Trong Không Gian Oxyz, Cho Mặt Cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y ...

Trang chủ » Trong Không Gian Oxyz Cho Mặt Cầu S X2+y2+z2+2x-2z-7=0 » Trong Không Gian Oxyz, Cho Mặt Cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y ...

Có thể bạn quan tâm

  • Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Bạn đang ở:Trang chủ / Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu và các dạng toán liên quan / Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right), B\left( {2; – 6; – 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b + c bằng

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right), B\left( {2; – 6; – 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b + c bằng

A. -1 B. 1 C. 3 D. 2

Lời Giải: Đây là các bài toán toạ độ Mặt cầu trong phần Hình học OXYZ.

Ta có \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \frac{3}{2}\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 1;2;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Vì \(IA = \sqrt 2 > R\) và \(IB = \sqrt {82} > R\) nên hai điểm A, B nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Gọi K là trung điểm đoạn thẳng AB thì \(K\left( {1; – 2; – 1} \right)\) và K nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right).\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)\)

\( = M{K^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB}  = M{K^2} – K{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \(M{K^2}\) nhỏ nhất, tức là MK nhỏ nhất.

Đánh giá: Ta có \(IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK \ge IK – R\).

Suy ra MK nhỏ nhất bằng IK – R, xảy ra khi I, M, K thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm I, K. Như vậy M là giao điểm của đoạn thẳng IK và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {IK} = \left( {2; – 4; – 2} \right), IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM\).

Suy ra \(\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ – 4 = 4\left( {b – 2} \right)\\ – 2 = 4\left( {c – 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy a + b + c = 1

===============

==================== Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu và các dạng toán liên quan

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bình luận *

Tên *

Email *

Trang web

Δ

Sidebar chính

Nhập từ cần tìm ...

MỤC LỤC

Từ khóa » Trong Không Gian Oxyz Cho Mặt Cầu S X2+y2+z2+2x-2z-7=0