Trắc Nghiệm VD – VDC Nón – Trụ – Cầu – Đặng Việt Đông

Trang chủ » Khối Tròn Xoay Là Vật Thể Nào Sau đây (2.5 điểm) đai ốc 6 Cạnh Quả Bóng đá Hộp Phấn Bao Diêm » Trắc Nghiệm VD – VDC Nón – Trụ – Cầu – Đặng Việt Đông

Có thể bạn quan tâm

Toggle navigation Loga.vn
  • Tài liệu
Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán - Trắc nghiệm VD – VDC nón – trụ – cầu – Đặng Việt Đông MỤC LỤC 1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN…………………………………………………..1 2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ………………………………………………..…9 3. MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU…………………………………………………………………..21 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ ...........................................................................................................40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay NÓN - TRỤ - CẦU I - MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Mặt nón tròn xoay Nội dung Đường thẳng , cắt nhau tại và tạo thành góc với , chứa , .  quay quanh trục với góc không đổi mặt nón tròn xoay đỉnh gọi là trục. được gọi là đường sinh. Góc gọi là góc ở đỉnh. 2. Khối nón Nội dung Hình vẽ Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. Cho hình nón có chiều cao , h đường sinh l và bán kính đáy . Diện tích xung quanh: của hình nón: Diện tích đáy (hình tròn): Diện tích toàn phần: của hình nón: Thể tích khối nón: 3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI 3.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân. d  O  0 0 0 90      mp P d   P    O.  d 2  r xq S rl .   áy S r 2 .   đ tp S rl r 2 .     V r h 2 1 . 3   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón. Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón. 3.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón Cho hình nón có chiều cao là , bán kính đáy và đường sinh . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là Nội dung Hình vẽ Gọi M là trung điểm của . AC Khi đó: Góc giữa và là góc  S M I. Góc giữa và là góc  M S I. Diện tích thiết diện 3.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Hình nón nội tiếp hình chóp đều là hình nón có đỉnh là , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông . Khi đó hình nón có: Bán kính đáy , Đường cao , đường sinh Hình chóp tứ giác đều Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều là hình nón có đỉnh là , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông . Khi đó hình nón có: Bán kính đáy: Chiều cao: Đường sinh: Hình chóp tứ giác đều h r l d.   AC SMI    SAC   ABC   SAC SI     d I SAC IH d , .   td SAC S S SM AC SI IM AI IM h d h d r h h d h d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . .2 2 2 .            S ABCD . S ABCD AB r IM 2   h SI  l SM.  S ABCD . C D M I S A B S ABCD . S ABCD AC AB r IA 2 . 2 2    h SI.  l SA.  S ABCD . D S I A B C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình nón nội tiếp hình chóp đều là hình nón có đỉnh là , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác Khi đó hình nón có Bán kính đáy: Chiều cao: Đường sinh: Hình chóp tam giác đều Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều là hình nón có đỉnh là , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi đó hình nón có: Bán kính đáy: Chiều cao: Đường sinh: Hình chóp tam giác đều 3.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn. Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân. Cho hình nón cụt có lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao. Diện tích xung quanh của hình nón cụt: Diện tích đáy (hình tròn): Diện tích toàn phần của hình nón cụt: Thể tích khối nón cụt: S ABC . S ABC. AM AB r IM 3 . 3 6    h SI.  l SM.  S ABC . I S M C B A S ABC . S ABC. AM AB r IA 2 3 . 3 3    h SI.  l SA.  S ABC . S I C B M A R r h , ,   xq S l R r .      áy áy áy S r S r R S R 2 2 1 2 2 2 .               đ đ đ   tp S l R r r R 2 2 .          V h R r Rr 2 2 1 . 3     h R r ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ Từ hình tròn cắt bỏ đi hình quạt . AmB Độ dài cung  AnB bằng . x Phần còn lại của hình tròn ghép lại được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó. Hình nón được tạo thành có B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với   mp ABC , , DB BC AD AB BC a     . Kí hiệu 1 2 3 , , V V V lần lượt là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác ABD khi quay quanh AD , tam giác ABC khi quay quanh AB , tam giác DBC khi quay quanh BC . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. 1 2 3 V V V   . B. 1 3 2 V V V   . C. 2 3 1 V V V   . D. 1 2 3 V V V   . Câu 2: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Trên đường tròn   O lấy hai điểm , A B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng 2 2 R . Thể tích hình nón đã cho bằng A. 3 14 12 R  . B. 3 14 2 R  . C. 3 14 6 R  . D. 3 14 3 R  . Câu 3: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Một khối nón có bán kính đáy bằng 2 cm , chiều cao bằng 3cm . Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 0 60 chia khối nón làm 2 phần. Tính thể tích V phần nhỏ hơn (Tính gần đúng đến hàng phần trăm). A. 3 1 ,42cm V  . B. 3 2,36cm V  . C. 3 1 ,53cm V  . D. 3 2,47cm V  . Câu 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao 20 h cm  , bán kính đáy 25 r cm  . Một mặt phẳng (P) đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng: A. 2 500 cm B. 2 475 cm C. 2 450 cm D. 2 550 cm Câu 5: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho tam giác ABC cân tại A , biết 2 AB a  và góc  o 30 ABC  , cho tam giác ABC (kể cả điểm trong) quay xung quanh đường thẳng AC được khối tròn xoay. Khi đó thể tích khối tròn xoay bằng A. 3 2 πa . B. 3 6 πa . C. 3 2π 3 a . D. 3 2a . Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có    0 0 0 90 , BAD AD a       và  0 90 . AD B  Quay ABCD quanh AB, ta được vật tròn xoay có thể tích là: A. 3 2 sin V a    B. 3 2 sin . os V a c       O R ; l R r x r x h l r 2 2 2 2 .                ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C. 2 3 sin cos V a     D. 2 3 cos sin V a     Câu 7: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) mà mặt phẳng vuông góc với SO tại O1 sao cho 1 1 3 SO SO  . Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích phần hình nón  nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón  . A. 3 7 9 R  B. 3 9 R  C. 3 26 81 R  D. 3 52 81 R  Câu 8: (THTT số 3) Một hình thang cân có chiều cao h và độ dài hai đáy là a , b. Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình thang này quanh đường trung trực của hai đáy. A.   2 2 1 3 h a ab b    . B.   2 2 1 6 h a ab b    . C.   2 2 1 12 h a ab b    . D. Cả A, B, C đều sai. Câu 9: (Hải Hậu Lần1) Cho hình trụ   T có chiều cao 2 , h m  bán kính đáy 3 . r m  Giả sử   L là hình lăng trụ đều n cạnh có hai đáy là đa giác đều nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ   T . Khi n tăng lên vô hạn thì tổng diện tích tất cả các mặt của của khối lăng trụ   L (tính bằng 2 m ) có giới hạn là: A. 12 S  . B. 20 S   . C. 30  . D. 12  . Câu 10: (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD , tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy , AD BC . 3 3   AD CB a ,  AB a , 3  SA a . Điểm I thỏa mãn 3         AD AI , M là trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi , E F lần lượt là hình chiếu của A lên , SB SC . Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng   ABCD . A. 3 5 5   a V . B. 3 2 5   a V . C. 3 5   a V . D. 3 10 5   a V . Câu 11: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang ABCD quanh trục OO  , biết 80, OO   24, O D   12, O C   12, OA  6 OB  . A. 43200 . V   B. 21600 . V   C. 20160 . V   D. 45000 . V   Câu 12: Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường thẳng d . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 13 3 96 a  . B. 3 11 3 96 a  . C. 3 3 8 a  . D. 3 11 3 8 a  . Câu 13: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình chữ nhật ABCD có 2 AB  , 2 3 A D  và nằm trong mặt phẳng   P . Quay   P một vòng quanh đường thẳng BD . Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng A. 28 9  . B. 28 3  . C. 56 9  . D. 56 3  . Câu 14: (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho hình thang ABCD có   90 A B   , AB BC a   , 2 AD a  . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD . A. 3 7 2 6 a  . B. 3 7 2 12 a  . C. 3 7 6 a  . D. 3 7 12 a  . Câu 15: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng   P song song với đáy. Mặt phẳng   P chia hình nón làm hai phần   1 N và   2 N . Cho hình cầu nội tiếp   2 N như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của   2 N . Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt   2 N theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là N 2 N 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Câu 16: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có 2 2 4 CD AB AD    . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC bằng A. 28 2 3  . B. 20 2 3  . C. 32 2 3  . D. 10 2 3  . Câu 17: Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng  . Tính thể tích hình nón lớn nhất? A. 2 9  . B. 2 12  . C. 2 2  . D. 2 3  . Câu 18: Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước có thể tích bằng: A. 3 1 6 r  B. 3 8 3 r  C. 3 2 3 r  D. 3 4 3 r  Câu 19: Cho một hình nón   N có đáy là hình tròn tâm O . Đường kính 2a và đường cao SO a  . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng   P vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn   C . Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn   C có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 3 2 . 81 a  B. 3 4 . 81 a  C. 3 7 . 81 a  D. 3 8 . 81 a  Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h. Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h. A. 2 h x  . B. 3 h x  . C. 2 3 h x  . D. 3 h x  . Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120 . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm Mđể diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số. Câu 22: Cho nửa đường tròn đường kính 2 AB R  và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt  C A B   và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm  sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. A. 60   . B. 45   . C. 1 arctan 2 . D. 30   . A B C D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 23: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu 1 2 , V V lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. Khi r và h thay đổi, tìm giá trị bé nhất của tỉ số 1 2 V V A. 2 B. 2 2 C. 1 3 D. 2 Câu 24: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng 6 . R cm  Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng: A. 4 6cm  B. 6 6cm  C. 2 6cm  D. 8 6cm  Câu 25: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số 1 2 V V là A. 5 4 . B. 4 3 . C. 3. D. 2. Câu 26: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm Câu 27: (Chuyên Thái Nguyên) Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây? A. 170 . B. 260 . C. 294 . D. 208 . Câu 28: (CỤM-CHUYÊN-MÔN-HẢI-PHÒNG) Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm   1;1 M và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục , Ox Oy lần lượt tại , A B . Quay tam giác OAB quanh trục O y thu được một khối tròn xoay có thể tích là V . Giá trị nhỏ nhất của V bằng: A. 3  . B. 9 4  . C. 2  . D. 5 2  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay II - MẶT TRỤ TRÒN XOAY A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Mặt trụ Nội dung Hình vẽ Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng và song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng . Khi quay mặt phẳng xung quanh thì đường thẳng sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng gọi là trục. Đường thẳng là đường sinh. là bán kính của mặt trụ đó. 2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Nội dung Hình vẽ Ta xét hình chữ nhật . Khi quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ. Khi quay quanh hai cạnh và sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ. Độ dài đoạn gọi là độ dài đường sinh của hình trụ. Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh khi quay xung quanh gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ. Diện tích xung quanh: Diện tích toàn phần: Thể tích: 3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT TRỤ 3. 1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ   P  l r   P  l  l r ABCD ABCD ADCB , AB AD BC CD CD AB AB xq S rl 2 .   tp S rl r 2 2 2 .     V r h 2 .   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật trong đó và . Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì . Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật có khoảng cách tới trục là: 3. 2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ Nếu như và là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì: * Đặc biệt: Nếu và vuông góc nhau thì: . 3. 3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách Nội dung Hình vẽ Góc giữa và trục :     , ' ' AB OO A AB  Khoảng cách giữa và trục : . Nếu là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ. Nghĩa là cạnh hình vuông: . 3. 4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ R ABCD AB R 2  AD h  h R 2  BGHC     d OO BGHC OM ';  M O A D B C G H AB CD   ABCD V ABCDOO AB CD 1 . . '.sin , 6  AB CD ABCD V ABCDOO 1 . . ' 6  O' O A B D C AB OO ' O O' A B A' AB OO '   d AB OO OM ; '  M O O' A A' B ABCD AB R h 2 2 2 4   I O O' D B A C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Một khối trụ có thể tích V không đổi. Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất: Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất: 3. 5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì thể tích khối trụ là Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích xung quanh hình trụ là xq S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng . a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho 2 . AB a  Tính thể tích của khối tứ diện OO' . AB A. 3 3 12 a B. 3 12 a C. 3 5 3 12 a D. 3 3 2 a Câu 2: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho khối trụ   T , AB và CD lần lượt là hai đường kính trên các mặt đáy của khối   T . Biết góc giữa AB và CD là 30  , 6 AB cm  và thể tích khối ABCD là 3 30cm . Khi đó thể tích khối trụ   T là A. 3 90 cm  . B. 3 30 cm  . C. 3 45 cm  . D. 3 90 3 270 cm  . Câu 3: Cho lăng trụ . ' ' ', ABC A B C đáy ABC là tam giác có 5, 8 AB AC   và góc    0 , 60 . AB AC  Gọi , ' V V lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số ' ? V V tp V R S V h 3 3 4 min 2 4             V R S V h 3 3 min             V V (T) 4 9   ABCD A B C D . ' ' ' ' xq S S 2   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 9 4 9 B. 9 4 C. 1 9 4 9 D. 2 9 4 9 Câu 4: Cho một khối trụ có bán kính đáy r a  và chiều cao 2 h a  . Mặt phẳng ( ) P song song với trục ' OO của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi 1 V là thể tích phần khối trụ chứa trục ' OO , 2 V là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số 1 2 V V , biết rằng ( ) P cách ' OO một khoảng bằng 2 2 a . A. 3 2 2     . B. 3 2 2     . C. 2 3 2     . D. 2 3 2     . Câu 5: Cho một hình trụ có bán kính đáy 5, R  chiều cao 6. h  Một đoạn thẳng AB có độ dài bằng 10 và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ? A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. A. 50 d cm  B. 50 3 d cm  C. 25 d cm  D. 25 3 d cm  Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho 2 . AB R  Tính khoảng cách từ AB đến trục hình trụ theo R. A. 2 R B. 3 R C. 5 R D. 4 R Câu 8: (Ba Đình Lần2) Cho khối trụ có đáy là các đường tròn tâm   O ,   O  có bán kính là R và chiều cao 2 h R  . Gọi A , B lần lượt là các điểm thuộc   O và   O  sao cho OA vuông góc với . OB  Tỉ số thể tích của khối tứ diện OO AB  với thể tích khối trụ là: A. 2 3  . B. 1 3  . C. 1 6  . D. 1 4  . Câu 9: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là O và ' O ; bán kính đáy hình trụ bằng a . Trên hai đường tròn   O và   ' O lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB tạo với trục của hình trụ một góc 3 0  và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng 3 2 a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho A.   2 2 3 1 a   . B.   2 3 2 3 a   . C.   2 3 2 a   . D.   2 2 3 3 3 a   . Câu 10: (Sở Ninh Bình Lần 1) Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn   ; O R và   ; O R  . AB là một dây cung của đường tròn   ; O R sao cho tam giác O AB  là tam giác đều và mặt phẳng   OAB  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay tạo với mặt phẳng chứa đường tròn   ; O R một góc 60  . Tính theo R thể tích V của khối trụ đã cho. A. 3 7 7 R V   . B. 3 3 5 5 R V   . C. 3 5 5 R V   . D. 3 3 7 7 R V   . Câu 11: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Có một miếng bìa hình chữ nhật ABCD với 3 AB  và 6 AD  . Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho 2 AE  , trên cạnh BC lấy điểm F là trung điểm BC . Cuốn miếng bìa lại sao cho cạnh AB và DC trùng nhau để tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ. Khi đó tính thể tích V của tứ diện ABEF . A. π 3 V  . B. 2 9 3 2π V  . C. 3 3π 2 V  . D. 2 2 3π V  . Câu 12: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O  , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O  lấy điểm B . Đặt  là góc giữa AB và đáy. Tính tan  khi thể tích khối tứ diện OO AB  đạt giá trị lớn nhất. A. tan 2   B. 1 tan 2   C. 1 tan 2   D. tan 1   Câu 13: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O  , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , D sao cho 2 3 AD a  ; gọi C là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng chứa đường tròn   ' O ; trên đường tròn tâm O  lấy điểm B ( AB chéo với CD ). Đặt  là góc giữa AB và đáy. Tính tan  khi thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị lớn nhất. A. tan 3   B. 1 tan 2   C. tan 1   D. 3 tan 3   Câu 14: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O  , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , D trên đường tròn tâm O  lấy điểm B , C sao cho // AB CD và AB không cắt ' OO . Tính AD để thể tích khối chóp '. O ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. 2 2 AD a  B. 4 AD a  C. 4 3 3 AD a  D. 2 A D a  F A B C D E ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 15: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một hình trụ có độ dài đường cao bằng 3, các đường tròn đáy lần lượt là   ;1 O và   ';1 O . Giả sử AB là đường kính cố định của   ;1 O và MN là đường kính thay đổi trên   ';1 O . Tìm giá trị lớn nhất m ax V của thể tích khối tứ diện ABMN . A. m ax 2 V  B. m ax 6 V  C. max 1 2 V  D. max 1 V  Câu 16: Cho hình trụ có chiều cao 2, h  bán kính đáy 3. r  Một mặt phẳng   P không vuông góc với đáy của hình trụ, làn lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD sao cho ABCD là hình vuông. Tính diện tích S của hình vuông ABCD . A. 12 . S   B. 12. S  C. 20. S  D. 20 . S   Câu 17: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho hình trụ có bán kính bằng r và chiều cao cũng bằng r . Một hình vuông ABCD có hai cạnh , AB CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh , BC AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tan của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt đáy bằng A. 1. B. 6 2 . C. 6 3 . D. 15 5 . Câu 18: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho khối trụ có bán kính đáy bằng   4 cm và chiều cao   5 cm . Gọi AB là một dây cung đáy dưới sao cho   4 3 AB cm  . Người ta dựng mặt phẳng   P đi qua hai điểm A , B và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc 60  như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng   P . A.     2 8 4 3 3 3 cm   . B.     2 4 4 3 3 cm   . C.     2 4 4 3 3 3 cm   . D.     2 8 4 3 3 cm   . Câu 19: Một khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng , a góc giữa đường chéo mỗi mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đó. A. 3 1 3 3 V a   B. 3 3 V a   C. 3 1 3 2 V a   D. 3 2 3 3 V a   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 20: (Sở Quảng NamT) Cho hình trụ có trục ' OO , bán kính đáy r và chiều cao 3 2 r h  . Hai điểm , M N di động trên đường tròn đáy   O sao cho OMN là tam giác đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên   ' O MN . Khi , M N di động trên đường tròn   O thì đoạn thẳng OH tạo thành mặt xung quanh của một hình nón, diện tích S của mặt này. A. 2 9 3 32 r S   . B. 2 9 3 16 r S   . C. 2 9 32 r S   . D. 2 9 16 r S   . Câu 21: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . A.   125 1 2 6 V    . B.   125 5 2 2 12 V    . C.   125 5 4 2 24 V    . D.   125 2 2 4 V    . Câu 22: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là 17 R và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón A. 3 5 12 R  . B. 3 1 3 R  . C. 3 4 3 R  . D. 3 5 6 R  . Câu 23: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài là 3 16 9 dm  . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên X Y ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh xq S của bình nước là: A. 2 9 10 2 xq S dm   . B. 2 4 10 xq S dm   . C. 2 4 xq S dm   . D. 2 3 2 xq S dm   . Câu 24: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Cho hình thang cân ABCD , / / AB CD , 6 AB cm  , 2 CD cm  , 13 AD BC cm   . Quay hình thang ABCD xung quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay có thể tích là A.   3 18 cm  . B.   3 30 cm  . C.   3 24 cm  . D.   3 12 cm  . Câu 25: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối   H như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích của   H . A. ( ) 192 H V   . B. ( ) 275 H V   . C. ( ) 704 H V   . D. ( ) 176 H V   . Câu 26: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hình vuông ABCD cạnh . a Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho 2 . AN ND  Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại . K Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là I M P N Q S B A O ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 7 6 V a   . B. 3 9 14 V a   . C. 3 6 7 V a   . D. 3 14 9 V a   . Câu 27: (THTT số 3) Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơ khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy bằng a và chiều cao 12, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra. A. 11,37 . B. 11. C. 6 3. D. 37 2  . Câu 28: Cho tam giác đều và hình vuông cùng có cạnh bằng 4 được xếp chồng lên nhau sao cho một đỉnh của tam giác đều trùng với tâm của hình vuông, trục của tam giác đều trùng với trục của hình vuông (như hình vẽ). Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình đã cho khi quay quanh trục AB là a K C D A B N h R' R H C A K ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 136 24 3 . 9    B. 48 7 3 . 3    C. 128 24 3 . 9    D. 144 24 3 . 9    Câu 29: Cho hình phẳng   H được mô tả ở hình vẽ dưới đây. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng   H quanh cạnh AB . A. 3 772 . 3   V cm B. 3 799 . 3   V cm C. 3 254 .   V cm D. 3 826 . 3   V cm Câu 30: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R , người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện? A. 3 4 3 R 9  . B. 3 4 3 R 3  . C. 3 4 3 R 6  . D. 3 3 3 R 12  . Câu 31: (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho mặt cầu   S có bán kính 3 . Trong tất cả các khối trụ nội tiếp mặt cầu   S (hai đáy của khối trụ là những thiết diện của hình cầu cắt bởi hai mặt phẳng song song), khối trụ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 3 3 2  . B. 4  . C. 3  . D. 4 3 3  . Câu 32: Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính mối quan hệ giữa bán kính đáy và chiều cao hình trụ sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2 h R  B. 3 h R  C. 5 h R  D. 4 h R  A 7 cm 6 cm 3 cm 3 cm 5 cm B C E F D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 33: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 chiều cao bằng 6, một khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón đã cho (như hình vẽ). Thể tích lớn nhất của khối trụ bằng A. 6  . B. 10  . C. 4  . D. 8  . Câu 34: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q song song với nhau cắt khối cầu tâm O bán kính R tạo thành hai hình tròn 1 ( ) C và 2 ( ) C cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Biết diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khi đó thể tích khối trụ có hai đáy là hai hình tròn 1 ( ) C và 2 ( ) C bằng A. 3 4 3 9 R  . B. 3 2 3 9 R  . C. 3 3 9 R  . D. 3 4 3 3 R  . Câu 35: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: A. 1 ; 2 2 2 S S R h     . B. ; 4 4 S S R h     . C. 2 2 ; 4 3 3 S S R h     . D. ; 2 6 6 S S R h     . Câu 36: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất. A. 6 3 R r  B. 2 3 R r  C. 2 3 R r  D. 2 3 R r  Câu 37: Cho hình vẽ bên. Tam giác SOA vuông tại O có / / MN SO với , M N lần lượt nằm trên cạnh SA, . OA Đặt SO h  không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R OA  . Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 h MN  B. 3 h MN  C. 4 h MN  D. 6 h MN  Câu 38: Cho nửa đường tròn đường kính 2 AB R  , hai điểm , C D di động trên nửa đường tròn sao cho CD AB  . Kí hiệu CD x  , tìm x để vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cân ACDB quanh trục AB lớn nhất. A.   13 1 3 R x   . B. 2 3 R x  . C.   1 2 13 15 R x   . D. 3 R x  . Câu 39: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho một hình cầu nội tiếp hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2  , bán kính đáy là R và chiều cao là h. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó có đáy dưới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón (tham khảo hình vẽ). Gọi 1 2 , V V lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ, biết rằng 1 2 V V  . Gọi M là giá trị lớn nhất của tỉ số 2 1 V V . Giá trị của biểu thức 48 25 P M   thuộc khoảng nào dưới đây? A. (40; 60) . B. (60; 80) . C. (20; 40) . D. (0; 20) . A O S M Q P N B I ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay III - MẶT CẦU – KHỐI CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Mặt cầu Nội dung Hình vẽ Cho điểm cố định và một số thực dương . Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm , I bán kính . R Kí hiệu: Khi đó: 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên là khoảng cách từ I đến mặt phẳng . Khi đó: Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và : H tiếp điểm. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm và bán kính Lưu ý: Khi mặt phẳng đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó: không cắt mặt cầu. tiếp xúc với mặt cầu. : Tiếp tuyến của : H tiếp điểm. cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. I R   S I R ; .     S I R M IM R ;     S I R ;   P   P d IH     P d R  d R  d R    P I  r R IH 2 2     P   P   S I R ;   IH R  IH R  IH R       S  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Lưu ý: Trong trường hợp cắt tại 2 điểm , A B thì bán kính R của được tính như sau: 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 4.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 4.1. Các khái niệm cơ bản Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 4.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp. Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 4.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện 4.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ    S   S   d I IH AB R IH AH IH 2 2 2 2 ; . 2                       ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Tâm là , là trung điểm của . Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương). Bán kính: . 4.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ Xét hình lăng trụ đứng , trong đó có 2 đáy và nội tiếp đường tròn và . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: với là trung điểm của . Bán kính: . 4.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung Hình vẽ Hình chóp có   0 90 SAC SBC   . Tâm: là trung điểm của . Bán kính: . Hình chóp có    0 90 SAC SBC SDC    . Tâm: là trung điểm của . Bán kính: . 4.3.4. Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ  I AC '  AC R ' 2  n n AA A A AA A A ' ' ' ' 1 2 3 1 2 3 ... . ... n AAA A 1 2 3 ... n AAA A ' ' ' ' 1 2 3 ...   O   O' I I OO ' n R IA IA IA ' 1 2 ...     S ABC . I SC SC R IA IB IC 2     S ABCD . I SC SC R IA IB IC ID 2      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cho hình chóp đều Gọi là tâm của đáy là trục của đáy. Trong mặt phẳng xác định bởi và một cạnh bên, chẳng hạn như , ta vẽ đường trung trực của cạnh là cắt tại và cắt tại là tâm của mặt cầu. Bán kính: Ta có: SM SI SMI SOA SO SA ∽      Bán kính: 4.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp có cạnh bên   ... SA ABC  và đáy nội tiếp được trong đường tròn tâm . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được xác định như sau: Từ tâm ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng vuông góc với tại . Trong , ta dựng đường trung trực của cạnh , cắt tại , cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính Tìm bán kính Ta có: là hình chữ nhật. Xét vuông tại có: 4.3.6. Hình chóp khác Dựng trục của đáy. S ABC . ... O SO  SO   mp SAO SA  SA M SO I I  SM SA SA R IS IA IB IC SO SO 2 . ... 2        S ABC . ... ABC... O S ABC . ... O d   mp ABC... O   mp d SA ,  SA SA M d I I  R IA IB IC IS ...      MIOB MAI  M SA R AI MI MA AO 2 2 2 2 2             ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì. là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính: khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp. 4.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán. 5.1 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Lúc đó      I I      I n S AA A 1 2 . ...  ( )   H O I D C B A S ∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền. O Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo. O Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo. O O ∆ đều: O là giao điểm của 2 đường trung tuyến (trọng tâm). ∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆. O ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Tâm O của mặt cầu: Bán kính: . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.2. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 5.2.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Định nghĩa Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chất Suy ra: Các bước xác định trục Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2: Qua H dựng vuông góc với mặt phẳng đáy. Một số trường hợp đặc biệt Đáy là tam giác vuông Đáy là tam giác đều Đáy là tam giác thường   mp( O )       R SA SO   M MA MB MC :      MA MB MC M        H M C B A H A B C   C B A H B A C H  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 5.2.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ đồng dạng với . 5.2.3. Nhận xét quan trọng là trục đường tròn ngoại tiếp . 5.3. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó: Tâm I của mặt cầu: Bk: . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.4. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 5.4.1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ SMO  SO SM SIA SA SI    A M I O S MA MB MC M S SM SA SB SC , :            ABC  n S AA A 1 2 . ...    d I      R IA IS   R I Δ D d S A B C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cạnh bên vuông góc đáy và  0 90 ABC  khi đó và tâm là trung điểm . 5.4.2. Dạng 2 Nội dung Hình vẽ Cạnh bên vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là , khi đó : ( : nửa chu vi). Nếu vuông tại thì:   2 2 2 1 4 D R AB AC AS    . Đáy là hình vuông cạnh thì nếu đáy là tam giác đều cạnh thì . 5.4.3. Dạng 3 Nội dung Hình vẽ Chóp có các cạnh bên bằng nhau: : . là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó là giao hai đường chéo. vuông, khi đó là trung điểm cạnh huyền. đều, khi đó là trọng tâm, trực tâm. 5.4.4. Dạng 4 SA SC R 2  SC SA D R D SA R R 2 2 2 4         D abc R p p a p b p c 4     p  ABC A a D a R 2 2  a D a R 3 3  S A B C O I K SA SB SC SD    SA R SO 2 2  ABCD O ABC  O ABC  O S A D B C S S A B C A D B C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Nội dung Hình vẽ Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau và có giao tuyến . Khi đó ta gọi lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác và . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 5.4.5. Dạng 5 Chóp có đường cao , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là . Khi đó ta giải phương trình: . Với giá trị tìm được ta có: . 5.4.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: . 6 - TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 1. Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ 2. Hình trụ cụt Nội dung Hình vẽ 3. Hình nêm loại 1 Nội dung Hình vẽ 4. Hình nêm loại 2 Nội dung Hình vẽ   SAB   ABC AB R R 1 2 , SAB ABC AB R R R 2 2 2 2 1 2 4    O K S A B C J I S.ABCD SH O   D SH x OH x R 2 2 2 2     x D R x R 2 2 2   tp V r S 3      xq S Rh r h h V h h R h r 2 2 2 2 2 2 3 3 6                       R r h   xq S R h h h h V R 1 2 2 1 2 2                    h 2 h 1 R V R 3 2 tan 3   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay Nội dung Hình vẽ 6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip Nội dung Hình vẽ 7. Diện tích hình vành khăn Nội dung Hình vẽ 8. Thể tích hình xuyến (phao) Nội dung Hình vẽ B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Câu 1: Cho hình chóp . S ABC có   SA ABC  , 1 AB  , 2 AC  và  60 . BAC   Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A , B , C , M, N . V R 3 2 tan 2 3           parabol tru S x a S Rh S h R V R h V 3 3 2 4 ' ; 3 1 1 2 2                             R h R q elip xoay x uanh a qua oay nh b S ab V ab V a b 2 2 2 2 4 3 4 3                b a b a   S R r 2 2    R r R r R r V 2 2 2 2 2                 R r ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 R  . B. 2 3 3 R  . C. 4 3 R  . D. 1 R  . Câu 2: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh 3 AB a  , 4 BC a  . Hình chiếu của S trên mặt phẳng   ABCD là trung điểm của ID. Biết rằng SB tạo với mặt phẳng   ABCD một góc 45  . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A. 2 25 2 a  . B. 2 125 4 a  . C. 2 125 2 a  . D. 2 4 a  . Câu 3: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng   ABC là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng   ABC bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng   SAB . Đẳng thức nào sau đây sai? A.   , . R d G SAB      B. 3 13 2 . R SH  C. 2 4 3 . 39 ABC R S   D. 13. R a  Câu 4: Cho khối chóp . S ABCD có ( ) SA ABCD  ; đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với ; AB BC a   2 AD a  ; SA a  . Gọi E là trung điểm của AD . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ECD . A. 7 2 a R  B. 7 R a  C. 11 2 a R  D. 11 R a  Câu 5: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hình chóp . S ABC có 6 , 3 a SA SB SC AB a BC      và mặt phẳng   SAC vuông góc với mặt phẳng   ABC . Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . A. 2 12 7 a  . B. 2 4 7 a  . C. 2 3 7 a  . D. 2 15 7 a  . Câu 6: (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp . S ABC có , AC a  3, AB a   0 150 BAC  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi , M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC . Thế tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . A BCNM bằng A. 3 4 7 3 a  . B. 3 28 7 3 a  . C. 3 20 5 3 a  . D. 3 44 11 3 a  . Câu 7: (Hải Hậu Lần1) Trong mặt phẳng   P cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm và một điểm S di động ngoài mặt phẳng   P sao cho tam giác MAB luôn có diện tích bằng 16 3 cm 2 , với M là trung điểm của SC . Gọi   S là mặt cầu đi qua bốn đỉnh , , , M A B C . Khi thể tích hình chóp . S ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ nhất của   S : ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 16 6 9 cm. B. 4 3 3 cm. C. 4 15 3 cm. D. 4 39 3 cm. Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2; 3; 3; 2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc nhau. Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng A. 7 15 . B. 3 7 . C. 6 11 . D. 5 9 . Câu 9: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Biết rằng , 3 AB a AD a   và  60 ASB   . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A. 2 13 2 a S   . B. 2 13 3 a S   . C. 2 11 2 a S   . D. 2 11 3 a S   . Câu 10: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng . a Đường thẳng 2 SA a  vuông góc với đáy  . ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng    đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt , SB SD lần lượt tại , . E F Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm , , , , S A E M F nhận giá trị nào sau đây? A. 2 a B. a C. 2 2 a D. 2 a Câu 11: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi K là trung điểm của AB , , M N lần lượt là hình chiều của K lên AD và AC . Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . K CDMN ? A. 3 4 a . B. 3 3 8 a . C. 2 4 a . D. 3 2 8 a . Câu 12: Cho khối chóp . S ABC có ( ) SA ABC  ; tam giác ABC cân tại A, AB a  ;  120 BAC   . Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của A lên , SB SC . Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm , , , , A B C K H . A. 3 R a  B. R a  C. 2 R a  D. Không tồn tại mặt cầu như vậy Câu 13: (Chuyên Bắc Giang) Cho hình chóp . S ABC có 3 2 a SA  , các cạnh còn lại cùng bằng a . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC là: M F E O C D A B S I ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 13 2 a R  . B. 3 a R  . C. 13 3 a R  . D. 13 6 a R  . Câu 14: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh , a hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng   ABC là trung điểm H của cạnh . BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng   ABC bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác , SAC R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng  . SAB Đẳng thức nào sau đây sai? A.   , R d G SAB      B. 3 13 2 R SH  C. 2 4 3 39 ABC R S   D. 3 R a  Câu 15: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , , AB a AD a   2 tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi , M N lần lượt là trung điểm các cạnh , . AD DC Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S DMN . A. a R  102 6 . B. a R  31 4 . C. a R  39 6 . D. a R  39 13 . Câu 16: Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với đáy, 6. SA a  Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và 1 , . 2 B AB BC AD a    Gọi E là trung điểm . AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . . S ECD A. 2 2 a R  B. 6 R a  C. 114 6 R a  D. 26 2 a R  Câu 17: Cho tứ diện . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại Avới 3 AB a  , 4 AC a  . Hình chiếu H của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Biết 2 SA a  , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC là A. 118 . 4 R a  . B. 118 . 2 R a  . C. 118 . 8 R a  . D. . 118 R a  . Câu 18: Cho hình chóp . S ABC có   SA ABC  , AC b  , AB c  ,  BAC   . Gọi B , C  lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A BCC B   theo b , c , .  A. 2 2 2 2 cos . R b c bc     B. 2 2 2 cos . sin 2 b c bc R      C. 2 2 2 cos . 2sin b c bc R      D. 2 2 2 2 cos . sin b c bc R      Câu 19: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 3, AB BC a     0 90 SAB SCB   và khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC bằng 2. A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC theo a. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 2 S a   B. 2 8 S a   C. 2 16 S a   D. 2 12 S a   Câu 20: Cho khối chóp . S ABC có tam giác ABC vuông tại , B biết 1 AB  ; 3 AC  . Gọi M là trung điểm BC , biết ( ) SM ABC  . Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SMAB vàb SMAC bằng 15  . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC là: A. 21 4  B. 20  C. 25 4  D. 4  Câu 21: Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A, cạnh huyền   6 BC cm  , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60  . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC là A. 2 48 cm  . B. 2 12 cm  . C. 2 16 cm  . D. 2 24cm . Câu 22: Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo . a A. 2 5 3 a  B. 2 11 3 a  C. 2 2 a  D. 2 4 3 a  Câu 23: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 SA  . Mặt phẳng    qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại các điểm M , N , P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP . A. 32 3 V   . B. 64 2 3 V   . C. 108 3 V   . D. 125 6 V   . Câu 24: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 2 2 2 MA MB MC MD a     là A. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 2 2 a . B. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng 2 4 a . C. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng 2 2 a . D. Đường tròn có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng 2 4 a . Câu 25: Cho lăng trụ . ABC A B C    có , 3 AB AC a BC a    . Cạnh bên 2 AA a   . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C   bằng A. a . B. 2a . C. 5a . D. 3a . Câu 26: Cho lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng   ' ' AB C tạo với mặt đáy góc 0 60 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . ' ' ' G A B C bằng: A. 85 . 108 a B. 3 2 a . C. 3 . 4 a D. 31 . 36 a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 27: (Liên Trường Nghệ An) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 3 2 AB BC a   ,   90 SAB SCB    . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SCB bằng 2 3 a . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . A. 3 72 18 a  . B. 3 18 18 a  . C. 3 6 18 a  . D. 3 24 18 a  . Câu 28: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. 2 7 3 a  . B. 2 a  . C. 2 8 3 a  . D. 2 5 3 a  . Câu 29: (Sở Hưng Yên Lần1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng A. 3 3 24 a . B. 3 2 24 a  . C. 3 2 2 9 a . D. 3 3 8 a  . Câu 30: (THTT số 3) Gọi , r R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD . Tính tỉ số R r ? A. 3. B. 4 3 . C. 3 . D. 5 2 . Câu 31: (Nguyễn Khuyến)Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 3 A B a  , 2 BC a  . Đường thẳng AC  tạo với mặt phẳng   BCC B   một góc 30  . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng A. 2 3  a . B. 2 6  a . C. 2 4  a . D. 2 24  a . Câu 32: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là 3  . Một khối cầu   1 S nội tiếp trong khối nón. Gọi 2 S là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với 1 S ; 3 S là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với 1 ;...; n S S là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với 1 n S  . Gọi 1 , V 2 V , 3 V ,…, 1 n V  , n V lần lượt là thể tích của khối cầu 1 S , 2 S , 3 S ,…, 1 n S  , n S và V là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức 1 2 ... lim n V V V T V     . A. 3 5 . B. 6 13 . C. 7 9 . D. 1 2 . DẠNG 2: CỰC TRỊ VỀ KHỐI CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY Câu 33: (Hùng Vương Bình Phước) Cho tam giác đều cạnh , đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng . Gọi là điểm thay đổi trên đường thẳng , là trực tâm tam giác . Biết rằng khi điểm thay đổi trên đường thẳng thì điểm nằm trên đường tròn . Trong số các mặt cầu chứa đường tròn , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là ABC a d A   ABC S d H SBC S d H   C   C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. . B. . C. . D. . Câu 34: Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A. min 8 3 V  . B. min 4 3 V  . C. min 9 3 V  . D. min 16 3 V  . Câu 35: (Chuyên Vinh Lần 3) Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho 1 OC  . Trên hai tia , Ox Oy lần lượt lấy hai điểm , A B thay đổi sao cho OA OB OC   . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . O ABC ? A. 6 . 4 . B. 6.. C. 6 . 3 . D. 6 . 2 . Câu 36: (Sở Hải Dương) Cho hai mặt phẳng   P và   Q song song với nhau và cắt một mặt cầu tâm O bán kính R tạo thành hai đường tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai đường tròn và đáy trùng với đường tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa   P và   Q để diện tích xung quanh hính nón đó là lớn nhất. A. R . B. 2 R . C. 2 3 R . D. 2 3 3 R . Câu 37: (THPT Đặng Thúc Hứa) Cho ba tia Ox , Oy , Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz , đặt 1 OC  , các điểm A, B thay đổi trên Ox , Oy sao cho . OA OB OC   Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . OABC . A. 6 4 . B. 6 2 . C. 6 . D. 6 3 . Câu 38: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hai mặt cầu   1 S và   2 S đồng tâm I , có bán kính lần lượt là 1 2  R và 2 10  R . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B nằm trên   1 S và hai đỉnh C , D nằm trên   2 S . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng A. 3 2 . B. 7 2 . C. 4 2 . D. 6 2 . Câu 39: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Cho khối cầu   S có tâm I và bán kính 2 3 R  , gọi   P là mặt phẳng cắt khối cầu   S theo thiết diện là hình tròn   C . Tính khoảng cách d từ I đến   P sao cho khối nón có đỉnh I và đáy là hình tròn   C có thể tích lớn nhất. A. 2 3 3 d  . B. 2 d  . C. 2 d  . D. 3 2 d  . Câu 40: (Liên Trường Nghệ An) Cho hình cầu tâm O bán kính 5  R , tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P . Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên ( ) P , có chiều cao 15  h , có bán kính đáy bằng R . Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng ( ) P . Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng ( ) Q song song với ( ) P và thu được hai thiết diện có tổng diện tích là S . Gọi x là khoảng cách 3 6 a a 2 2 a 3 12 a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay giữa ( ) P và ( ) Q , (0 5)   x . Biết rằng S đạt giá trị lớn nhất khi  a x b (phân số a b tối giản). Tính giá trị   T a b . A. 17  T . B. 19  T . C. 18  T . D. 23  T . Câu 41: Khi cắt mặt cầu   , S O R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu   , S O R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết 1 R  , tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu   , S O R để khối trụ có thể tích lớn nhất. A. 3 6 , 2 2 r h   . B. 6 3 , 2 2 r h   . C. 6 3 , 3 3 r h   . D. 3 6 , 3 3 r h   DẠNG 3: TỔNG HỢP VỀ MẶT TRÒN XOAY Câu 42: (Chuyên Vinh Lần 3) Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đề tiếp xúc với đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là 3 120 cm , thể tích của mỗi khối cầu bằng A. 3 10 cm . B. 3 20 cm . C. 3 30 cm . D. 3 40 cm . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 43: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Một khối pha lê gồm một hình cầu   1 H bán kính R và một hình nón   2 H có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là , r l thỏa mãn 1 2 r l  và 3 2 l R  xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu   1 H và diện tích toàn phần của hình nón   2 H là 91 2 cm . Tính diện tích của mặt cầu   1 H . A. 2 104 5 cm . B. 2 16cm . C. 2 64cm . D. 2 26 5 cm . Câu 44: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tam giác đều ABC có đỉnh   5;5 A nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA  , M là trung điểm BC . Khi quay tam giác ABM cùng với nửa hình tròn đường kính AA  xung quanh đường thẳng AM (như hình vẽ minh họa), ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là 1 V và 2 V . Tỷ số 1 2 V V bằng A. 9 32 . B. 9 4 . C. 27 32 . D. 4 9 . A' M C B A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 45: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho   S là một mặt cầu có đường kính 10 AB  . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By với mặt cầu   S sao cho Ax By  . Gọi M là điểm di động trên Ax , N là điểm di động trên By sao cho MN luôn tiếp xúc với mặt cầu. Tính giá trị của tích . AM BN ? A. . 50 AM BN  . B. . 10 AM BN  . C. . 100 AM BN  . D. . 20 AM BN  . Câu 46: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho hai mặt cầu   1 S có tâm 1 I , bán kính 1 1 R  ,   2 S có tâm 2 I bán kính 2 5 R  . Lần lượt lấy hai điểm 1 2 , M M thuộc hai mặt cầu     1 2 , S S . Gọi K là trung điểm 1 2 M M . Khi 1 2 , M M di chuyển trên     1 2 , S S thì K quét miền không gian là một khối tròn xoay có thể tích bằng? A. 55 3  . B. 68 3  . C. 76 3  . D. 82 3  . Câu 47: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên)Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng 3 2 chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 54 3  (dm 3 ). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây? A. 46 3 5  (dm 3 ). B. 18 3  (dm 3 ). C. 46 3 3  (dm 3 ). D. 18  (dm 3 ). ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay IV - ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 1: (Ba Đình Lần2) Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, như hình vẽ dưới đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng 50, 24 lít (các mối ghép nối khi gò hàn chiếm diện tích không đáng kể. Lấy 3,14   ). Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu? A. 2 1,8062m . B. 2 2,2012m . C. 2 1,5072m . D. 2 1,2064m . Câu 2: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Một con xoay được thiết kế gồm hai khối trụ 1 ( ) T , 2 ( ) T chồng lên khối nón (N)(Tham khảo mặt cắt ngang qua trục như hình vẽ). Khối trụ 1 ( ) T có bán kính đáy ( ) r cm , chiều cao 1 ( ) h cm . Khối trụ 2 ( ) T có bán kính đáy 2 ( ) r cm , chiều cao 2 1 2 ( ) h h cm  . Khối nón (N) có bán kính đáy ( ) r cm , chiều cao 1 4 ( ) n h h cm  . Biết rằng thể tích toàn bộ con xoay bằng 3 31( ) cm . Thể tích khối nón (N) bằng A. 3 5( ) cm . B. 3 3( ) cm . C. 3 4( ) cm . D. 3 6( ) cm . Câu 3: (Đặng Thành Nam Đề 5) Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm , được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 7 . B. 1 3 . C. 3 5 . D. 1 2 . Câu 4: (THTT lần5) Một quả tạ tập tay gồm ba khối trụ   1 H ,   2 H ,   3 H gắn liền nhau lần lượt có bán kính và chiều cao tương ứng là 1 1 , r h , 2 2 , r h , 3 3 , r h thỏa mãn 1 3 r r  , 1 3 h h  ; 2 1 1 3 r r  (xem hình vẽ). Biết thể tích của toàn bộ quả tạ bằng 60  và chiều dài quả tạ bằng 9. Thể tích khối trụ   2 H bằng? A.   1 1 16 9 2 4 9 h h    . B.   1 1 36 9 2 4 9 h h    C.   1 1 60 9 2 4 9 h h    D.   1 1 46 9 2 4 9 h h    Câu 5: (Chuyên Thái Nguyên) Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 3 18 dm  .Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 3 27 dm  . B. 3 6 dm  . C. 3 9 dm  . D. 3 24 dm  . Câu 6: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính đáy 1 m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị 3 m ). ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 23,562 m . B. 3 12,637 m . C. 3 6,319 m . D. 3 11 ,781m . Câu 7: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo 0 120 . Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được. . A. 20 S   . B. 20 30 3 S    . C. 12 18 3 S    . D. 20 25 3 S    . Câu 8: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là V , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ bằng V và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu? A. 3 2   V r . B. 3  r V . C. 3 2   V r . D. 3 2  V r . Câu 9: (Trần Đại Nghĩa) Nam muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 3 72m . Đáy làm bằng bêtông giá 100 nghìn đồng 2 / m , thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng 2 / m , nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng 2 / m . Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất? A.   3 3 m . 2  B.   3 3 m .  C.   3 3 m .  D.   3 2 m .  Câu 10: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: đường sinh 10 , l m  bán kính đáy 5 . R m  Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của . SB Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử. A. 15m . B. 10 m . C. 5 3 m . D. 5 5 m . 5 m 0,5 m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 11: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 2 81m người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là   x m . Giả sử chiều sâu của ao cũng là   x m . Tính thể tích lớn nhất V của ao. A.   3 13,5 V m   . B.   3 27 V m   . C.   3 36 V m   . D.   3 72 V m   . Câu 12: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 3 27cm với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: A. 6 4 2 3 2 r   . B. 8 6 2 3 2 r   . C. 8 4 2 3 2 r   . D. 6 6 2 3 2 r   . Câu 13: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12  (cm 3 ) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là. A.   2 (12 13 15) cm   . B.   2 12 13 cm  . C.   2 12 13 15 cm . D.   2 (12 13 15) cm   Câu 14: Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là 30cm . Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15cm (hình 1 H ). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên ( hình 2 H ) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần với giá trị nào sau đây ? A.   1,553 cm . B.   1,306 cm . C.   1,233 cm D.   15 cm . H2 H1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 15: Cho một đồng hồ cát như hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 0 60 . Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là   3 1000 cm  . Nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới. khi đó tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu A. 1 8 B. 1 27 C. 1 3 3 D. 1 64 Câu 16: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm Câu 17: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau, biết rằng nếu kem tan chảy hết sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích kem sau khi tan chảy bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi , h r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỷ số h r A. 3 h r  B. 2 h r  C. 4 3 h r  D. 16 3 h r  Câu 18: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng và đáy gọi là hình nón cụt. Một chiếc cốc có dạng hình nón cụt cao 9 , cm bán kính của đáy cốc và miệng cốc lần lượt là và 4 . cm Hỏi chiếc cốc có thể chứa được lượng nước tối đa là bao nhiêu trong số các lựa chọn sau: A. 250ml B. 300ml C. 350ml D. 400ml Câu 19: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa). A.   2 700 cm  B.   2 754, 25 cm  C.   2 750, 25 cm  D.   2 756, 25 cm  B R h x O L E H M 10cm 30cm A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 20: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất? A. 0,68. B. 0,6. C. 0,12. D. 0,52. Câu 21: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Khi sản xuất hộp mì tôm các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống dưới đáy hộp. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của hộp mì tôm. Thớ mì tôm có dạng hình trụ, hộp mì có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm . Nhà sản xuất tìm cách sao cho thớ mì tôm có được thể tích lớn nhất vì mục đích thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó. A. 48  . B. 81 2  . C. 36  . D. 54  . Câu 22: Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. Câu 23: Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay   H , một mặt phẳng chứa trục của   H cắt   H theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của   H (đơn vị 3 cm ). A.   23 H V   . B.   13 H V   . C.   41 3 H V   . D.   17 H V   . Câu 24: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm 1 hình trụ ở giữa và 2 nửa hình cầu ở 2 đầu, biết rằng hình cầu có đường kính 1,8m và 2 3 0,33 0,11 0, 21 0,08 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay chiều dài của hình trụ là 3, 62 . m Hỏi bồn đó có thể chứa tối đa bao nhiêu lít xăng trong các giá trị sau đây? A. 10905l B. 23650l C. 12265l D. 20201l Câu 25: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 4 h   chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và tám khối cầu nhỏ có bán kính bằng 1 sao cho các khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ và các khối cầu đều tiếp xúc với các mặt hình hộp. Thể tích khối hộp là: A. 32 32 7  B. 48 32 5  C. 64 32 7  D. 64 5 Câu 26: Một bang giấy dài được cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh một ống lõi hình trụ rỗng có đường kính 12,5 . C mm  Biết độ dày của giấy cuộn là 0,6mm và đường kính cả cuộn giấy là 44,9 . B mm  Tính chiều dài l của cuộn giấy. A. 44 L m  B. 38 L m  C. 4 L m  D. 24 L m  Câu 27: (Thị Xã Quảng Trị) Một ly nước hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy bằng 4 cm . Bạn Nam đổ nước vào ly cho đến khi mực nước cách đáy ly 17 cm thì dừng lại. Sau đó, Nam lấy các viên đá lạnh hình cầu có cùng bán kính 2 cm thả vào ly nước. Bạn Nam cần dùng ít nhất bao nhiêu viên đá để nước trào ra khỏi ly? A. 4. B. 7. C. 5. D. 6. Câu 28: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tấm tôn có kích thước 1 20 m cm  (biết giá 2 1m tôn là 90000 đồng) bằng 2 cách: Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ như hình 1. Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật như hình 2. Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp là 3 9955 / dong m . Chi phí trong tay thầy hiệu trưởng là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách làm nào để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán). Hình 1 1m 20m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình 2 A. Cả 2 cách như nhau B. Không chọn cách nào C. Cách 2 D. Cách 1 Câu 29: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào ra ngoài là 3 16 ( ) 9 dm  . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy R của bình nước. A. 3( ). R dm  B. 4( ). R dm  C. 2( ). R dm  D. 5( ). R dm  Câu 30: Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3 , dm một người dự định tính tạo thành các hình trụ (không đáy) theo hai cách sau: Cách 1: Gò hai mép hình vuông để thành mặt xunng quanh của một hình trụ, gọi thể tích của khối trụ đó là 1 . V Cách 2: Cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là 2 . V Khi đó, tỉ số 1 2 V V là: A. 3 B. 2 C. 1 2 D. 1 3 Câu 31: Một chiếc hộp hình lập phương cạnh a bị khoét một khoảng trống có dạng là một khối lăng trụ với hai đáy là hai đường tròn nội tiếp của hai mặt đối diện của hình hộp. Sau đó, người ta dùng 1m 4m 4m 6m 6m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt của chiếc hộp lại như cũ, chỉ chừa lại khoảng trống bên trong. Tính thể tích của khoảng trống tạo bởi khối trụ này. A. 3 a  B. 3 1 2 a  C. 3 1 4 a  D. 3 1 8 a  Câu 32: Người ta dùng một loại vải vintage để bọc quả khối khí của khinh khí cầu, biết rằng quả khối này có dạng hình cầu đường kính 2 . m Biết rằng 2 1m vải có giá là 200.000 đồng. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này? A. 2.500.470 đồng B. 3.150.342 đồng C. 2.513.274 đồng D. 2.718.920 đồng Câu 33: Cho biết rằng hình chỏm cầu có công thức thể tích là   2 2 3 6 h r h   , trong đó h là chiều cao chỏm cầu và r là bán kính đường tròn bề mặt chỏm cầu ( bán kính này khác vớibán kính hình cầu ). Bài hỏi đặt ra là với một quả dưa hấu hình cầu, người ta dùng một cái ống khoét thủng một lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa như hình vẽ ( trong hình có AB là đường kính trái dưa). Biết rằng chiều cao của lỗ là 12cm ( trong hình trên, chiều cao này chính là độ dài HK ). Tính thể tích của phần dưa còn lại. A. 3 200 cm  B. 3 96 cm  C. 3 288 cm  D. 3 144 cm  Câu 34: người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng một elip với độ dài trục lớn bằng 8 độ dài trục bé bằng 4 để được một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu được thành một hình trụ không có đáy như hình bên. Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối trụ đó A.   3 128 3 cm  B.   3 64 3 2 cm  C.   3 64 3 3 cm  D.   3 128 3 2 cm  Câu 35: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. x B A H C B 2x A A B K O H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.   3 34 17 2 2 x cm   B.   3 34 19 2 2 x cm   C.   5 34 15 2 2 x cm   D.   5 34 13 2 2 x cm   Câu 36: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá làm vật liệu xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi h là chiều cao của thùng và bán kinh đáy là R . Tính tỷ số h R sao cho chi phí làm thùng là nhỏ nhất A. 2 h R  B. 2 h R  C. 3 2 h R  D. 6 h R  Câu 37: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 3 1000cm . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng A. 3 500  cm . B. 3 5 10.  cm . C. 500  cm . D. 5 10.  cm . Câu 38: Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm , chiều dài 6cm . Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6 5 6 cm cm cm   . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn? A. 17 . B. 15 . C. 16 . D. 18 . Câu 39: Một khối cầu có bán kính là   5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng   3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A.   3 100 3 dm  B.   3 43 3 dm  C.   3 41 dm  D.   3 132 dm  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 40: Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều dài lăn là 23cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là A. 2 1725 . cm  B. 2 3450 . cm  C. 2 1725 . cm  D. 2 862,5 . cm  Câu 41: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3 4 chiều cao của nó. Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó: A. 1 2 9 8 V V  . B. 1 2 3 2 V V  . C. 1 2 16 9 V V  . D. 1 2 27 8 V V  . Câu 42: Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng 5 , R cm  bán kính cổ 2 , 3 , r cm AB cm   6 , BC cm  16 . CD cm  Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng: A.   3 495 cm  . B.   3 462 cm  . C.   3 490 cm  . D.   3 412 cm  . Câu 43: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m Câu 44: Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính 6 R m  phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại? A. 66   B. 294   C. 12,56   D. 2,8   2 2 sin C c l    O N 6 m 23 cm 5 cm r R D C A B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 45: Một công ty nhận làm những chiếc thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu là 3 2 m  mỗi chiếc yêu cầu tiết kiệm vật liệu nhất. Hỏi thùng phải có bán kính đáy R và chiều cao h là bao nhiêu? A. 1 2 , 2 R m h m   . B. 1 , 8 2 R m h m   .C. 1 4 , 8 R m h m   . D. 1 , 2 R m h m   . Câu 46: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. 59,98cm B. 59,93cm C. 58,67 cm D. 58,80cm . Câu 47: Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm , miệng xô là đường tròn bán kính 30 cm , chiều cao xô là 80 cm . Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20000 đồng/ 3 1 m (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)? A. 35279 đồng. B. 38905 đồng. C. 42116 đồng. D. 31835 đồng. Câu 48: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm . Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành cốc dày 0,2cm . Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 3,67 cm . B. 2,67 cm . C. 3, 28cm . D. 2, 28cm . Câu 49: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h vào một cái lọ hình trụ cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn. Khi thể tích của lọ hình trụ lớn là: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 16 r h  B. 2 18 r h  C. 2 9 r h  D. 2 36 r h  Câu 50: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính 5 R  và chu vi của hình quạt là 8 10 P    , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: Câu 51: Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu Câu 52: Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu Gọi 1 V là thể tích của cái phễu thứ nhất, 2 V là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính 1 2 V V ? A. 1 2 21 7 V V  B. 1 2 2 21 7 V V  C. 1 2 2 6 V V  D. 1 2 6 2 V V  Câu 53: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm Câu 54: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R =10cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần số nguyên nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm cầu là 2 3         h V h R  ) A. 2 B. 4 C. 7 D. 10 Câu 55: Một người có một dải duy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải duy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? A. 3 4000 cm  B. 3 32000 cm  C. 3 1000 cm  D. 3 16000 cm  Câu 56: Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếu phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số thập phân). A. V =22,27 B. V =22,30 C. V =23.10 D. 20,64 Câu 57: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Người ta xếp ba viên bi có bán kính bằng nhau và bằng 3 vào một cái lọ hình trụ sao cho các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy của lọ hình trụ và các viên bi này đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính bán kính đáy của lọ hình trụ. A. 1 2 3  . B. 2 3 . C. 3 2 3 2  . D. 2 3  . Câu 58: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị ) A. 3 12,637m . B. 3 114,923m . C. 3 11,781m . D. 3 8,307m . Câu 59: (Chuyên Vinh Lần 2) Người ta sản xuất một vật lưu niệm bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục là hình thang cân. Bên trong có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là và tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy của . Tính thể tích của vật lưu niệm đó. 0,5m 3 m   N   N 3 R cm  1 r cm    N   N ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. . B. . C. . D. . Câu 60: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5, 4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng? A. 4, 2 . cm B. 3,6 . cm C. 2,7 . cm D. 2,6 . cm Câu 61: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019) Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có kích thước như nhau. Thể tích phần không gian còn trống trong hộp chiếm tỉ lệ % a so với thể tích của hộp bóng tennis. Số a gần nhất với số nào sau đây? A. 50 . B. 66 . C. 30 . D. 33 . Câu 62: Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau. . A. 256  . B. 512. C. 256 3  . D. 1024 3 .   3 485 6 cm    3 81 cm    3 72 cm    3 728 9 cm  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 92 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 1: (Ba Đình Lần2) Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, như hình vẽ dưới đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng 50, 24 lít (các mối ghép nối khi gò hàn chiếm diện tích không đáng kể. Lấy 3,14   ). Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu? A. 2 1,8062m . B. 2 2,2012m . C. 2 1,5072m . D. 2 1,2064m . Lời giải Chọn C Gọi tấm thép hình chữ nhật ban đầu là ABCD (Hình vẽ dưới), r là bán kính của hình tròn đáy. Diện tích hình chữ nhật ABCD là: . . S AB AD  Ta có 3 4 2 . h r h h r     Thể tích của khối trụ 2 2 3 . . 3,14. .2r 6,28r V r h r     . Theo bài ra 3 3 50,24 6,28 50,24 8 2. V r r r        Do 2 dm 0, 2 m 3 6 1,2 m; 2 . 1, 256 m. r AD h r AB r          Vậy 2 1,2.1,256 1,5072(m ). S   Câu 2: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Một con xoay được thiết kế gồm hai khối trụ 1 ( ) T , 2 ( ) T chồng lên khối nón (N)(Tham khảo mặt cắt ngang qua trục như hình vẽ). Khối trụ 1 ( ) T có bán kính đáy ( ) r cm , chiều cao 1 ( ) h cm . Khối trụ 2 ( ) T có bán kính đáy 2 ( ) r cm , chiều cao 2 1 2 ( ) h h cm  . Khối nón (N) có bán kính đáy ( ) r cm , chiều cao 1 4 ( ) n h h cm  . Biết rằng thể tích toàn bộ con xoay bằng 3 31( ) cm . Thể tích khối nón (N) bằng A B C D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 93 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 5( ) cm . B. 3 3( ) cm . C. 3 4( ) cm . D. 3 6( ) cm . Lời giải Chọn C Theo bài ta có 1 1 2 1 1 1 4 ; 2 4 2 n n n h h h h h h h      . Thể tích toàn bộ con xoay là 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 . . .(2 ) . . . 3 T T N n V V V V r h r h r h          2 2 2 1 1 1 31 . . .4 . . . 4 2 3 n n n r h r h r h        2 2 2 2 3 1 1 1 31 1 31 . . 6 . . . . 31 . . 4 3 3 3 4 3 n n n n r h r h r h r h                             2 1 . . 4 3 n r h    Vậy thể tích khối nón ( ) N là: 3 ( ) 4( ) N V cm  . Câu 3: (Đặng Thành Nam Đề 5) Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm , được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm . A. 3 7 . B. 1 3 . C. 3 5 . D. 1 2 . Lời giải Chọn A Gọi bán kính đáy của hình nón là r . Khi đó thể tích nước trong khối nón phía trên lúc ban đầu là: 2 .2 3 r  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 94 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Thể tích nước trong khối nón phía trên sau khi chảy xuống nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm là: 2 2 . .1 2 3 12 r r          Thể tích nước trong nón phía dưới sau khi nón trên chảy xuống là: 2 2 2 2 7 . 3 12 12 r r r      Gọi chiều cao nước trong nón dưới là h, bán kính đáy nước trong nón dưới là r  , khi đó: . 2 2 h r rh r r      Thể tích nước trong nón phía dưới là:   2 2 2 2 3 . 7 7 2 7. 3 12 3 12 rh h r h r r h                 Câu 4: (THTT lần5) Một quả tạ tập tay gồm ba khối trụ   1 H ,   2 H ,   3 H gắn liền nhau lần lượt có bán kính và chiều cao tương ứng là 1 1 , r h , 2 2 , r h , 3 3 , r h thỏa mãn 1 3 r r  , 1 3 h h  ; 2 1 1 3 r r  (xem hình vẽ). Biết thể tích của toàn bộ quả tạ bằng 60  và chiều dài quả tạ bằng 9. Thể tích khối trụ   2 H bằng? A.   1 1 16 9 2 4 9 h h    . B.   1 1 36 9 2 4 9 h h    C.   1 1 60 9 2 4 9 h h    D.   1 1 46 9 2 4 9 h h    Lời giải Chọn C Chiều dài quả tạ là 1 2 3 1 2 2 9 l h h h h h       2 1 9 2 h h    Thể tích quả tạ là       1 2 3 1 1 2 2 3 3 H H H V V V V r h r h r h          1 1 2 2 2 60 r h r h       1 1 2 2 2 60 r h r h      2 1 2 1 6 9 2 60 r h r h       2 1 9 4 60 r h    2 1 60 9 4 r h    Thể tích     2 2 2 1 1 60 9 2 9 4 H V r h h h         1 1 60 9 2 9 4 h h     . Câu 5: (Chuyên Thái Nguyên) Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 3 18 dm  .Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 3 27 dm  . B. 3 6 dm  . C. 3 9 dm  . D. 3 24 dm  . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 95 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vì đúng một nửa khối cầu chìm trong nước nên thể tích khối cầu gấp 2 lần thể tích nước tràn ra ngoài. Gọi bán kính khối cầu là R, lúc đó: 3 3 4 =36 27 3 R R     . Xét tam giác ABC có AC là chiều cao bình nước nên 2 AC R  ( Vì khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước) Trong tam giác ABC có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 4 3 R CB CH CA CB R R CB        . Thể tích khối nón: 2 2 3 3 1 1 4 8 . . . .2 . 24 3 3 3 9 n R V CB AC R R dm         . Vậy thể tích nước còn lại trong bình: 3 24 18 6 dm      Câu 6: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính đáy 1 m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị 3 m ). A. 3 23,562 m . B. 3 12,637 m . C. 3 6,319 m . D. 3 11 ,781m . Lời giải Chọn B Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào đáy hình trụ như hình vẽ sau 5 m 0,5 m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 96 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có H là trung điểm OB nên OAB  là tam giác đều. Suy ra  60 AOB   và  120 AOC   nên hình quạt chứa cung nhỏ  AC có diện tích là 2 1 3 3 S r     . Khi đó diện tích phần tô đậm trên hình vẽ là 1 OAC S S S   1 .0,5. 3 3 2    3 3 4    . Và thể tích dầu được rút ra là 1 1 3 . 5. 3 4 V h S             . Thể tích bồn chứa dầu hình trụ là 2 5 V r h     . Thể tích dầu còn lại trong bồn là 2 1 V V V   3 5 5. 3 4              10 5 3 3 4      3 12,637 m  . Cách khác: Có thể tính diện tích phần tô đậm bằng tích phân 1 2 1 1 2 2 1 d S x x    . Câu 7: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo 0 120 . Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được. . A. 20 S   . B. 20 30 3 S    . C. 12 18 3 S    . D. 20 25 3 S    . Lời giải Chọn B. y x S 1 -1 1 C A 0,5 B O H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 97 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi giao tuyến của mặt phẳng cắt với đáy còn lại là đoạn CD . Kẻ các đường sinh , CC DD   . Khi đó ABD C   là hình chữ nhật. Góc 0 120 6 3 OC D C D        ; 6 BD   ;  60 o AOC   . Gọi  là góc giữa mặt cắt và mặt đáy.  2 2 8 3 cos cos 5 8 6 DBD       . Thiết diện cần tìm có hình chiếu xuống đường tròn đáy tâm O là phần hình nằm giữa cung C D   và cung AB . Áp dụng công thức hình chiếu cos HChieu S S   ; Và    1 3 60 2 2 .6.6. . .36 2 2 360 HChieu AOB AOC S S S                    18 3 12    . Do đó 20 30 3. S    . . Câu 8: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là V , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ bằng V và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu? A. 3 2   V r . B. 3  r V . C. 3 2   V r . D. 3 2  V r . Lời giải Chọn C Ta có 2 đáy S r   ; 2   xq S rh . Thể tích khối trụ 2 . đáy đáy V V V S h h S r      . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 tp xq đáy V V S S S r rh r r r r r               . Xét hàm số   2 2 2    V f r r r , có   2 2 4 V f r r r     ;   3 2 2 0 4 2 V V f r r r r         . Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại 3 2   V r . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 98 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vậy khi 3 2   V r thì diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 9: (Trần Đại Nghĩa) Nam muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 3 72m . Đáy làm bằng bêtông giá 100 nghìn đồng 2 / m , thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng 2 / m , nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng 2 / m . Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất? A.   3 3 m . 2  B.   3 3 m .  C.   3 3 m .  D.   3 2 m .  Lời giải Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung Chọn B Gọi bán kính đáy của hình trụ là R (m) và chiều cao là h (m). Do thể tích khối trụ là 72 nên 2 2 72 72 R h h R      . Diện tích đáy là 2 R  . Diện tích xung quanh là 2 72 144 2 2 . Rh R R R      . Chi phí làm bình là: 2 2 2 2 2 3 3 144 12960 100. 90. 140. 240 6480 6480 6480 6480 240 3 240 . . 6480 . T R R R R R R R R R R R                 Dấu bằng xảy ra khi 2 3 6480 6480 3 240 . R R R R       Câu 10: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: đường sinh 10 , l m  bán kính đáy 5 . R m  Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của . SB Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử. A. 15m . B. 10 m . C. 5 3 m . D. 5 5 m . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 99 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có: SAB  cân và SB AB  SAB   đều Diện tích xung quanh hình nón là   2 50 xq S Rl m     Vẽ   P đi qua C và vuông góc với . AB Mặt phẳng   P cắt hình nón theo thiết diện là một Elip Khi đó, chiều dài dây đèn điện tử ngắn nhất chính là chiều dài dây cung AC trên Elip. * Ta dùng phương pháp trải hình ra sẽ thấy ngay như sau Hình trải dài là một hình quạt với AB là độ dài nửa đường tròn và   . 5 AB R m       2 0 1 S 2 . 1 360.25 25 25 90 2 360 .10 AB ASB R S S ASB             Vậy SAC  vuông tại S và 2 2 5 5. AC SA SC    Câu 11: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 2 81m người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là   x m . Giả sử chiều sâu của ao cũng là   x m . Tính thể tích lớn nhất V của ao. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 100 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.   3 13,5 V m   . B.   3 27 V m   . C.   3 36 V m   . D.   3 72 V m   . Lời giải Chọn A. Phương pháp Xác định bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, sử dụng công thức 2 V R h   tính thể tích của hình trụ. +) Lập BBT tìm GTLN của hàm thể tích. Cách giải Ta có: Đường kính đáy của hình trụ là 9 2x   Bán kính đáy hình trụ là 9 2 2 x  . Khi đó ta có thể tích ao là     2 2 9 2 9 2 2 4 4 x V x x x f x               Xét hàm số     2 3 2 9 2 4 36 81 f x x x x x x      với 9 0 2 x   ta có:   2 9 2 ' 12 72 81 0 3 2 x f x x x x              BBT: Dựa vào BBT ta thấy   max 3 54 2 f x x    . Khi đó   3 max 27 .54 13,5 4 2 V m       . Câu 12: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 3 27cm với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: A. 6 4 2 3 2 r   . B. 8 6 2 3 2 r   . C. 8 4 2 3 2 r   . D. 6 6 2 3 2 r   . Hướng dẫn giải: Chọn B Thể tích của cốc: 2 2 2 1 81 81 1 27 . V r h r h h r           Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 101 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 81 1 81 1 2 2 2 2 xq S rl r r h r r r r r              2 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 81 1 81 1 81 1 81 1 2 2 3 . . 2 2 2 2 r r r r r r           4 6 4 81 2 3 4    (theo BĐT Cauchy) xq S nhỏ nhất 2 8 8 4 6 6 2 2 2 2 81 1 3 3 2 2 2 r r r r          . Câu 13: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12  (cm 3 ) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là. A.   2 (12 13 15) cm   . B.   2 12 13 cm  . C.   2 12 13 15 cm . D.   2 (12 13 15) cm   Hướng dẫn giải: Gọi R1 là bán kính đường tròn đáy hình nón lúc đầu; h 1 là chiều cao của hình nón lúc đầu. Gọi R2 là bán kính đường tròn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h 2 là chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích. Ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 4 3 3 3 V R h R R         2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 3 1 4 2 6 3 V R h V R V R h R R V R h h                     Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:   2 1 1 1 3 16 9 15 xp S R l cm        Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích:   2 2 2 2 6 16 36 12 13 xp S R l cm        Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là:     2 12 13 15 S cm    Chọn A. Câu 14: Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là 30cm . Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15cm (hình 1 H ). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên ( hình 2 H ) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần với giá trị nào sau đây ? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 102 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.   1,553 cm . B.   1,306 cm . C.   1,233 cm D.   15 cm . Lời giải Chọn B Phễu có dạng hình nón, gọi E là đỉnh, đáy là đường tròn tâm O, bán kính OA chiều cao 30 OE cm  . Gọi V là thể tích của khối nón có đỉnh E , đáy là đường tròn tâm O, bán kính OA. Ta có 2 2 1 . . 10 3 V OA OE OA     Gọi M là trung điểm của đoạn OE , N là trung điểm của đoạn EA .Khi đổ nước vào phễu chiều cao của cột nước là 15 EM cm  . Gọi 1 V là thể tích của khối nón có đỉnh E , đáy là đường tròn tâm M , bán kính MN .  Thể tích nước là 2 2 2 1 1 5 . . 5 . . 3 4 V MN EM MN OA       1 1 8 V V   Khi bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên, chiều cao của cột nước là OP . Gọi 2 V là thể tích của khối nón có đỉnh E , đáy là đường tròn tâm P , bán kính PQ Ta có 2 2 1 7 7 8 8 V V V V V V      2 2 1 . . 7 3 1 8 . . 3 PQ PE OA OE       2 2 . 7 1 . 8 PQ PE OA OE   Ta có PEQ  vuông tại P và OEA  vuông tại O có   OEA PEQ  PEQ   và OEA  đồng dạng PQ PE OA OE   H2 H1 M A O E N P O A E Q ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 103 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay B Do đó   3 7 1 8 PE OE         3 7 2 PE OE   3 7 2 OE OP OE    3 7 1 2 OP OE            3 7 30 1 2           1,306cm  Câu 15: Cho một đồng hồ cát như hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 0 60 . Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là   3 1000 cm  . Nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới. khi đó tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu A. 1 8 B. 1 27 C. 1 3 3 D. 1 64 Đặt   0 0 60 1 OE x OH y x y x y              Ta có 2 2 0 2 2 1 1 . . .HM .y 1000 3 3 tan 60 . HM .y 3000 ; 3 3 EL x x y EL HM EL x x y EL HM                           3 3 9000 2 x y    .Từ         10 1 , 2 20 x cm y cm         Khi cát chảy hết xuống dưới 3 1 8 cat chiemcho duoi V x V y         Câu 16: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm Hướng dẫn giải: : Đặt 50 a cm  . Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là   , , 0 x y x y  . Ta có 2 2 2 2 SA SH AH x y     Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là 2 2 2 tp S x x x y      Theo giả thiết ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x y a x x y x a           I H J O A S x y O N L E H M x O L E H M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 104 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay R h     2 2 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 , : 2 x x y a x a x x y a x a x DK x a x y a              Khi đó thể tích khối nón là: 4 4 2 2 2 2 1 1 . . . 3 2 3 2 a y V y a y a y a       V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 2 y a y  đạt giá trị nhỏ nhất Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 y a a a y y a y y y      Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2a y y  , tức là 2 25 2 a y a x cm     Chọn D. Câu 17: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau, biết rằng nếu kem tan chảy hết sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích kem sau khi tan chảy bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi , h r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỷ số h r A. 3 h r  B. 2 h r  C. 4 3 h r  D. 16 3 h r  Hướng dẫn giải: Thể tích kem ban đầu:   3 4 3 kem bd V R   Thể tích phần ốc quế: 2 1 . . 3 oc que V R h   Ta có   2 3 3 1 3 4 . . . 3 4 3 4 3 ocque kem bd h V V R h R R        Câu 18: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng và đáy gọi là hình nón cụt. Một chiếc cốc có dạng hình nón cụt cao 9 , cm bán kính của đáy cốc và miệng cốc lần lượt là và 4 . cm Hỏi chiếc cốc có thể chứa được lượng nước tối đa là bao nhiêu trong số các lựa chọn sau: A. 250ml B. 300ml C. 350ml D. 400ml Hướng dẫn giải: 3 3 4 4 AG GC AGC ABC AG AB AB BD         x O L E H M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 105 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3 27 9 4 AG AG AG      Suy ra coc nonlon non nho V V V     2 2 1 1 . .4 . 27 9 . .3 .27 111 348,72 3 3 ml         Vậy lượng nước tối đa là 300 . ml Chọn B. Câu 19: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa). A.   2 700 cm  B.   2 754, 25 cm  C.   2 750, 25 cm  D.   2 756, 25 cm  Hướng dẫn giải: 2 2 35 2 hinhtron S R           ; 35 20 2 2 .30 450 2 xqlang tru S rl              2 35 450 756,25 . 2 S                    Chọn D. Câu 20: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất? A. 0,68. B. 0,6. C. 0,12. D. 0,52. Hướng dẫn giải: Gọi x   0 x  là bán kính đáy của lon sữa. Khi đó 2 2 V V x h h x      . Diện tích toàn phần của lon sữa là 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 , 0 V S x x xh x x x x x x x x                 Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số 2 4 ( ) 2 S x x x    , 0 x      2 3 4 4 1 0 0,6827 S x x x S x x           Câu 21: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Khi sản xuất hộp mì tôm các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống dưới đáy hộp. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của hộp mì tôm. Thớ mì tôm có dạng hình trụ, hộp mì có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm . Nhà sản xuất tìm cách sao cho thớ mì tôm có được thể tích lớn nhất vì mục đích thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó. 10cm 30cm A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 106 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 48  . B. 81 2  . C. 36  . D. 54  . Lời giải Chọn A  Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt r là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ. Thớ mì tôm có được thể tích lớn nhất khi khối trụ có thể tích lớn nhất. Thể tích khối trụ là: 2 V r h   . Ta có hai tam giác SAI và SA I   đồng dạng. 9 6 3 9 9 2 SI AI r h SI A I h r            . Khi đó 3 2 2 2 3 3 . . . . 9 9 2 2 r r V r h r r                      .  Khảo sát hàm số V , biến số   0 6 r r   . 2 9 18 2 r V r            .     2 0 9 0 18 0 2 4 r l r V r r n                     . Bảng biến thiên: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 107 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max 48 V   khi 4 r  . Vậy thớ mì tôm có thể tích lớn nhất là 48  . Câu 22: Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là và . Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là và Do đó thể tích lượng nước trong bình là Phần không chứa nước chiếm Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón và ta gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước đó. Ta có và phần thể tích hình nón không chứa nước là Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp ngược ly là Câu 23: Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay   H , một mặt phẳng chứa trục của   H cắt   H theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của   H (đơn vị 3 cm ). 2 3 0,33 0,11 0, 21 0,08 h R 2 3 h 2 . 3 R 8 27 V  19 . 27 V ' h ' R ' ' R h R h  19 27 V 3 3 2 2 ' 19 ' 19 ' 19 . ' . . . 3 27 3 27 3 h h h h R R h h               3 ' 3 19 1 . 3 h h    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 108 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.   23 H V   . B.   13 H V   . C.   41 3 H V   . D.   17 H V   . Hướng dẫn giải: Chọn C. Thể tích khối trụ là 2 1.5 .4 9 tru V Bh      . Thể tích khối nón là 2 1 2 .4 1 3 6 3 non V     . Thể tích phần giao là: . 2 1 3 2 1 .2 3 p giao V     . Vậy   16 2 41 3 3 3 9 H V         . Câu 24: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm 1 hình trụ ở giữa và 2 nửa hình cầu ở 2 đầu, biết rằng hình cầu có đường kính 1,8m và chiều dài của hình trụ là 3, 62 . m Hỏi bồn đó có thể chứa tối đa bao nhiêu lít xăng trong các giá trị sau đây? A. 10905l B. 23650l C. 12265l D. 20201l Hướng dẫn giải: Ta có: 2 tru V R h   Vì thể tích của 2 nửa hình cầu bằng nhau nên tổng thể tích của 2 nửa hình cầu là 1 khối cầu có 3 4 . 3 c V R   Vậy 2 3 3 4 12,265 3 H tru C V V V R h R m        Vậy bồn xăng chứa: 12265 . l Chọn C. Câu 25: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 4 h   chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và tám khối cầu nhỏ có bán kính bằng 1 sao cho các khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ và các khối cầu đều tiếp xúc với các mặt hình hộp. Thể tích khối hộp là: A. 32 32 7  B. 48 32 5  C. 64 32 7  D. 64 5 Hướng dẫn giải: Gọi tâm hình cầu lớn là I và tâm bốn hình cầu nhỏ tiếp xúc với đáy là . ABCD Khi đó ta có . I ABCD là hình chóp đều với cạnh bên 3 IA  và cạnh đáy 2 AB  do đó chiều cao hình chóp là 7 . Suy ra khoảng cách từ tâm I đến mặt đáy là 1 7  hay chiều cao hình hộp chữ nhật là:   2 1 7  suy ra thể tích hình hộp là   32 1 7 .  3,62m 1,8m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 109 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Chọn A. Câu 26: Một bang giấy dài được cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh một ống lõi hình trụ rỗng có đường kính 12,5 . C mm  Biết độ dày của giấy cuộn là 0,6mm và đường kính cả cuộn giấy là 44,9 . B mm  Tính chiều dài l của cuộn giấy. A. 44 L m  B. 38 L m  C. 4 L m  D. 24 L m  Hướng dẫn giải: Gọi chiều rộng của băng giấy là r , chiều dài băng giấy là L độ dày của giấy là m khi đó ta có thể tích của băng giấy:   . . 1 V r m L  Khi cuộn lại ta cũng có thể tích:     2 2 2 2 . . 2 2 24 4 B C V m m r B C                    Từ     1 , 2 suy ra:     2 2 2 2 . . 4 4 m r L r B C L B C m        Câu 27: (Thị Xã Quảng Trị) Một ly nước hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy bằng 4 cm . Bạn Nam đổ nước vào ly cho đến khi mực nước cách đáy ly 17 cm thì dừng lại. Sau đó, Nam lấy các viên đá lạnh hình cầu có cùng bán kính 2 cm thả vào ly nước. Bạn Nam cần dùng ít nhất bao nhiêu viên đá để nước trào ra khỏi ly? A. 4. B. 7. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C Ta có thể tích phần không chứa nước 2 1 3. .4 48 V     . Như vậy để nước trào ra ngoài thì số bi thả vào cốc có tổng thể tích lớn hơn 48  . Gọi n là số viên bi tối thiểu thả vào cốc khi đó tổng thể tích của n viên bi là 3 2 4 32 . .2 3 3 n V n     . Theo bài ra 32 9 48 3 2 n n      . Vậy 5 n  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 110 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 28: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tấm tôn có kích thước 1 20 m cm  (biết giá 2 1m tôn là 90000 đồng) bằng 2 cách: Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ như hình 1. Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật như hình 2. Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp là 3 9955 / dong m . Chi phí trong tay thầy hiệu trưởng là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách làm nào để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán). Hình 1 Hình 2 A. Cả 2 cách như nhau B. Không chọn cách nào C. Cách 2 D. Cách 1 Hướng dẫn giải: Ở cách 2: 2 1 90.000 m  2 20 1.800.000 m  Ta có 3 0,8.6.4 19, 2 nuoc V m   Do đó tổng tiền ở phương án 2 là 19, 2.9955 20.90000 1.991.136.   Ở cách 2: 2 20 1.800.000 m  Ta có 2 2 3 10 10 20 2 0,8. . 25,46 nuoc r r V h r m                   Do đó tiền nước: 253.454 đồng Tổng tiền: 2.053.454 đồng. Vậy thầy nên chọn cách 2. Chọn C. Câu 29: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào ra ngoài là 3 16 ( ) 9 dm  . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy R của bình nước. A. 3( ). R dm  B. 4( ). R dm  C. 2( ). R dm  D. 5( ). R dm  Hướng dẫn giải: Chọn C. 1m 20m 1m 4m 4m 6m 6m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 111 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi , ' h h lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ. , R r lần lượt là bán kính của khối nón và khối trụ. Theo đề ta có: 3 , ' 2 . h R h R   Xét tam giác SOA ta có: ' 3 2 1 3 3 r IM SI h h R R R OA SO h R        1 3 r R   . Ta lại có: 2 3 2 trô 2 16 ' 2 9 9 9 R R V r h R           3 8 2 . R R dm     Câu 30: Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3 , dm một người dự định tính tạo thành các hình trụ (không đáy) theo hai cách sau: Cách 1: Gò hai mép hình vuông để thành mặt xunng quanh của một hình trụ, gọi thể tích của khối trụ đó là 1 . V Cách 2: Cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là 2 . V Khi đó, tỉ số 1 2 V V là: A. 3 B. 2 C. 1 2 D. 1 3 Hướng dẫn giải: Gọi 1 R là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có: 2 1 1 1 1 3 27 2 3 2 4 R R V R h           Gọi 2 R là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, có: 2 2 2 2 2 1 9 2 1 2 4 R R V R h           Chọn A. Câu 31: Một chiếc hộp hình lập phương cạnh a bị khoét một khoảng trống có dạng là một khối lăng trụ với hai đáy là hai đường tròn nội tiếp của hai mặt đối diện của hình hộp. Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt của chiếc hộp lại như cũ, chỉ chừa lại khoảng trống bên trong. Tính thể tích của khoảng trống tạo bởi khối trụ này. A. 3 a  B. 3 1 2 a  C. 3 1 4 a  D. 3 1 8 a  Hướng dẫn giải: C' D' B' C D O' O E A B A' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 112 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có 1 2 2 a OE BC   ; OO' a  Thể tích là: 2 3 2 . .OO' . . . 2 4 a a V OE a             Chọn C. Câu 32: Người ta dùng một loại vải vintage để bọc quả khối khí của khinh khí cầu, biết rằng quả khối này có dạng hình cầu đường kính 2 . m Biết rằng 2 1m vải có giá là 200.000 đồng. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này? A. 2.500.470 đồng B. 3.150.342 đồng C. 2.513.274 đồng D. 2.718.920 đồng Hướng dẫn giải: 2 4 mat cau S R   Với   1 . 2 d R m   Vậy   2 2 4 .1 4 mat cau S m     Vậy cần tối thiểu số tiền: 4 .200000 2.513.274   đồng. Chọn C. Câu 33: Cho biết rằng hình chỏm cầu có công thức thể tích là   2 2 3 6 h r h   , trong đó h là chiều cao chỏm cầu và r là bán kính đường tròn bề mặt chỏm cầu ( bán kính này khác vớibán kính hình cầu ). Bài hỏi đặt ra là với một quả dưa hấu hình cầu, người ta dùng một cái ống khoét thủng một lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa như hình vẽ ( trong hình có AB là đường kính trái dưa). Biết rằng chiều cao của lỗ là 12cm ( trong hình trên, chiều cao này chính là độ dài HK ). Tính thể tích của phần dưa còn lại. A. 3 200 cm  B. 3 96 cm  C. 3 288 cm  D. 3 144 cm  Hướng dẫn giải: Đặt r là bán kính của hình cầu. Chiều cao của lỗ là 12 nên chiều cao của chỏm cầu lag 6. r  Bán kính của chỏm cầu, cũng là bán kính đáy của hình trụ và là: 2 36 r  Thể tích hình trụ là   2 12 36 . r   Thể tích 2 chỏm cầu:             2 2 2 2 6 3 36 6 6 4 12 72 6 3 r r r r r r               Thể tích cái lỗ là:       2 2 6 4 12 72 12 36 3 r r r r                  2 3 3 2 3 6 4 24 144 4 6 4 12 72 4 6 12 6 288 3 3 3 3 r r r r r r r r r                          Thể tích hình cầu là 3 4 3 r  nên thể tích cần tìm là: 288 V   . Chọn C. A B K O H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 113 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 34: người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng một elip với độ dài trục lớn bằng 8 độ dài trục bé bằng 4 để được một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu được thành một hình trụ không có đáy như hình bên. Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối trụ đó A.   3 128 3 cm  B.   3 64 3 2 cm  C.   3 64 3 3 cm  D.   3 128 3 2 cm  Hướng dẫn giải: Ta có   2 2 2 1 : 1 16 64 16 2 x y E y x      . Chu vi 1 đáy của hình trụ 2 2 x R x R      Ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 16 16 . . . 16 16 2 tru x AH x h x V R h x x x                      Đặt         3 2 2 2 0 32 32 16 4 4 ' ' 0 32 16 3 x x x f x x x x f x f x x x                        max 32 128 3 128 3 max 3 9 9 f x f V                TỔNG QUÁT: Elip có độ dài trục lớn 2a , trục bé 2b khi đó   2 max 4 3 3 tru a b V   Câu 35: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. A.   3 34 17 2 2 x cm   B.   3 34 19 2 2 x cm   C.   5 34 15 2 2 x cm   D.   5 34 13 2 2 x cm   Hướng dẫn giải: Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là 4 MNPQ S S xy   Cạnh hình vuông   40 20 2 2 2 MP MN cm    x B A H C B 2x A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 114 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   2 20 2 4 800 4 S xy xy      (1) Ta có 2 20 2 20 2 40 20 2 x AB MN AB BD         0 20 10 2 x     Lại có   2 2 2 2 2 2 40 2 20 2 1600 AB AD BD x y        2 2 2 800 80 2 4 800 80 2 4 y x x y x x         Thế vào   2 2 3 4 1 800 4 800 80 2 4 800 4 800 80 2 4 S x x x x x x          Xét hàm số   2 3 4 800 80 2 4 f x x x x    , với   0;20 10 2 x   có     2 3 2 ' 1600 240 2 16 16 100 15 2 f x x x x x x x       Ta có         2 0; 20 10 2 0;20 10 2 5 34 15 2 2 ' 0 16x 100 15x 2 0 x x x f x x                       Khi đó 5 34 15 2 2 x   chính là giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn C. Câu 36: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá làm vật liệu xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi h là chiều cao của thùng và bán kinh đáy là R . Tính tỷ số h R sao cho chi phí làm thùng là nhỏ nhất A. 2 h R  B. 2 h R  C. 3 2 h R  D. 6 h R  Hướng dẫn giải: Gọi V là thể tích của khối trụ, T là giá tiền cho một đơn vị xq S Ta có 2 2 . .h h tru tru V V R R      Ta có 2 2 2 2 2 2 . 2 . day tru tru xq S R V V S R h R R R              Giá vật liệu để làm 2 đáy là: 2 2 2 2 .3 6 . d G R T T R     , Giá vật liệu làm xung quanh thùng 2 . tru xq V G T R  Giá vật liệu làm thùng là:   2 2 2 3 2 . . . 6 . 6 . 3 6 . tru tru tru thung tru V T V T V T G T R T R V T const R R R           2 2 3 3 min . 3 6 . 6 . 6 6 tru thung tru tru V T h G V T T R V R R R           Câu 37: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 3 1000cm . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng A. 3 500  cm . B. 3 5 10.  cm . C. 500  cm . D. 5 10.  cm . Hướng dẫn giải: Chọn A. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 115 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi h   cm là chiều cao hình trụ và R   cm là bán kính nắp đậy. Ta có: 2 1000 V R h    . Suy ra 2 1000 h R   . Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần tp S của hình trụ nhỏ nhất. Ta có: 2 2 2 1000 2 2 2 2 . tp S R Rh R R R          3 2 2 2 3 1000 1000 1000 1000 2 3. 2 . . 3 2 .1000 R R R R R R         Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3 1000 500 2 R R R      . Câu 38: Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm , chiều dài 6cm . Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6 5 6 cm cm cm   . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn? A. 17 . B. 15 . C. 16 . D. 18 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Có 3 cách xếp phấn theo hình vẽ dưới đây: Nếu xếp theo hình 1 H : vì đường kính viên phấn là 2.0,5 1cm  nên mỗi hộp xếp được tối đa số viên phấn là: 6.5 30  . Nếu xếp theo hình 2 H : hàng 6 viên xen kẽ hàng 5 viên. Gọi số hàng xếp được là 1, n n     . Ta có ABC  đều cạnh bằng 1 3 2 CM   . Ta phải có 3 8 2.0,5 . 5 2 3 n n      xếp tối đa được 5 hàng  mỗi hộp xếp được tối đa số viên phấn là: 3.6 2.5 28   . Nếu xếp theo hình 3 H :hàng 5 viên xen kẽ hàng 4 viên. Gọi số hàng xếp được là 1, m m     . Ta phải có 3 10 2.0,5 . 6 2 3 m m      xếp tối đa được 6 hàng  nên mỗi hộp xếp được tối đa số viên phấn là: 3.5 3.4 27   . Vậy, xếp theo hình 1 H thì xếp được nhiều phấn nhất, nên cần ít hộp nhất. Ta có 460 : 30 15,3   cần ít nhất 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn. Câu 39: Một khối cầu có bán kính là   5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng   3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. M A B C H 1 H 2 H 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 116 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 23 cm 5 cm A.   3 100 3 dm  B.   3 43 3 dm  C.   3 41 dm  D.   3 132 dm  Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn 2 2 ( ) : ( 5) 25 C x y    . Ta thấy nếu cho nửa trên trục Ox của   C quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng   H giới hạn bởi nửa trên trục Ox của   C , trục Ox , hai đường thẳng 0, 2 x x   quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có 2 2 2 ( 5) 25 25 ( 5) x y y x          Nửa trên trục Ox của   C có phương trình 2 2 25 ( 5) 10 y x x x       Thể tích vật thể tròn xoay khi cho   H quay quanh Ox là:   2 2 3 2 2 1 0 0 52 10 d 5 3 3 x V x x x x                Thể tích khối cầu là: 3 2 4 500 V .5 3 3     Thể tích cần tìm:   3 2 1 500 52 2 2. 132 3 3 V V V dm         Câu 40: Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều dài lăn là 23cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là A. 2 1725 . cm  B. 2 3450 . cm  C. 2 1725 . cm  D. 2 862,5 . cm  Hướng dẫn giải: Chọn B. Diện tích xung quanh của mặt trụ là 2 2 2 .5.23 230 xq S Rl cm       . Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là: 2 230 .15 3450 S cm     . Câu 41: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3 4 chiều cao của nó. Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó: A. 1 2 9 8 V V  . B. 1 2 3 2 V V  . C. 1 2 16 9 V V  . D. 1 2 27 8 V V  . Hướng dẫn giải: Chọn A. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 117 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay R=5 r=2 M C F B E r R D C A B Gọi 1 r là bán kính quả bóng, 2 r là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén. Theo giả thiết ta có 1 1 2 2 h r r h    và 1 2 4 r h OO    . Ta có 2 2 2 2 2 3 2 4 16 h h r h                . Thể tích của quả bóng là 3 3 3 1 1 4 4 1 3 3 2 6 h V r h             và thể tích của chén nước là 2 3 2 2 3 . 16 V B h r h h      1 2 8 . 9 V V   Câu 42: Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng 5 , R cm  bán kính cổ 2 , 3 , r cm AB cm   6 , BC cm  16 . CD cm  Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng: A.   3 495 cm  . B.   3 462 cm  . C.   3 490 cm  . D.   3 412 cm  . Hướng dẫn giải: Thể tích khối trụ có đường cao CD :   2 3 1 . 400 V R CD cm     . Thể tích khối trụ có đường cao AB :   2 3 2 . 12 V r AB cm     . Ta có 5 4 2 MC CF MB MB BE     Thể tích phần giới hạn giữa BC :     2 2 3 3 . . 78 3 V R MC r MB cm      . Suy ra:   3 1 2 3 490 V V V V cm      . Chọn C. Câu 43: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m Hướng dẫn giải: 2 2 sin C c l    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 118 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn.( như hình vẽ) Ta có và , suy ra cường độ sáng là: . Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi , khi đó Câu 44: Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính 6 R m  phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại? A. 66   B. 294   C. 12,56   D. 2,8   Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau: Gọi ( ) x m là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa). Khi đó 2 2 x x r r      2 α l N M Đ I h sin h l   2 2 2 h l   2 3 2 ( ) ( 2) l C l c l l        2 4 2 6 ' . 0 2 . 2 l C l c l l l           ' 0 6 2 C l l l     6 l  O N 6 m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 119 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là 2 2 2 2 2 4 x h R r R      Thể tích khối nón sẽ là: 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 4 4 x x V r h R        Đến đây các em đạo hàm hàm ( ) V x tìm được GTLN của ( ) V x đạt được khi 2 6 4 3 x R     Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là: 2 4 R    0 0 2 6 4 360 66 2 6         Câu 45: Một công ty nhận làm những chiếc thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu là 3 2 m  mỗi chiếc yêu cầu tiết kiệm vật liệu nhất. Hỏi thùng phải có bán kính đáy R và chiều cao h là bao nhiêu? A. 1 2 , 2 R m h m   . B. 1 , 8 2 R m h m   .C. 1 4 , 8 R m h m   . D. 1 , 2 R m h m   . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi R là bán kính đáy thùng ( m ), h : là chiều cao của thùng ( m ). ĐK: 0, 0 R h   Thể tích của thùng là: 2 2 2 2 R 2 2 V h R h h R         Diện tích toàn phần của thùng là:   2 2 2 2 2 2 R 2 R 2 R 2 R 2 tp S h h R R R R R                          Đặt     2 2 2 0 f t t t t           với t R        3 3 2 2 4 1 1 ' 4 , ' 1 0 1 1 t f t t f t t t t                  Từ bảng biến thiên….. ta cần chế tạo thùng với kích thước 1 , 2 R m h m   Câu 46: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. 59,98cm B. 59,93cm C. 58,67 cm D. 58,80cm . Hướng dẫn giải: Chọn D. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 120 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Đặt , , b a h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ " 4 BB b   và cung lớn " 4 AA a   . Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: 2 2 2 . .cos2 (1). l BO OA BO OA         2 2 ( ) . B A AB a b h           4 ( ) . 1 1 2 4 2 (AA ) a a l BB OA OB AB AB AB b b b OB OB b l                    2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ). ( ) a b a b a AB a b h           2 2 ( ) 1 ( ) b a b h AB a a b OB b OB b b a b          . 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ). b a b h OA OB BA a b h c a b            Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được . l 58,79609 58,80 l cm   Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung  BB   tại điểm nào khác B, tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của  BB   tại . B Điều này tương đương với 1 2 cos . b a          Tuy nhiên, trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó). Câu 47: Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm , miệng xô là đường tròn bán kính 30 cm , chiều cao xô là 80 cm . Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20000 đồng/ 3 1 m (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 121 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 35279 đồng. B. 38905 đồng. C. 42116 đồng. D. 31835 đồng. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta xét hình nón đỉnh A, đường cao 80 cm h  đáy là đường tròn tâm O, bán kính bằng 30 cm . Mặt phẳng    cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến là đường tròn tâm ' O có bán kính bằng 20 cm . Mặt phẳng    chia hình nón thành 2 phần. Phần I là phần chứa đỉnh A , phần II là phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ) Ta có ' ' ' 2 ' 160 cm ' ' 3 O B AO AO AO OC AO AO O O       Thể tích hình nón 2 3 1 . .30 72000 cm 3 V AO     Thể tích phần I là 2 3 1 1 64000 '. .20 cm 3 3 V AO     Vậy thể tích cái xô là thể tích phần II là   3 3 2 1 152000 19 cm m 3 375 V V V       Vậy số tiền phải trả là 19 .10.20000 31835 375 T    đồng. Câu 48: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm . Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành cốc dày 0,2cm . Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 3,67 cm . B. 2,67 cm . C. 3, 28cm . D. 2, 28cm . Hướng dẫn giải: Chọn D. Thành cốc dày 0,2cm nên bán kính đáy trụ bằng 2,8cm . Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình trụ bằng 8cm . Thể tích khối trụ là     2 3 . 2,8 .8 197,04 V cm    . Đổ 120ml vào cốc, thể tích còn lại là   3 197,04 120 77,04 cm   . Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng 3 3 4 5. . .1 20,94 ( ) 3 bi V cm    . Thể tích cốc còn lại   3 77,04 20,94 56,1 cm   . Ta có   2 56,1 '. . 2,8 ' 2, 28 h h cm     . Cách khác: Dùng tỉ số thể tích   2 8. 2,8 . 8 5,72 4 120 5. . 3 coc Tr nuoc bi nuoc bi nuoc bi nuoc bi h V h V V h h             Chiều cao còn lại của trụ là 8 5,72 2, 28   . Vậy mặt nước trong cốc cách mép cốc là 2, 28cm . Câu 49: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h vào một cái lọ hình trụ cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn. Khi thể tích của lọ hình trụ lớn là: A. 2 16 r h  B. 2 18 r h  C. 2 9 r h  D. 2 36 r h  Hướng dẫn giải: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 122 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy của hình đã cho như trên, khi đó ta rõ ràng nhận ra rằng 3 , R r  đề bài thì có vẻ khá phức tạp, tuy nhiên nếu để ý kĩ thì lại rất đơn giản. Vậy khi đó   2 2 . 3 . . 9 . V B h r h r h      Câu 50: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính 5 R  và chu vi của hình quạt là 8 10 P    , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: Câu 51: Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu Câu 52: Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu Gọi 1 V là thể tích của cái phễu thứ nhất, 2 V là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính 1 2 V V ? A. 1 2 21 7 V V  B. 1 2 2 21 7 V V  C. 1 2 2 6 V V  D. 1 2 6 2 V V  Hướng dẫn giải: Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R. Do đó độ dài cung tròn là 8 l   Theo cách thứ nhất: 8  chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là 2 8 4 r r      Khi đó 2 2 2 2 5 4 3 h R r      2 1 1 .3 .4 3 V    Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là 8   chu vi của một đường tròn đáy là 4 4 2 r 2 r        Khi đó 2 2 2 2 5 2 21 h R r      2 2 1 2. 21.2 . 3 V    Khi đó 2 1 2 4 2 21 7 8 21 3 V V   Câu 53: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm Hướng dẫn giải: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 123 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Đặt 50  a cm Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là   , , 0  x y x y . Ta có 2 2 2 2     SA SH AH x y Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là 2 2 2    tp S x x x y   Theo giả thiết ta có     2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 , : 2                     x x x y a x x y x a a x x y a x x x y a x a x DK x a x y a    Khi đó thể tích khối nón là 4 4 2 2 2 2 1 1 . . . 3 2 3 2     a y V y a y a y a   V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 2  y a y đạt giá trị nhỏ nhất Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2      y a a a y y a y y y Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2  a y y , tức là 2 25 2     a y a x cm Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng biến thiên cũng được nhé Câu 54: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R =10cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần số nguyên nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm cầu là 2 3         h V h R  ) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 124 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 B. 4 C. 7 D. 10 Hướng dẫn giải: Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện: 0 < 2x 5 (loại) x2  2,0940 < 5 (thỏa mãn), và x 3  - 1,8197 (loại). Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm). Câu 55: Một người có một dải duy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải duy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? A. 3 4000 cm  B. 3 32000 cm  C. 3 1000 cm  D. 3 16000 cm  Hướng dẫn giải: Một bài toán thực tế khá hay trong ứng dụng của việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Ta nhận thấy, dải duy băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh cái hộp, do đó chiều dài của dải duy băng chính là tổng chu vi của hai hình chữ nhật đó. Tất nhiên chiều dài duy băng đã phải trừ đi phần duy băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là:   22 2 120 30 2 r h h r      Khi đó thể tích của hộp quà được tính bằng công thức:     2 3 2 . . 30 2 2 30 V B h r r r r         ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 125 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Xét hàm số   3 2 2 30 f r r r    trên   0;15       2 0 ' 6 60 ; ' 0 10 r l f r r r f r r           Khi đó vẽ BBT ta nhận ra       0;10 10 Max f r f  . Khi đó thể tích của hộp quà 2 . .10 .10 1000 V B h      Câu 56: Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếu phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số thập phân). A. V =22,27 B. V =22,30 C. V =23.10 D. 20,64 Hướng dẫn giải: Gọi , R h lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón (phễu). Thiết diện của hình nón song song với đáy của hình nón, qua tâm của viên gạch là hình tròn có bán kính 1 3  R thỏa mãn   1 2 2 . 3 1      R h h R R h h Thiết diện của hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm trên đáy của hình nón là hình tròn có bán kính 2 1  R thỏa mãn   2 2 2 2 2 . 1 2      R h h R R h h Từ (1) và (2) suy ra 2 5 2 6 3 2 2 2       h h h và 2 3 1   R Thể tích lượng nước còn lại trong phễu là  V Vnón - Vgạch 2 3 1 2 22,2676 3    R h  Câu 57: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Người ta xếp ba viên bi có bán kính bằng nhau và bằng 3 vào một cái lọ hình trụ sao cho các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy của lọ hình trụ và các viên bi này đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính bán kính đáy của lọ hình trụ. A. 1 2 3  . B. 2 3 . C. 3 2 3 2  . D. 2 3  . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 126 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi 1 2 3 , , O O O lần lượt là tâm của ba viên bi và 1 2 3 3 r r r    là bán kính của ba viên bi đó. Theo giả thiết thì ba đường tròn lớn của ba viên bi đôi một tiếp xúc với nhau , khi đó ba điểm 1 2 3 , , O O O tạo thành một tam giác đều cạnh 2 3 . Gọi O là trọng tâm của tam giác 1 2 3 OO O thì 1 2 3 2 3 .2 3. 2 3 2 OO OO OO     . Cũng theo giả thiết thì ba viên bi tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ tại 3 điểm nằm trên một đường tròn bằng đường tròn đáy của lọ hình trụ (tham khảo hình vẽ trên). Vậy bán kính đáy của lọ hình trụ là 3 3 2 3 OM OO O M     . Câu 58: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị ) A. 3 12,637m . B. 3 114,923m . C. 3 11,781m . D. 3 8,307m . Hướng dẫn giải: Nhận xét 0,5 22 2 R OB OH CH     suy ra OHB  là tam giác nửa đều   60 120 HOB AOB       Suy ra diện tích hình quạt OAB là: 2 1 1 3 3 S R     Mặt khác: 2 3 3 2 4 4 AOB HOB BOC OB S S S        ( BOC  đều) O 3 O 2 O 1 M O 0,5m 3 m B A H O C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 127 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vậy diện tích hình viên phân cung AB là 1 3 3 4   Suy ra thể tích dầu được rút ra: Thể tích dầu ban đầu: Vậy thể tích còn lại: 3 2 1 12,637 V V V m    . Chọn A. Câu 59: (Chuyên Vinh Lần 2) Người ta sản xuất một vật lưu niệm bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục là hình thang cân. Bên trong có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là và tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy của . Tính thể tích của vật lưu niệm đó. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có: Mà nên là khối nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy bé là và Trong có nên Vậy thể tích của là Câu 60: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết 1 1 3 5. 3 4 V            2 5. .1 5 V       N   N 3 R cm  1 r cm    N   N   3 485 6 cm    3 81 cm    3 72 cm    3 728 9 cm  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 IO O H IO H IO H IO O H       2 1 4 IO IO   2 1 6 ; 2 ; 1 ; 9 IO cm IO cm IK cm IO cm       N 1 r 2 r 1 1 IO H   1 1 1 sin 2 O IH  1 2 1 3 3; 3 r r     N     2 2 3 1 2 1 2 1 728 3 9 V r r r r h cm       ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 128 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5, 4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng? A. 4, 2 . cm B. 3,6 . cm C. 2,7 . cm D. 2,6 . cm Lời giải Chọn C Gọi 1 V là thể tích của viên billiards snooker và r là bán kính của nó ( ĐK: 0 4,5 r   ). Gọi 2 , V V lần lượt là thể tích của khối trụ trước và sau khi thả viên billiards snooker vào. Khi đó: 1 2 V V V   (1). Ta có 3 2 2 1 2 4 .r ; .5,4 .4,5 131, 22. ; .5, 4 .2 58,32 . . 3 V V V r r           Thay vào (1) ta có phương trình: 3 3 4 4 .r 131, 22. 58,32 . . 58,32. 131,22 0 3 3 r r r          (2). Giải phương trình (2) ta được 1 4,83 r  (loại); 2 7,53 r   (loại); 3 2,7 r  (Thỏa mãn). Vậy 2, 7 . r cm  Câu 61: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019) Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có kích thước như nhau. Thể tích phần không gian còn trống trong hộp chiếm tỉ lệ % a so với thể tích của hộp bóng tennis. Số a gần nhất với số nào sau đây? A. 50 . B. 66 . C. 30 . D. 33 . Lời giải Chọn D Gọi r là bán kính của quả bóng tennis. Khi đó bán kính đáy hộp bằng r và chiều cao hộp bằng 6r . Khi đó thể tích hộp bóng hình trụ: 2 2 3 6 6 V r h r r r       . Thể tích một quả bóng tennis: 3 1 4 3 V r   . Suy ra thể tích ba quả bóng tennis là 3 1 3 4 V r   . Thể tích phần không gian còn trống trong hộp là 3 3 3 2 1 3 6 4 2 V V V r r r         . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 129 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có: 3 2 3 2 1 % % % 6 3 V r a a a V r        . Suy ra 33 a  . Câu 62: Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau. . A. 256  . B. 512. C. 256 3  . D. 1024 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1. Ta xét 1 8 phần giao của hai trụ như hình. . Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. . Khi đó phần giao   H là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính 4 , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích   2 2 4 S x x   . Thể tích khối   H là     4 2 4 0 0 12 3 16 8 x S x dx dx      . Vậy thể tích phần giao là 1024 3 . Cách 2. Dùng công thức tổng quát giao hai trụ 3 16 1024 3 3 V R   . Xem và tải về miễn phí Tài liệu liên quan Loga.vn
  • Tài liệu
× Loga.vn

Tài liệu này đã sẵn sàng để bạn tải về

Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán - Trắc nghiệm VD – VDC nón – trụ – cầu – Đặng Việt Đông TẢI NGAY

Từ khóa » Khối Tròn Xoay Là Vật Thể Nào Sau đây (2.5 điểm) đai ốc 6 Cạnh Quả Bóng đá Hộp Phấn Bao Diêm