Trong Không Gian (Oxyz), Cho đường Thẳng (Delta :left{ Begin{array ...

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = t + 4\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):z – 3 = 0\). Một đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { – 1\,;\,0\,;\,3} \right)\), cắt \(\Delta \) và tạo với \(\left( P \right)\) một góc \(45^\circ \) có phương trình là

A. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – t – 1\\y = – t\\z = t + 3\end{array} \right.\). B. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = – t – 1\\z = t – 3\end{array} \right.\). C. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – t\\z = t + 3\end{array} \right.\). D. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = – t + 1\\z = t + 2\end{array} \right.\).LỜI GIẢI CHI TIẾT Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm, \(A\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \). Khi đó: \(A\left( {2t\,;\,t\,;\,t + 4} \right)\) và \(\overrightarrow {MA} = \left( {2t + 1\,;\,t\,;\,t + 1} \right)\) là vecto chỉ phương của \(d\). Do \(\left( {d\,;\,\left( P \right)} \right) = 45^\circ \Rightarrow \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {{{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {t^2} + {{\left( {t + 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {6{t^2} + 6t + 2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = \frac{1}{2}\left( {6{t^2} + 6t + 2} \right) \Leftrightarrow 2{t^2} + t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Với \(t = 0 \Rightarrow d\) nhận \(\overrightarrow {MA} = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\) làm vecto chỉ phương \( \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = t – 1\\y = 0\\z = t + 3\end{array} \right.\) (không có đáp án) Với \(t = – \frac{1}{2} \Rightarrow d\) nhận \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {MA} = \left( {0\,; – 1;\,1} \right)\) làm vecto chỉ phương\( \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = – t\\z = t + 3\end{array} \right.\) Điểm \(\left( { – 1\,;\,1\,;\,2} \right)\) thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = – t\\z = t + 3\end{array} \right.\).