Trong Không Gian Với Hệ Tọa độ Oxyz Cho Tam Giác ABC Vuông Tại C ...

Có thể bạn quan tâm

KHỞI ĐỘNG CHO MÙA THI ĐẠI HỌC 2026

Ôn đúng trọng tâm – Học chắc từ hôm nay

BẮT ĐẦU NGAY

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC vuông tại C góc ABC=60^0AB=3 căn 2 đường thẳng

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C, \(\widehat{ABC}={{60}^{0}},AB=3\sqrt{2}\), đường thẳng AB có phương trình \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+8}{-4}\), đường thẳng AC nằm trên mặt phằng \(\left( \alpha \right):x+z-1=0.\) Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi (a, b, c) là tọa độ của C, giá trị của \(a+b+c\) bằng

A. 3 B. 2 C. 4 D. 7

Đáp án đúng: C

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Gọi \(A\left( 3+t;4+t;-8-4t \right)\in \left( AB \right)\), mà \(A\in \left( \alpha \right)\Rightarrow 3+t-8-4t-1=0\Leftrightarrow -3t-6=0\Leftrightarrow t=-2\)

\(\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right)\)

Gọi \(B\left( 3+t';4+t';-8-4t' \right)\in \left( AB \right)\,\,\left( 3+t'>0\Leftrightarrow t'>-3 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,A{B^2} = {\left( {3 + t' - 1} \right)^2} + {\left( {4 + t' - 2} \right)^2} + {\left( { - 8 - 4t'} \right)^2} = {\left( {t' + 2} \right)^2} + {\left( {t' + 2} \right)^2} + {\left( { - 4t' - 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 18 = 18t{'^2} + 72t' + 72 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3; - 4} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow{AC}=\left( a-1;b-2;c \right),\overrightarrow{BC}=\left( a-2;b-3;c+4 \right)\)

\(\Delta ABC\) vuông tại C nên \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( a-2 \right)+\left( b-2 \right)\left( b-3 \right)+c\left( c+4 \right)=0\) \(\Leftrightarrow {{a}^{2}}-3a+2+{{b}^{2}}-5b+6+{{c}^{2}}+4c=0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(\widehat{ABC}={{60}^{0}}\Rightarrow BC=AB.\cos {{60}^{0}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) \(\Leftrightarrow B{{C}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}=\frac{9}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mà \(C\in \left( \alpha \right)\Rightarrow a+c-1=0\Leftrightarrow c=1-a\).

Thay c = 1 – a vào (1) ta có:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,{{a}^{2}}-3a+2+{{b}^{2}}-5b+6+{{\left( 1-a \right)}^{2}}+4\left( 1-a \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-3a+2+{{b}^{2}}-5b+6+{{a}^{2}}-2a+1+4-4a=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-9a-5b+13=0\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align}\)

Thay c = 1 – a vào (2) ta có:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}=\frac{9}{2} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+4+{{b}^{2}}-6b+9+{{a}^{2}}-10a+25=\frac{9}{2} \\ & \Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-14a-6b+\frac{67}{2}=0\,\,\,\,\left( 4 \right) \\ \end{align}\)

\(\left( 3 \right)-\left( 4 \right)\Leftrightarrow 5a+b=\frac{41}{2}\Leftrightarrow b=\frac{41}{2}-5a\)

Thay ngược lại vào (3) ta có:

\(\begin{align} & 2{{a}^{2}}+{{\left( \frac{41}{2}-5a \right)}^{2}}-9a-5\left( \frac{41}{2}-5a \right)+13=0 \\ & \Leftrightarrow 27{{a}^{2}}-189a+\frac{1323}{4}=0\Leftrightarrow a=\frac{7}{2} \\ & \Rightarrow b=3,\,\,c=-\frac{5}{2} \\ & \Rightarrow a+b+c=\frac{7}{2}+3-\frac{5}{2}=4 \\ \end{align}\)

Chọn C.

Ý kiến của bạn Hủy

Luyện tập

Phòng tự luyện, thi thử
Khóa học, tài liệu
Cách tự học

Câu hỏi liên quan

Câu 2: Đề thi thử THPT Hà Trung - Thanh Hóa

Chi tiết
Giải phương trình : z3 + i = 0
Chi tiết
câu 2

Chi tiết
Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức.
Chi tiết
câu 7

Chi tiết
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho z1 = là số thực và z2 = là số ảo.
Chi tiết
Giải phương trình 31 – x – 3x + 2 = 0.
Chi tiết
Giải phương trình: (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0
Chi tiết
Giải phương trình 72x + 1 – 8.7x + 1 = 0.
Chi tiết
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d: = = và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
Chi tiết