  5



3n 1



d

 15n  5 d 



15n 12







15n  5



d  7 d  d  1

   

5n  4 d 3



5n  4



d 15n 12 d d  7

Vì 3n + 1 và 5n + 4 là hai số không nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN của chúng là 7 Vậy ƯCLN( 3n + 1, 5n + 4) = 7

BÀI 3: CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM ƢCLN, BCNNA. Lý thuyết

n d



n  2 d

</div>(18)<div class='page_container' data-page=18>

Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌCWebsite:tailieumontoan.com18

1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Muốn tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số ta làm như sau



1287  2



3 .11.13

 2 4 2



Bài 2: Tìm ƯCLN, BCNN của các số sau a)

793016,308,3136

1323,19845,1287,315

Bài 3: Tìm ƯCLN của ( 58005, 2835) bằng thuật tốn Euclide

-Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng -Bước 2: Tìm các thừa số chung và riêng

-Bước 3: ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất BCNN là tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất 2. Thuật tốn EUCLIDE để tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của a và B ( giả sử a b)

-Bước 1: Chia a cho b có số dư là r -Bước 2:

+) Nếu r = o thì ( a, b) = b

+) Nếu

r



0

tat hay thế a bởi b, b bởi r và thực hiện phép chia trong bước 1:



a,b







ab

(a,b)

Lời giải

a  24  23.3;b  70  2.5.7;c  112  24.7;(a,b)  2;(a,b, c)  2;



a,b



 23.35.7  840;



a,b,c



 24.3.5.7  1680

UCLN(a,b,c)  2;UCLN(a,b)  2 UCLN(UCLC(a,b),c)  UCLN(2,112)  2

BCNN(a,b,c)  1680; BCNN(BCNC(a,b),c) BCNN(840,112) 1680

Lời giải

793016  23.73.172 

a. 308  22.7.11 3136  26.721323  33.72



UCLN  22.7  28; BCNN  26.73.11  172



19845  34.5.72 

b. UCLN  3  9; BCNN  3 .5.7 .11.13



315  32.5.7 

Lời giải

</div>(19)<div class='page_container' data-page=19>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com19

Có:

58005  20.2835 1305  (58005, 2835)  (2835,1305);2835  2.1305  225;1305  5.225 180

225 

1.180 

45;180



4.45 

UCLN



45

Bài 5: Biết số A gồm 2015 chữ số 2 và B gồm 8 chữ số 2. Hãy tìm ƯCLN ( A, B)

Bài 6: Số X gồm 2002 chữ số 9, Y gồm 9 chữ số 9. Tìm ƯCLN ( X, Y) Lời giải

a) 36 b) 115 c) 26

Lời giải

A  22...2 2015

Vì

Ta có: 2.2...2  2.2...20  2  (2.2...2, 2.2...2)  (2.2 ... 2, 2)  2  ( A, B)  2

8 7 8 7 7

Lời giải

Có: 2002  222.9  4; X 



 9999; X BS(Y )  9999(1) 4

Y  9999....9  9999....90  9  Y  BS(9999)  9(2);9999  BS(9)(3)

9 8 1

Từ (1)(2)(3) UCLN( X ,Y )  9

Bài 4: BÀI TỐN QUY VỀ TÌM ƢCLN, BCNNBài 4: Bằng thuật tốn Euclide, hãy tìm ƯCLN của các số sau

252, 4068

345,13225

286,10530

2.2...20....0  2.2...2 2008 7 7.chu.so.2

2.2...20....0 2.2...2  (A, B)  (2.2...2, 2.2 ... 2)

2008 7 8 8 7

</div>(20)<div class='page_container' data-page=20>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com20

Bài 1: Một trường tổ chức cho khoảng 700 và 800 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết rằng nếu xếp 40 người hoặc 50 người lên xe ô tô thì vừa đủ



373 



23  350 n



n U (25)

Bài 4: Một trường học có số lượng học sinh không quá 100o. Khi xếp hàng 20, 25, 30 thì đều dư 15. Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường?

Lời giải

Gọi số học sinh của trường là: n ( n N* ) Theo bài ta có:

700 

n



800

Vì n 45;n 40  n BC(40, 45) n B(BCNN(40, 45))

Ta có: 40  23.5;45  32.5

BCNN (40, 45)  23.32.5  360 n B(360)

700 n  800 n  700(hoc.sinh)

Lời giải

Theo đầu bài ta có:

239 14  225 n

 n UC(225,350)  n U (UCLN (225,350)); 225  32.52 ;350  2.52.7



UCLN(225,350)  25 n UC(25)

Vì 373 chia cho n dư 23 n  23





 n  25

Lời giải

Gọi số trứng trong rổ là n ( n N* )

Ta có: 150 n  200(1);(n 1) 10,12,15  (n 1) BC(10,12,15) n 1B(60)

Theo (1)



149 

n



1 

199 

n



1 

180 

n



181

Lời giải

Gọi số học sinh của trường là: n ( n N* ) Theo bài rat a có:

Lại có:

n



1000

n 15 20, 25,30;n 41;n 15BC(20, 25,30) B(BCNN(20, 25,30)  300 n 15B(300) Bài 3: Người ta đếm só trứng trog một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng 15 quả thì lần nào cũng dư 1 quả. Tính số trúng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn 150 và nhỏ hơn 200 quả

</div>(21)<div class='page_container' data-page=21>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com21

Mà

Mà n 15  1000 15  985 n 1



300, 600,900



n 



315, 615,915



n 41

n  615

Bài 6: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 5 dư 4, a chia cho 9 dư 7

Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1, chia cho 19 dư 11

của a, b. Chứng minh rằng: a b d 2

là số tự nhiên. Gọi d là ƯCLN b 1

a



a 1

b Bài 8: Cho a, b là các số tự nhiên khác 0 sao cho Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là: a (

a



N

)

Theo bài ta có: a  12k 1  18q 17  2.3.p  9(k, p, q N)

Ta tìm số b sao cho: a b

Nhận thấy:

a  37  12k  48 12;a  37  18q  54 18;a  37  23p  46 23  a  37 BC(12,18, 23)

Vì a nhỏ nhất

 a  37  BCNN(12,18, 23);12  22.3;18  2.32 ;23 23 BCNN (12,18, 23)  22.32.23  828



a



828 

37 

791

Lời giải

a  5m  4;a  9n  7;a 11  5m 15  9n 18 a 11BC(5,9) a 11  45 a  34

5 9

Lời giải

b  11n  6;b  4m 1;b  19k 11 b  27 11, 4,19 b  27 BCNN(11, 4,19)  836 b  809

Lời giải

d  (a,b), đặt

a 1 b 1 a2 b2 a b a2 b2 a b ab

a dm,b dn;   N  a2 b2 a b a2 d 2m2

b a ab

d 2 

ab d 2 .m.n d 2

b2 d 2n2  a b d

2 

a b d 2 dpcm d 2 

Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho 12, 18, 23 thì số dưu lần lượt là 11, 17, 9

12,18, 23

</div>(22)<div class='page_container' data-page=22>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com22

Bài 9: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?

Bài 10: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8

Bài 11: Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?

Bài 12: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28.





Lời giảiGọi số đó là a

Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4

a  9 mà ƯCLN(7,13) = 1 nên a  9

 a+9=91k  a = 91k - 9 = 91k - 91+ 82 = 91(k - 1) + 82 (kN) Vậy a chia cho 91 dư 82.

Lời giải

Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có

355 

a

.

m



13

với m N * và

a



13

hay

a

.

m



342 

18.19

(1) và khi chia 836 cho a ta được số dư là 8 => Ta có

836 

a

.

n



8 

a

.

n



828 

18.46

với n N * (2).

Từ (1) và (2) suy ra

a



18

là số tự nhiên cần tìm.

Lời giải

Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7 Mặt khác: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39

= 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2)

Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23.

Nhưng Ư CLN(7,17,23) = 1 => (A + 39) 7.17.23 nên (A+39) 2737 => A+39 = 2737.k

=> A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698

Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737

Lời giải

Gọi số cần tìm là a ( a N,100  a  999 )

Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên:

a  7 8

a  7  8 8 a 1 8 a 1 64 8 a  65 8

    

a  28 31 a  28  31 31 a  3 31 a  3  62 31 a  65 31

</div>(23)<div class='page_container' data-page=23>

Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌCWebsite:tailieumontoan.com23

Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 (8.31) hay a + 65 248  a = 248k – 65 (k  N*).

Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927.

17 17

Bài 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4,6,7 đều dư 3.

Bài 15: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 5 thì dư 3, a chia cho 7 thì dư 4. Vậy số cần tìm là 927

Lời giải

ọi số cần tìm là a . điều kiện

a



N,a



100

Vì a chia cho 4, 6, 7 đều dư 3



a



3

Mà a nhỏ nhất => a – 3 nhỏ nhất => a- 3 = BCNN(4,6,7) Mà ƯCLN(4, 6, 7) = 1 => BCNN(4,6,7) = 4.7.6 = 168 Vậy số cần tìm là 171.



a



3 

168 

a



171

Lời giải

Gọi số cần tìm là a ta có: (a - 6) 11 ; (a - 1) 4 ; (a - 11) 19.

 => (a - 6 + 33) 11 ; (a - 1 + 28) 4 ; (a - 11 +38 ) 19.

 => (a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19.

 Mà a nhỏ nhất => a + 27 nhỏ nhất => a + 27 = BCNN(11, 4, 9)

 Do ƯCLN (4 ; 11 ; 19) = 1 => BCNN(11, 4, 9) = 11.4.9 = 396

 => a + 27 = 396

 => a = 369

Lời giải

Ta có: a = 5q + 3 ; a = 7p + 4

Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21 => a chia hết cho cả 5 và 7 => a bội chung của 5 và 7.

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18

Bài 16: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, cịn chia cho 7 thì dư 3.

Lời giải

Gọi số tự nhiên đó là a, ta có a – 2 = BC(3; 4; 5; 6). Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120; 180; 240; <

Nên a nhận các giá trị 62; 122; 182; 242 <.

Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3 tức là (a – 3) là số nhỏ nhất chia hết cho 7 chia cho 19 dư 11.

Bài 14: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và



</div>(24)<div class='page_container' data-page=24>

Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌCWebsite:tailieumontoan.com24

=> a = 122 (vì a = 62 thì 62 – 3 = 59 không chia hét cho 7)

Bài 17: Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vùa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6?

Bài 18: Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?

Lời giải

Gọi số học sinh khối 6 là a (3 < a < 400)

Vì khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3

 a  3

 a  3BC(10,12,15) ta có BCNN(10,12,15) = 60

 a  3



60;120;180; 240;300;360; 420; ...



 a 



63;123;183; 243;303;363; 423;...



mà a 11; a  400

 a = 363

Vậy số học sinh khối 6 là 363 học sinh.

Lời giải

Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg)

Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam cịn lại nên tổng số xồi và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3.

Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg.

Số xồi và cam cịn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg)

Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg.

Lời giải

Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (kg) thì (x - 26) 11 và (x - 25) 10 Do đó (x - 15) BC (10; 11) và 200 < x < 300

Bài 19: Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 kg cịn lại mỗi bạn thu được 11kg. Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg.

</div>(25)<div class='page_container' data-page=25>

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌCWebsite:tailieumontoan.com25

=> x - 15 = 220 => x = 235

Số HS lớp 6A là (235 - 26) : 11 + 1 = 20 HS

Bài 20: Số học sinh khối 6 của một trờng cha đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì khơng dư. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.

Số HS lớp 6B là (235 - 25) : 10 + 1 = 22 HS

Lời giải

Gọi số học sinh là a (a Z*) Ta có a - 3 BC(10; 12; 15) a - 3 = 60k (k N*)  a = 60k + 3

k

1

2

3

4

5

6

7 a

63

123

183

243

303

363

423

Ta xem với giá trị nào

của k thì a < 400 và a 11

Trong các giá trị trên, chỉ có a = 363 < 400 và a 11 Vậy số học sinh cần tìm là 363 học sinh.

Lời giải

Gọi số người của đơn vị bộ đội là x (xN) x : 20 dư 15  x – 15 20

x : 25 dư 15  x – 15 25 x : 30 dư 15  x – 15 30 Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35)

Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5 => BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300

BC(20, 25, 35) = 300k (kN)

x – 15 = 300k  x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 300k + 15 < 1000  300k < 985  k < 3

60 (kN) => k = 1; 2; 3

Chỉ có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615 41 Vậy đơn vị bộ đội có 615 người

Bài 21: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (khơng có hàng nào thiếu, khơng có ai ở ngồi hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000?

</div>(26)<div class='page_container' data-page=26></div>

Từ khóa » Bài Tập Về Bcnn Và Ucln

Tổng Hợp: Chuyên đề Các Bài Toán Về UCLN Và BCNN - Tài Liệu Text









a, b



<i>a</i>

,1)



1;



<i>a</i>

,1





<i>a </i>

<i>a b </i>



(

<i>a</i>

,

<i>b</i>

)



<i>b</i>

;



<i>a</i>

,

<i>b</i>





<i>a </i>



(

<i>a</i>

,

<i>b</i>

)



1;



<i>a</i>

,

<i>b</i>





<i>a</i>

.

<i>b </i>

<i>UC</i>

(

<i>a</i>

,

<i>b</i>

)



<i>U </i>

(

<i>ucln</i>

(

<i>a</i>

,

<i>b</i>

));

<i>BC</i>

(

<i>a</i>

,

<i>b</i>

)



<i>B</i>

(

<i>bcnn</i>

(

<i>a</i>

,

<i>b</i>