Tổng Hợp Kiến Thức Và Các Dạng Bài Tập Của Số Phức

Vì kỳ thi THPT Quốc gia đang đến gần nên giasudiem10 xin chia sẻ đến các bạn một số lý thuyết về chương Số phức trong bài viết này. Ngoài tóm tắt kiến thức chương Số phức lớp 12 , bài viết bao gồm các ví dụ lọc cơ bản để bạn có thể nhanh chóng xem xét và nâng cao khả năng phân tích cũng như định hướng của mình khi đứng trước một bài toán mới. Hãy cùng xem nội dung này qua bài viết dưới đây nhé

1. Khái niệm số phức

– Số phức (dạng đại số) sẽ có dạng: z = a + bi. Trong đó a, b là các số nguyên, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và i được xem là đơn vị ảo, qui ước i2 = -1

– Kí hiệu: Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

– Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

– Hai số phức bằng nhau:

Xét hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i , đối với số phức, ta chỉ xét xem hai số phức có bằng nhau hay không. Điều kiện 2 số phức bằng nhau z = z’ khi và chỉ khi a = a’, b = b’ .

2. Biểu diễn hình học của số phức

Cho số phức z = a + bi (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc bởi vector u = (a;b). Chú ý ở mặt phẳng phức, trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

Advertisement. Scroll to continue reading.

                           Hình 1: Biểu diễn dạng hình học của một số phức.

3. Các phép tính trong số phức

Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di thì:

    • Phép cộng số phức: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

    • Phép trừ số phức: z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i

    • Phép nhân số phức: z1.z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

    • Phép chia số phức: (với z2 ≠ 0)

4. Số phức liên hợp

5. Modun của số phức

Có thể hiểu modun của số phức z = a+bi là độ dài của vector u (a,b) biểu diễn số phức đó.

6. Dạng lượng giác của số phức

7. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R; a ≠ 0). Xét Δ = b2 – 4ac, ta có

    • Δ = 0: phương trình có nghiệm thực x = -b/2a .

    • Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: .

    • Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: .

    ** Chú ý.

    – Mọi phương trình bậc n: A0zn + A1zn-1 + … + An-1z + An = 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

    – Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét

8. Tổng hợp 6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Cộng, trừ số phức

1. Phương pháp giải

Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di thì:

    • Phép cộng số phức: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

   • Phép trừ số phức: z1 – z2 = ( a- c) + ( b – d) i

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 = 1 + 10i và z2 = 9 – 2i. Số phức z = z1 + z2 có z1 có phần thực là:

A. 8    B. 10    C. 12    D. 14

Gợi ý giải:

Ta có: z = z1 + z2 = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i.

Do đó, phần thực của số phức z là 10.

Đáp án: B

Dạng 2: Nhân, chia hai số phức

1. Phương pháp giải

Phép nhân số phức: z1.z2 = ( ac – bd) + ( ad + bc). i

Phép chia số phức:

• Số phức nghịch đảo của z = a + bi ≠ 0 là  =  = 

• Thực hiện phép chia  là nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi

 =  =  + 

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của P= i105 + i23 + i20 – i34

A. 1    B. -2    C. 2    D. 5

Gợi ý giải:

Ta có : i2 = -1 ⇒ i4 = 1.

    Do đó, P = i105 + i23 + i20 – i34

                    = i104 + 1 + i20 + 3 + i4.5 – i4.8 + 2

                    = i. i4.26 + i2.i.i4.5 + 1- i2. i4.8

             = i. 1 + (-1).i.1 + 1 – (-1).1 = 2

Đáp án: C

Dạng 3: Tìm số phức liên hợp

1. Phương pháp giải

Cho số phức z= a + bi,( a,b ∈ R). Khi đó, số phức liên hợp với số phức z là: z− = a – bi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức z = ( 3- 2i). (2 + 3i)

A. z− = -5i    B. z− = 12 -5i

C. z− = 12 + 5i    D. z− = 3 + 2i

Gợi ý giải:

Ta có: z = (3 – 2i).(2 + 3i) = 6 + 9i – 4i + 6

⇔ z = 12 + 5i Do đó, số phức liên hợp với số phức z là z− = 12 -5i

Đáp án: B

Dạng 4: Môđun của số phức

1. Phương pháp giải

* Cho số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R). Khi đó mô đun của số phức z kí hiệu là : | z| và : | z| = 

* Nhận xét : |z| ≥ 0 và |z| = 0 ⇔ z = 0 .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính môđun của số phức z = 6 – 8i

A. 10    B. 2    C. -2    D. 80

Gợi ý giải:

Môđun của số phức z = 6 – 8i là: | z| =  = 10

Đáp án: A

Dạng 5: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện T

1. Phương pháp giải

Để tìm được số phức thỏa mãn điều kiện T, ta cần linh hoạt các phép toán của số phức, tính môdun số phức, số phức liên hợp…

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z = 2m + ( m + 2)i, (m∈ R) . Tìm z biết rằng z2 là một số phức có phần thực bằng – 5.

A. Không có số phức cần tìm

B. z = 2 + 3i , z =  + 

C. z = 4 + 2√3 + (4 + √3)i; z = 4 – 2√3 + (4 – √3)i

D. z = 2i, z = -18 – 7i

Gợi ý giải:

Ta có :

z2 = 4m2 + 2m(m + 2)i + [(m + 2)i]2 = 3m2 + 2m(m + 2)i-4m-4

Do z2 là số phức có phần thực bằng -5 nên ta có:

⇒ 3m2 – 4m – 4 = -5 ⇔ 3m2 – 4m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ; m = 1/3

Vậy có hai số phức thỏa mãn là z1 = 2 + 3i và z2 =  + 

Đáp án: B

Dạng 6: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức

1. Phương pháp giải

Cho phương trình az + b= 0 (a ≠ 0 ) a, b là hai số phức ⇔ az = -b ⇔ z = 

Sau đó, thực hiện phép chia số phức để tìm ra z.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i)z + 2 – i= 0. Tìm phần thực của số phức.

A. –     B. -3    C. 5    D. 

Gợi ý giải:

Ta có: (2 + i ).z + 2- i = 0 ⇔ ( 2 + i)z = – 2 + i

⇔ z =  = 

⇔ z =  = 

Do đó, phần thực của số phức cần tìm là – 

Đáp án: A

9. Bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 – i là hình tròn có diện tích:

A. S = 9π    B. S = 12π.    C. S = 16π.    D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta có:

<=> |w – 1 + i – 6 + 8i| ≤ 4 <=> |w – 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó (1) <=> (x – 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 – z|

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

=> y2 = 1 – x2 => x ∈ [-1; 1]

Ta có:

P = |1 + z| + 3|1 – z|

Xét hàm số:

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và với x ∈ (-1; 1) ta có:

Ta có:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

Chọn D.

Câu 3: Cho z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn  ∈ R và |z1 – z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. |z1| = √5

B. |z1| = 3

C. |z1| = 2

D. |z1| = 

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a – bi.

Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do |z1 – z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

Do z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1; z2 ∈ R, mà:

Ta có:

(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3)i ∈ R

Chọn C.

Câu 4: Cho hai số phức z1; z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1; M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2 + y2 = 1 và |z1 – z2| = 1. Tính giá trị biểu thức P = |z1 + z2|

Hướng dẫn:

M1; M2 đường tròn (T) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta có |z1 – z2| = 1 hay M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác đều cạnh bằng 1

Suy ra:

Chọn D.

Câu 5: Cho các số phức a; b; c; z thỏa mãn az2 + bz + c = 0 và |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính mô đun của số phức w = M – mi.

A. |w| = √3    B. |w| = 1    C. |w| = 2√3    D. |w| = 2

Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau z1; z2.

Theo định lý vi – ét ta có:

Đặt |z1| = x > 0; x ∈ R , khi đó ta có:

Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên ba số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy biến thành đoạn thẳng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

Chọn A.