Trong Không Gian Oxyz Cho Mặt Cầu ( S ):x^2 + Y^2 + ( Z - Tự Học 365

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\,\sqrt 2 } \right)\) bán kính \(R = \sqrt 3 \).

Ta có : \(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = \sqrt 2 < R\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Dề có tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua \(A\) thì \(AI \ge R = \sqrt 3 \,\,\left( 1 \right)\).

Có \(A \in \left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow A\left( {a;b;0} \right)\), \(IA = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2} \).

Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua \(A\) của \(S\) là một mặt nón nếu \(AI > R\) và là một mặt phẳng nếu \(AI = R\).

+) TH1 : Quỹ tích là mặt phẳng thì chắc chắn có ít nhất \(2\) tiếp tuyến của \(S\) đi qua \(A\) và vuông góc với nhau.

+) TH2 : Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua \(A\) của \(\left( S \right)\) là một mặt nón, gọi \(AM\) và \(AN\) là hai tiếp tuyến sao cho \(A,N,I,N\) đồng phẳng.

Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua \(A\) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\widehat {MAN} \ge {90^0}\) \( \Leftrightarrow IA \le R\sqrt 2 = \sqrt 6 \,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\sqrt 3 \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2} \le \sqrt 6 \Leftrightarrow 1 \le {a^2} + {b^2} \le 4\).

Do \(a,b \in \mathbb{Z}\) nên \({a^2} + {b^2} \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

+ TH1 : \({a^2} + {b^2} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{b^2} = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 0\end{array} \right.\) nên có \(4\) bộ số thỏa mãn.

+ TH2 : \({a^2} + {b^2} = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 1\end{array} \right.\) nên có \(4\) bộ số thỏa mãn.

+ TH3 : \({a^2} + {b^2} = 3\) thì không có \(a,b \in \mathbb{Z}\) nên loại.

+ TH4 : \({a^2} + {b^2} = 4\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{b^2} = 4\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 0\end{array} \right.\) nên có \(4\) bộ số thỏa mãn

Vậy có \(4 + 4 + 4 = 12\) bộ số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn bài toán hay có \(12\) điểm \(A\).

Chọn A.