Triển Khai Taylor Maclaurin - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (15 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

Triển khai Taylor Maclaurin

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.17 KB, 15 trang )

Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrangef có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0:KHAI TRIỂN TAYLORf ( x)  f  x0  f   x0 f   x0  x  x0   x  x0 21!2!f ( n )  x0   x  x0 n  Rnn!f ( n 1)  c Rn  x  x0 n 1 , c nằm giữa x và x0(n  1)!(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)Công thức khai triển Taylor với phần dư Peanof có đạo hàm cấp n tại x0: f(x): biểu thức phức tạpf   x0 f   x0  x  x0   x  x0 21!2!f ( x)  f  x0  f(n) x0  x  x n  o ( x  x )n 0 0n!Phần dư Peano.x0 = 0: khai triển Maclaurin.Ý nghĩa của khai triển Taylor cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằngf(x) để thuận tiện trong tính toán.Hàm đơn giản nhất là đa thức.f(x) = sinxf(x) = sinxf ( x )  x  o( x )f(x) = sinxf(x) = sinx4x 2 n 1f ( x)   (1) o( x 7 )(2n  1)!n 1nf ( x )  x  o( x )x3f ( x )  x   o( x 3 )3!f ( x )  x  o( x )x3f ( x )  x   o( x 3 )3!Ví dụ 1.f ( x) Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cậnx = 1 cho1f ( x) xf ( x) (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1)đến (x – 1)3)•Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.f (1)f (1)( x  1) ( x  1) 21!2!f (1)( x  1)3  o ( x  1)33!2 f (1)  2x3246f (4) ( x)  5f(1)6xx4f (1)f (1)f ( x)  f (1) ( x  1) ( x  1) 21!2!f (1)( x  1)3  o ( x  1)33!Nếu dùng phần dư Lagrange:f (x)  1 (x 1)  (x 1)2  (x 1)3  R3126f (x)  1 (x 1)  (x 1)2  (x 1)3  o (x 1)31!2!3!1 f (1)  12xf ( x)   1 (x 1)  (x 1)2  (x 1)3  o (x 1)3f ( x)  •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.f ( x)  f (1) 1 f (1)  1xPhần dư Peanof(4)24( x)  5xf ( 4 ) (c ) R3 ( x  1) 44!1 24( x  1) 44( x  1) 4! c5c5Ví dụ 2Ví dụ 3Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan xBiết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = 1,f ( x)  2 tan x(1  tan 2 x)f ( x)  1  tan 2 xf ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)f ( x)  2(1  tan 2 x)  6 tan 2 x(1  tan 2 x)Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0f (0)f (0)f ( x)  f (0) ( x  0) ( x  0) 21!2!f (0)( x  0)3  o ( x  0)33! Khai triển Taylor của f đên cấp 3 khôngcó phần dư.tan x  x f (x)  f (2) 3x o( x 3 )3f ( x)  f (2) Khai triển Maclaurin các hàm cơ bảnf (2)f (2)f (2)(x  2) (x  2)2 (x  2)31!2!3!1412 0  ( x  2)  ( x  2)2  ( x  2)31!2!3!(x  2)  2(x  2)2  2(x  2)3 f ( x)  1  4( x  2)  6( x  2)2f (2)f (2)f (2)( x  2) ( x  2) 2 ( x  2)31!2!3!(x0 = 0)1. f ( x)  e xf ( k ) (0)e  f (0)  ( x  0) k  o ( x  0) nk!k 1nxf ( k ) ( x)  e x  f ( k ) (0)  1nBiết(1) là1,đaf thức(1)  bậc1 3, với f(2) = 0, f’(2) = 1, f f(x)f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)1 kx  o( x n )k 1 k !e  1 x3. f ( x)  (1  x)2. f ( x)  ln(1  x)f ( k ) (0) kln(1  x)  f (0)  x  o xnk!k 1nf(k ) (1) k 1 (k  1)!( x) (1  x) kf ( k ) (0) k(1  x)  f (0)  x  o xnk!k 1kk 1 xln(1  x)   (1) o( x n )kk 1xx  (  1)x2  1!2! (  1) (  n  1) nx  o( x n )n!3. f ( x)  sin xÁp dụng cho  =  1.(1  x)  1 n(1  x)  1 n (  1)f ( k ) (0)   (  1) (  k  1) f ( k ) (0)  (1) k 1 (k  1)!f ( k ) ( x)   (  1) (  k  1)(1  x)  kx2  1!2! (  1) (  n  1) nx  o( x n )n!1 1  x  x 2  x3    (1) n x n  o( x n )1 xf ( k ) ( x)  sin  x  k 2f (2 p )  0   0 f ( k ) (0)  sin kf (1) (0)  1, f (3) (0)  1, f (2 p 1) (0)   1sin x  f (0) 2 n 1k 0nsin x   (1)k 1k 1f ( k ) (0) kx  o x 2 n 1k!x 2 k 1 o x 2 n 1(2k  1)!2p 1Bảng công thức kt Maclaurin cơ bảnLưu ý cho hàm sin x2nsin x  f (0)  k 0x x2xne  1       o( x n )n!1! 2!xf ( k ) (0) kx  o x2nk! nx 2 x3n 1 xln(1  x)  x      (1) o( x n )n2 3f(2n)(0) = 0  hệ số của x2n là 0.nsin x   (1)k 1k 1x 2 k 1 o x2n(2k  1)!(1  x)  1   hay  o  x 2ncos x  1 2n (  1)x2  Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic2 n 1x3 x5n 1 xsin x  x      (1) o x 2 n 13! 5!(2n  1)!4x1!2! (  1) (  n  1) nx  o( x n )n!1 1  x  x 2  x3    (1) n x n  o( x n )1 x2 xxx    (1) n o x 2n2! 4!(2n)! hay  o  x 2 n 1x3 x5x 2 n 1sinh x  x      o x 2 n 13! 5!(2n  1)!x2 x4x2ncosh x  1      o x 2n2! 4!(2n)! Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu2 n 1x3 x5n 1 xarctan x  x      (1) o x 2 n 13 52n  1Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.Ví dụ áp dụng2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cậnx = 1 cho:f ( x)  ln( x  2)1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cậnx = 1 cho:f ( x) 1xu= x–1f ( x)  ln(3  u )  ln(1  2  u )x0 = 1  0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1(2  u ) 2 (2  u )3 2u o (2  u )323 1f ( x)  1  u  u 2  u3  o u31 uTrả về biến cũ:23f ( x)  1  ( x  1)  ( x  1)  ( x  1)  o ( x  1)3Sai! (u + 2)  0 khi u = 0 (hay x = 1).3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:f ( x)  ln(3  u )x 1f ( x) u0uu ln 3 1    ln 3  ln 1   3 323uu    u 3 u33 ln 3 o    233 3  111 ln 3  u  u 2  u 3  o(u 3 )3 1881Nhớ trả về xnx2 x3n1 xln(1 x)  x    (1) o(xn )2 3nf ( x) x2x  3x  421x26( x  1)( x  4) 5( x  1) 5( x  4)1 16 15 x  1 20 1  x4Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khaitriển đến bậc được yêu cầu.6 11 15 x  1 20 1  x41231  x  x  x  o( x 3 )523  x 3  6   x  x  x 1              o      20   4   4   4   4   f ( x) f ( x) 1 1725 3 x  x2 x  o( x 3 )2 832128ln(1  x) xxxx xx1  x     2! 6!2 3 4 2323lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứtự bậc từ thấp đến cao.2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g:g khai triển đến bậc (n – k)(và ngược lại).23f ( x )  e ln(1  x )x(0)khai triển cấp 3(1)4Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0. ln(1 + x) khai triển đến x3Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1 ex khai triển đến x21.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả cácBậc thấp nhất trong khai triển của f là k1 1  x  x 2  x3    (1) n x n  o( x n )1 xex4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3cho:f ( x)  e x .ln(1  x)23x2f ( x)  1  x   o( x 2 )   x  x  x  o( x3 ) 2!2 3 x 2 x3 x    o( x 3 )2 35. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4cho:f ( x)  sin x.ln(1  x)2.Khai triển cấp 3:22f ( x)  sin x.ln(1  x)(1) (1)1.Khai triển cấp 4:33f ( x )  x  o( x 2 )f ( x)  sin x.ln(1  x)(1)(1)x3 x   o( x 3 )22xxx3 f ( x )   x   o( x 3 )   x    o( x ) 2 33!34xx x 2    o( x 3 )2 63237. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 32cho:f ( x)  e x  xĐặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0 khai triển Maclaurin của f theo u.Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũythừa từ x3 trở xuống.x22 xox()22    2! 3x  x2 3o   x  x 2  3!x  x2f ( x)  e x  x  1  x  x 2x  x2x12 11 1  x  x 2  x 2  x3  x3  o x326 15 1  x  x 2  x3  o x326Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xácđịnh bậc VCB của u theo x.2cos x 12ln(1  cos x 1)  cos x 1  o  cos x 1 8. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho:2f ( x )  ln(cos x )ln(cos x)  ln(1  cos x  1)1u  cos x  1  x 22khai triển f đến u24Cần khai triển đến x2cos x 12 o  cos x 1 ln(1  cos x 1)  cos x 1 29. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3cho:x2f ( x)  2x  3x  4x2 x4 1   o x4 12! 4!21  x2 x4 1    o x 4  1  o x 422! 4!  x2 x4    o x42 12 1  x2  1   o x 2  122! 2 x4 trong số hạng bìnhphương không sử dụngcos x chỉ cần khaitriển đến x21 2  x42 2 2 2 3 3x  x3x  x3x  x 1 o x3 4   4  4  (Mẫu số vô nghiệm)11f ( x)   2  x 43 x  x 2141  2  x42 2 2 2 3 3xx3xx3xx  o x31 4   4  4     13x 53 2  x  1   x2  x3   o x344 1664 1 51113 3 x  x2 x  o x32 832128 Cách 2: chia đa thức (xếp bậc từ thấp đến cao)x2f ( x)  2x  3x  44  3x  x 22 x1 51113 351 x  x2 xx  x228321282211 2 5 3x  x8813 x332  x2 x4  x2424 sin x 1 1   o(x ) 1  1  o(x ) 1  o(x )  2 24  22  1 2 5 4x3 x54 x  o( x 5 )   1  x  x  o( x ) 246 120  212 x  x 3  x 5  o( x 5 )31510. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho:f ( x)  tan x45sin x1 sin x tan x cos x1  cos x  1(1)(0) sin x  1  (cos x  1)  (cos x  1) 2  o (cos x  1) 2 22  x2 x4x sin x 1 1   o(x4) 1  1  o(x2) 1  o(x4)  2 24  2Cách 2:x3 x5x  o( x 5 )sin x6 120tan x cos xx2 x41    o( x 5 )2 24x3 x5x 6 1201 3 1 5x  x3302 x515x2 x41 2 2412x  x3  x531512tan x  x  x3  x5  o( x5 )315Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan xf ( x)  arctan xf ( x) 1 g ( x)1  x2Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n.g ( x)  1  x 2  x 4  x 6    (1) n x 2 n  o( x 2 n )f (0)  0f (0)  g (0)  1  2!f (0)  g (0)  1f (2 k ) (0)  g (2 k 1) (0)  0f (0)  g (0)  0f (2 k 1) (0)  g (2 k ) (0)  (1) k (2k )!Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0f ( x)  f (0)  f (0)f (0) 2 f (0) 3xx x 1!2!3!f (2 n ) (0) 2 n f (2 n  ) (0) 2 n 1x x o x 2 n 1(2n)!(2n )!2 n 1x3 x5n 1 xarctan x  x      (1) o x 2 n 13 52n  1Cách viết khai triển cho arctan là cách viếtkhai triển cho hàm ngược nói chung.Áp dụng trong tính đạo hàm.1. Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin2. Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức u(x) vớiđiều kiện u(x0) = 0.3. Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đếnbậc được yêu cầu.4. Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấpnhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàmcòn lại.5. Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n.B2: Xác định hệ số của (x – x0)n trong khai triển.B3: Giả sử hệ số trong B2 là a.f(n)(x0) = a.n!Ví dụ1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex.sinxKhai triển Maclaurin đến cấp 3 của f làx2x32 3 f ( x)  1  x  o( x )  x   o( x ) 2!3!33xxCác số hạng chứa x3 là:  3! 2!1 1 1 Hệ số của x3 là:   3! 2! 31 f (0)   3!  233. Tìm đh cấp 12, 13 tại x = 0, f ( x) 12  x3Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là1f ( x)  22311   x3   x3   x3   1        x32   2   2   2 1245 x3   x3        o   2   2 1 x12  1    0  o x13 2 16 2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0,f ( x)  ln(1  x  x 2 )Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là( x  x 2 ) 2 ( x  x 2 )3f ( x)  x  x  o( x3 )2311Các số hạng chứa x3 là:   2 x3   x33223 Hệ số của x là: 322 f (0)    3!  431 x12f ( x)   1    0  o x13 2 16  Hệ số của x12 là:132Hệ số của x13 là: 0 f (12) (0) 1 12! , f (13) (0)  0  13!32Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính ghnếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital)tính quá dài hoặc không tính được.2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợpthay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệttiêu. Do đó các biểu thức được khai triển đếnkhi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng,phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim.1.Tìm các hằng số a,p để VCB (x)  axp khi x → 0.a /  ( x)  x  sin xx3 x   x   o( x 3 ) 3!3x o( x 3 )3!x33!1a ,p36c /  ( x)  sin x  x cos xb /  ( x)  2 x  e x  e x 2 x  2sinh xx3 2 x  2  x   o( x 3 ) 3!Ví dụx326 x2x332  x   o( x )  x  1  o( x ) 62x3 o( x 3 )3x332.Tính giới hạn:e x  e tan xb / lim 3x 0 x  3 x 4x2a / lim 5x 0 1  5 x  x  1x2 lim11 11 x 0221  .5 x   1  5 x   o( x )  x  152! 5  5  limx 0x2 x2 o( x 2 )2e x  tan x  1 lim ex 0x3x  tan x lim1x 0x3x3x  x   o( x 3 )13 limx 03x3tan xx21 lim 2  x 0  x22

Tài liệu liên quan

• Đề thi cho cán bộ triển khai phòng hỗ trợ kỹ thuật
  • 3
  • 428
  • 1
• Khen thưởng Olympic sinh viên toàn quốc 2012 và họp báo viên chủ nhiệm,ban cán sự triển khai công tác sinh viên
  • 54
  • 429
  • 0
• Thương mại điện tử - Chương 5: Triển khai và quản lý hoạt động trong thương mại điện tử
  • 26
  • 697
  • 1
• Kỹ năng triển khai áp dụng hệ thống quản lý chất lượng theo tiêu chuẩn ISO 9001:2008
  • 1
  • 796
  • 6
• Giới thiệu về chữ ký số triển khai áp dụng chữ ký số trong thủ tục hải quan điện tử
  • 32
  • 677
  • 4
• Kĩ năng triển khai áp dụng hệ thống quản lý chất lượng theo tiêu chuẩn ISO 9001-2008
  • 1
  • 642
  • 2
• Thu viện ĐH KH-TN triển khai chương trình kiến thức thông tin
  • 7
  • 398
  • 2
• kế hoạch triển khai an toàn giao thông
  • 2
  • 1
  • 2
• SKKN.CHONG HS BỎ HỌC.NEN TRIEN KHAI
  • 29
  • 579
  • 1
• Kế hoạch triển khai trường học thân thiện học sinh tích cực trường THCS Maọh khê II
  • 4
  • 749
  • 3

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(192.17 KB - 15 trang) - Triển khai Taylor Maclaurin Tải bản đầy đủ ngay ×