Tuyệt Kĩ Các Phương Pháp Kết Hợp Máy Tính Bỏ Túi Giải Phương Trình ...

Tải bản đầy đủ (.pdf) (69 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Ôn thi Đại học - Cao đẳng
>>
3. Toán học

Tuyệt kĩ các phương pháp kết hợp máy tính bỏ túi giải phương trình, bất phương trình ôn thi THPTQG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (432.54 KB, 69 trang )

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016TẬP 1TUYỆT KĨ CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢPMÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢIPHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH LTĐHĐINH VĂN PHÚC(Cao học viên khóa 2013-2015 ĐHSP Huế)Huế, Tháng 10 Năm 2015Mục lụcLời nói đầu21 Kiến thức chuẩn bị41.1Chia đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2Phương trình bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2.11.2.2Phân tích một biểu thức bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ứng dụng của định lí vi ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451.2.3Giải bất phương trình bậc 2 bằng máy tính casio fx-570Vn Plus . . . . .51.3Phương trình bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.41.5Giải phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Một số đánh giá cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .781.5.1Các phương pháp đánh giá hay dùng trong giải phương trình-bất phươngtrình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.69Một số phương trình vô tỷ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong các đề thi Đại học152.1 Phương pháp liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1Liên hợp khi phương trình chỉ có một nghiệm đẹp . . . . . . . . . . . . . 162.1.2Liên hợp khi đã biết hai nghiệm đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.22.1.3 Liên hợp khi biết một nghiệm xấu của phương trình . . . . . . . . . . . . 22Phương pháp denta tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3Phương pháp hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4Phương pháp đưa về đồng bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.52.6Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3 hoặc bậc nhất theohệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7Phương pháp đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.82.9Luyên tập võ công . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48VƯỢT MÔN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.10 Bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 Lời giải và bình luận đề thi ĐH phần phương trình-bất phương trình từ2009-2015591LỜI NÓI ĐẦUPhương trình-bất phương-Hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong các chuyênđề LTĐH, năm nào bao giờ cũng có một câu về chuyên đề này chiếm 1 điểm và mức độ của nóthuộc dạng khó, người ta thường nói là câu lấy 9 điểm. Nó khó vì những lí do sau:+ Người giải chưa nắm được những phương pháp giải nó hoặc chưa nhận dạng được bài toángiải theo phương pháp nào?+ Phương trình-bất phương trình-Hệ phương trình là một chuyên đề khá rộng nên khi ôn họcsinh sẽ gặp nhiều khó khăn tổng hợp những kiến thức và kĩ năng nào cần thiết nhất và vừa đủđể có thể giải những câu Phương trình-Bất phương trình-Hệ phương trình trong các kì thi ĐH.Thi THPTQG là vấn đề thi ít nhất 4 môn và chọn ra 3 môn để xét vào đại học. Do đó nếuchúng ta chỉ cắm đầu cắm cổ vào một môn nào đó mà sao nhãn các môn còn lại thì kết quảcủa ta đạt được cũng sẽ không cao được. Do đó chúng ta phải có kế hoạch học thế nào vừađủ không dư quá nhiều và cũng không thiếu đối với kiến thức từng môn, thì khi đó kết quả3 môn xét vào đại học mới cao được. Do đó ta cần học những kĩ năng và kiến thức cần thiếtnhất chứ không học tràn lan quá nhiều dẫn đến quá tải. Những phần nào trong đề thi ra dễchúng ta cần học ít lại và dành nhiều thời gian cho những phần khó hơn. Đối những chuyên đềkhó ta cũng không thể nào học hết những kĩ năng và phương pháp để giải được tất cả nhữngbài bài toán thuộc dạng đó mà ta cần biết học chọn lọc vừa đủ và vừa sức với đề thi của chúng ta.Trong chuyên đề Phương trình-Bất phương trình-Hệ phương trình, thì phương trình là vấnđề quan trọng nhất, vì khi ta đã nắm được các phương pháp giải phương trình một cách nhẫnnhiễn thì vấn đề giải bất phương trình và hệ phương trình không còn là vấn đề nữa khó nữa.Với những lí do trên và sau khi nghiên cứu khá kĩ đề thi ĐH qua các năm trong một thờigian dài, tôi quyết định soạn ra tài liệu này để viết ra những kĩ thuật và chọn lọc những phươngpháp tốt nhất để giải phương trình-bất phương trình (mà trong rất nhiều tài liệu viết về chuyênđề này không nói ra kĩ, chắc họ cố ý giấu nghề ấy thì phải.) nhằm giúp cho những em còn gặpkhó khăn trong việc học này chuyên đề này có một tài liệu chất lượng, bám sát đề thi của BGDnhất, vừa đầy đủ vừa ngắn gọn và dễ hiểu, dễ áp dụng trong khi giải bài tập. Giúp những emhiếu học có thể tự học được những phương pháp và kĩ thuật tốt nhất để giải phương trình-Bấtphương trình trong thời gian ngắn nhất.Để học tốt chuyên đề này các em cần có những điều kiện sau:+ Có khả năng biến đổi, khai triển, chuyển vế tốt một tí.+ Có một máy tính casio fx 570VN plus hay casio fx 570 es plus.+ Siêng năng tí nữa.2Trong bài viết này những bài tập được giải và trình bày một cách chi tiết, kèm theo nhữngnhận xét, chú ý và bình luận nhằm giúp các em nắm được những phương pháp giải và biếtcách sử dụng vào bài toán cụ thể một cách nhanh nhất.Mong rằng với cuốn tài liệu này sẽ giúp ích cho các em trong việc ôn thi chuyên đề này vàđừng quên chờ đọc những tập tiếp theo nhé!. Mặc dù đã cố ngắn song tác giả biết sẽ khôngtránh rỏi những thiếu sót trong bài viết này, mong nhận được sự góp ý của các bạn đọc.Mọi thắc và góp ý xin gửi về địa chỉ:gmail: Sđt: 01677201817 .Xin chân thành cảm ơn!Huế, tháng 10 năm 2015Đinh Văn Phúc3Chương 1Kiến thức chuẩn bịTrong phần này chúng tôi sẽ nhắc lại và đưa ra những kiến thức cần có để các em chuẩn bịtốt cho việc giải phương trình-bất phương.1.1Chia đa thứcỞ đây ta chỉ xét phép chia hết thôi vì mục đích của ta là đưa một biểu thức về tích các thừasố của nó. Còn phép chia không hết cũng tương tự thôi chỉ là có thêm phần dư nữa.Ví dụ:Chia đa thức f (x) = 2x4 + 3x3 + 2x2 + x cho đa thức g(x) = x2 + x ta làm như sau:2x4Lấy 2 = 2x2 (Lấy số hạng có bậc x cao nhất của f (x) chia cho số hạng có bậc cao nhất củaxx3g(x)). Sau đó Lấy f (x) − 2x2 g(x) = x3 + 2x2 + x = h(x). Bây giờ ta tiếp tục lấy 2 = x (Lấyxsố hạng có bậc cao nhất của h(x) chia cho số hạng có bậc cao nhất của g(x) ). Sau đó lại lấyx22h(x) − xg(x) = x + x = k(x). Tiếp tục làm như trên lấy 2 = 1. Tính k(x) − (x2 + x) = 0.x2x422Vậy f (x) chia cho g(x) được 2x + x + 1 hay f (x) = (2x + x + 1)g(x) [ ở đây 2x2 = 2 ; x =xxx3; 1 = là những kết mà ta đã có được thực hiện chia trước đó ]x2xVì khi dùng phần mềm này để soạn bài viết này tôi vẫn chưa biết kẻ bảng thế nào?nên tôi đành trình bày dài dòng như thế, còn khi thực hiện chia ta kẻ bảng nhưchia giữa hai số mà ta đã được học ở cấp một ấy và đây cũng là cách chia tổngquát đó nhé!.1.21.2.1Phương trình bậc 2Phân tích một biểu thức bậc 2Cho : ax2 + bx + c = 0, a = 0; a, b, c không có thừa số chung.(1.1)Ví dụ 1: Phân tích f (x) = x2 − 3x + 2 thành nhân tử.Bấm máy tính phương trình x2 − 3x + 2 = 0. chúng ta được nghiệm4x=1⇔x=2x−1=0.x−2=0Khi đó f (x) = (x − 1)(x − 2).Ví dụ 2: Phân tích f (x) = 2x2 − 5x + 3 thành nhân tử.Bấm máy tính phương trình 2x2 −5x+3 = 0, chúng ta được nghiệm x=13 ⇔x=2x−1=02x − 3 = 0.Khi đó f (x) = (x − 1)(2x − 3).Ví dụ 3: Phân tích f (x) = 6x2 − x − 2 thành nhân tử. 2x=3Bấm máy phương trình 6x2 − x − 2 = 0, ta được nghiệm 1 ⇔x=−2f (x) = (3x − 2)(2x + 1).3x − 2 = 02x + 1 = 0. Khi đóTừ 3 Ví dụ trên chúng tổng quát như sau: Giả sử phương trình (1.1) ở trên có 2 nghiệmmx=nx − m = 0nk ⇔ kx − l = 0 . Khi đó f (x) = (nx − m)(kx − l).x=−lChú ý trường hợp a, b, c có thừa số chung sau:f (x) = 4x2 − 12x + 8. Nếu chúng làm như trên sẽ dẫn đến sai vì a, b, c có thừa số chung là 4.Do đó trong trường hợp này chúng ta sẽ viết f (x) lại như sau f (x) = 4(x2 − 3x + 2). Bây giờchúng ta chỉ cần phân tích x2 − 3x + 2 ra, theo ở ví dụ 1 thì x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Vậyf (x) = 4(x − 1)(x − 2).Vậy chúng ta đã có thể phân tích một biểu thức bậc hai thành tích 2 nghiệm của nó một cáchnhanh chóng.1.2.2Ứng dụng của định lí vi étĐịnh lý 1.2.1. Cho x1 , x2 là các số thực. Nếu chúng ta cóx + x = S12x .x = P12và S 2 ≥ 4P , thì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 − Sx + P = 0. Chúng ta gọi x2 − Sx + Plà biểu thức chứa 2 hai nghiệm x1 , x2 .Ví dụ: Tìm x1 , x2 thỏa mãnx + x = 212x .x = −112Giải. Theo định lí trên thì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 − 2x − 1 = 0. Bấm máy√√tính phương trình x2 − 2x − 1 = 0, chúng ta tìm được x1 = 1 + 2 và x2 = 1 − 2.1.2.3Giải bất phương trình bậc 2 bằng máy tính casio fx-570Vn PlusMục đích của mục này nhằm giúp chúng ta tìm được chính xác và nhanh nhất điều kiện củaphương trình vô tỷ.Ví dụ: Giải bất phương trình x2 + 5x + 3 < 0.5Ta bấm máy tính như sau: Bấm MODE, mũi tên xuống, chọn 1 (INEQ), chọn 1, chọn 2, nhậpa = 1, b = 5, c = 3 nhấn = chúng ta được√√−5 + 13−5 − 13 0 và b > c > 0 ⇒ 0 và b > c ⇒ b + a > c13. a < 0 và b < c ⇒ b + a < c81.5.1Các phương pháp đánh giá hay dùng trong giải phương trình-bất phươngtrìnhĐây là phần khá quan trọng, trong việc giải phương trình-bất phương trình bằng phươngpháp liên hợp và phương pháp hàm số.1. Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức cơ bảnH(x)A(x)++ L(x) luôn dương hoặc luônCho x ∈ D chứng minhB(x) + C(x)G(x) + F (x)âm.Trước khi đánh giá chúng ta cần phải biết:H(x)A(x);; L(x), ∀x ∈ DThứ I: Các biểu thứcB(x) + C(x)G(x) + F (x)ta cần biết biểu thức nào luôn âm và biểu thức nào luôn dương.Thứ II: Với mỗi biểu thức đó thì tử và mẫu của biểu thức luôn âm hay luôn dương chưa,A(x)như biểu thứcta cần biết A(x); B(x) + C(x) luôn âm hay luôn dương.B(x) + C(x)Nếu như trường hợp A(x) có khi âm và có khi dương với x ∈ D, thì ta phải xét trườnghợp của x để A(x) luôn mang một dấu xác định hoặc cũng có thể biến đổi A(x) về mộtT (x) đã xác định dấu nhất định.Thứ III: Để đánh giá thật sự chặt thì ta luôn bám sát điều kiện x ∈ D. Đôi khi chúng tacũng không cần thiết đánh giá chặt vẫn có thể suy ra điều cần chứng minh.11Ví Dụ 1: Với 2 ≤ x ≤ 4 chứng minh f (x) = √−√− (2x + 1) < 0.x−2+14−x+111> 0; − √< 0; −(2x + 1) < 0. Vậy ta+ Ở đây ta có các biểu thức √x−2+14−x+1có một biểu thức dương và 2 biểu thức âm.+ Đánh giá từng biểu thức:• x≥2⇒x−2≥0⇒√x−2+1≥1⇒ √11≤ =11x−2+1• x ≥ 2 ⇒ 2x ≥ 4 ⇒ 2x + 1 ≥ 5 ⇒ −(2x + 1) ≤ −5. Suy ra √1− (2x + 1) ≤x−2+111 − 5 = −4 < 0 ⇒ f (x) < 0 (Do − √< 0. Một số nhỏ hơn 0 mà cộng thêm4−x+1một số nhỏ hơn 0 thì lại còn nhỏ hơn 0 nữa).x+2x+2Ví dụ 2: Với x > −2 chứng minh f (x) = √−√− 3 < 0.22x + 12 + 4x +5+3+ Với x > −2 ⇒ x + 2 > 0. Do đó biểu thức đầu dương, biểu thức 2, 3 âm.√√√Cách 1: Ta có x2 + 12 > x2 ⇒ x2 + 12 > x2 = x ⇒ x2 + 12 + 4 > x + 4 ⇒x+2x+2x+2√ 3 ⇒ x2 + 12 + 4 > x2 + 5 + 3x+2x+2⇒√ 0 và x+4 ≥ 2 > 0. Do đó biểu thức thứ 2 dương, thứ 3 âm, cònbiểu thức 1 có khi âm có khi dương. Biểu thức thứ 1 không âm khi x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1và âm khi x + 1 < 0 ⇔ x < −1. Do đó ta có lời giải sau:Cách 1:+ Xét −1 ≤ x ⇒ x + 1 ≥ 0.√x+1x+1x+2+2>2⇒ √≤(1)2x+2+2√x+6x+6x+7+3>3⇒ √≤(2)3x+7+3Từ (1) và (2) suy raf (x) ≤x 31 3x+1 x+6+− x − 4 = − − ≤ − < 0.236 26 2x1≤ ).66+ Xét −2 ≤ x < −1 ⇒ x + 1 < 0.(Do x ≥ −1 ⇒ −x ≤ 1 ⇒ −√x+6x+6x+7+3>3⇒ √≤3x+7+3Suy rax+6−2x 64 6−x−4=− ≤ − 3⇒ √≤(2)3x+7+3Từ (1) và (2) suy raf (x) 0 chứng minh rằng√x+1x−1√> 0.f (x) = √+√32x+2x − 4x + 5x + x3 − 3x2 + 4Lời giảiTa có x − 1 có khi âm có khi dương nên ta phải xét khoảng cho nó.+ Nếu x ≥ 1 ⇒ x − 1 ≥ 0 ⇒ f (x) > 0.+ Nếu 0 < x < 1.Ta có√√x+1x+2−1112√= √=1− √ ⇒ −√ |x − 2| = 2 − x[ Do 0 < x < 1 ]√√⇒ x3 − 4x2 + 5x + x3 − 3x2 + 4 > 2 − x1−x1−x2−x−1111√⇒√1 1− = 0. (đpcm)2 22. Đánh giá dựa vào biến đổi tương đươngVí dụ 1: Chứng minh: 1 −2(x2 − x + 1) < 0 (1)Lời giải(1) ⇔ 1 x (1)Lời giải(1) ⇔ x2 − 3x + 5 > x ⇔ x2 − 4x + 5 > 0 (∗).Do ∆ = 16 − 20 < 0 và a = 1 > 0 nên suy ra (*) luôn đúng với mọi x ∈ R. Do đó (1)đúng.3. Đánh giá dựa vào khảo sát hàm số11Ví dụ 1: Chứng minh rằng f (x) = x5 + 3x3 + 3x + 8 > 0, ∀x ∈ [−1, 1]Lời giải42Ta có f (x) = 5x + 3x + 3 > 0, ∀x ∈ [−1, 1]. Suy ra hàm f (x) đồng biến trên[−1, 1] ⇒ f (x) ≥ f (−1) = −7 + 8 = 1 > 0, ∀x ∈ [−1, 1].Ví dụ 2: Chứng minh f (x) = x (5 − x)3 − 11 < 0Lời giảiHàm số f (x) liên tục trên [0, 5] (chính là tập xác định của f (x))√√f (x) = x(5 − x) 5 − x − 6 = (5x − x2 ) 5 − x√(5x − x2 )⇒ f (x) = (5 − 2x) 5 − x − √, ∀x ∈ [0, 5)2 5−x√x√5x √⇒ f (x) = (5 − 2x) 5 − x −5 − x = (5 − ) 5 − x225x √⇒ f (x) = 0 ⇔ (5 − ) 5 − x = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = 2.2√√Khi đó f (0) = f (5) = −11; f (2) = 6 3 − 11 ⇒ f (x) ≤ f (2) = 6 3 − 11 < 0.1Ví dụ 3: Với x ∈ (0, ] chứng minh rằng:3√f (x) = x2 + 3x + 2 1 − 2x − 2 > 0Lời giải2f (x) = 2x + 3 − √1 − 2x121√f (x) = 2 −< 0, ∀x ∈ [0, ]. Suy ra f (x) nghịch biến trên [0, ]33(1 − 2x) 1 − 2x√11111⇒ f (x) > f ( ) =− 2 3 > 0, ∀x ∈ [0, ]. Suy ra hàm f (x) đồng biến trên [0, ]33331⇒ f (x) > f (0) = 0, ∀x ∈ (0, ]31.6Một số phương trình vô tỷ cơ bản1)f (x) = kx + p,(1.3)ở đây f (x) có thể là bậc nhất, bậc hai hoặc bậc 3.2)3f (x) = kx + p,ở đây f (x) có thể là bậc nhất, bậc hai hoặc bậc 3.3)√ax + b = kx + p + l(1.4)(1.5)4)f (x) =12g(x),(1.6)ở đây f (x), g(x) có thể bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất.5)3f (x) =3g(x),(1.7)ở đây f (x), g(x) có thể bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất.Phương pháp giảiChúng ta chú ý rằng tới lúc này chúng ta chỉ mới giải được phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc3 (bậc 3 có ít 1 nhất nghiệm đẹp). Do đó tất cả các phương trình ở trên phải đưa về 1 trong 3phương trình: bậc 1, bậc 2 hoặc bậc 3.1) ĐK:f (x) ≥ 0 (mọi căn bậc chẵn phải có đều kiện ≥ 0 đối với biểu thức dưới căn)kx + p ≥ 0(1.3) ⇔Tới đây thì chúng ta biết cách giải rồi.f (x) = (kx + p)2 .2) (1.4)⇔ f (x) = (kx + p)3 ( Vì căn bậc lẻ không cần điều kiện gì và muốn mất căn bậc 3,thì phải mũ 3 hai vế lên thôi). Tới đây chúng ta cũng giải được.ax + b ≥ 03) ĐK:Nếu l ≥ 0 thì bình phương hai vế của (1.5) (Vì khi hai vế ≥ 0,kx + p ≥ 0.bình phương không cần đặt thêm điều kiện, còn nếu một vế chưa ≥ 0 thì phải đặt điều kiệncho vế đó ≥ 0, rồi giải thêm điều kiện đó cũng hơi mệt), rút gọn sẽ đưa về dạng phương trình(1.3). Nếu l < 0 thì chuyển l qua trái và làm tương tự. Vậy khi đó chúng ta được một phươngtrình đã biết cách giải.4) Đk:f (x) ≥ 0(1.6) ⇔ f (x) = g(x), sẽ đưa về phương trình bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất.g(x) ≥ 0.5) Mũ ba hai vế (1.7), sẽ đưa về phương trình bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất.Chú ý: Khi giải được nghiệm, đối với những bài toán nào có điều kiện phải đối chiếu lại vớiđiều kiện để kết luận nghiệm.Nhận xét: Chúng ta thấy rằng tất cả các dạng cơ bản của phương trình vô tỷ đều giải bằngcách đưa về phương trình bậc 1, bậc 2 hoặc bậc 3.Bài tậpGiải các phương trình sau:√1. 2x2 + 4x − 1 = x + 1.√2. 3 x2 + x − 4 = x − 1.√√3. x + 1 = 2x − 5 + 1.√√4. x2 + 2x − 1 = x + 2.√√5. 3 2x + 1 = 3 2x2 − x + 3.Lời Giải1.√2x2 + 4x − 1 = x + 1.13√√−2 − 6−2 + 6Điều kiện: 2x + 4x − 1 ≥⇔ x ∈ (−∞,]∪[, +∞).22Phương trình tương đương vớix ≥ −1x + 1 ≥ 0⇔x = −1 + √3 hoặc x = −1 − √3 < −1(l).2x2 + 4x − 1 = (x + 1)2 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0√So với điều kiện phương trình có nghiệm x = −1 + 3.√2. 3 x2 + x − 4 = x − 1Phương trình tương đương với2x2 + x − 4 = (x − 1)3 ⇔ x2 + x − 4 = x3 − 3x2 + 3x − 1⇔ x3 − 4x2 + 2x + 3 = 0 ⇔ (x − 3)(x2 − x − 1) = 0x=3√√⇔51−51+hoặc x =x2 − x − 1 = 0 ⇔ x =2√ 2 √1− 5 1+ 5Vậy phương trình có tập nghiệm S = {,, 3}22√√3. x + 1 = 2x − 5 + 1.5Điều kiện: x ≥2Phương trình tương đương với√x + 1 = 2x − 5 + 2 2x − 5 + 1[ Bình phương hai ]5 − x ≥ 0√5−x = 2 2x − 5 ⇔(5 − x)2 = 4(2x − 5) ⇔ x2 − 18x + 45 = 0⇔x ≤ 5x = 3 hoặc x = 15 > 5(l).Vậy so với điều kiện phương trình có nghiệm x = 3.√√4. x2 + 2x −1 = x + 2x2 + 2x − 1 ≥ 0x ∈ (−∞, −1 − √2] ∪ [−1 + √2, +∞)Điều kiện:⇔x + 2 ≥ 0x ≥ −2√⇔ x ∈ [−1 + 2, +∞)Phương trình tương đương với√√−1 − 13−1 + 13x + 2x − 1 = x + 2 ⇔ x =hoặc x =.22√−1 + 13.So với điều kiện phương trình có nghiệm x =2√√5. 3 2x + 1 = 3 2x2 − x + 3 (1).1(1) ⇔ 2x + 1 = 2x2 − x + 2 ⇔ 2x2 − 3x + 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = .2Nhận xét: Trên đây là những bài toán cơ bản bắt buộc chúng ta phải giải được, vì một2bài toán giải phương trình vô tỷ bao giờ cũng sẽ đưa về hoặc là một phương trình bậc 1,bậc 2, bậc 3 (đôi khi bậc 4) hoặc dạng cơ bản trên, .14Dd: 01677201817Chương 2Các phương pháp giải phương trình vôtỷ trong các đề thi Đại họcTrong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu các phương pháp giải phương trình vô tỷ, bất phươngtrình vô tỷ trong các đề thi Đại học.1. Phương pháp liên hợp.2. Phương pháp hàm đặc trưng.3. Phương pháp đặt 1 ẩn phụ không hoàn toàn và dừng tam thức bậc hai.4. Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc.5. Phương pháp đặt 1 ẩn phụ hoàn toàn đưa về bậc 2, bậc 3.6. Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3, bậc nhất đivới hệ.7. Phương pháp hàm số đơn điệuTrong 7 phương pháp trên thì chỉ cần dùng các phương pháp 1, 2, 3, 4, 5 đã giải được tất cả cácđề thì Đại học về phương trình, bất phương trình, từ 2009 − 2015. Còn phương pháp 6 cũngkhá hay trong việc giải phương trình và được sử dụng nhiều trong việc giải hệ phương trình.Phương pháp 7 thường dùng kèm với phương pháp liên hợp. Quan trọng nhất vẫn là 4 phươngpháp đầu tiên.2.1Phương pháp liên hợpĐẳng thức thường dùng:√A − B21. A − B = √A+B√Ở đây ta sẽ gọi B là biểu thức liên hợp của A√√A−B√2. A − B = √A+ B√√A−B√3. A + B = √A− B√A − B24. A + B = √A−B15√A − B33√A−B = √3A2 + 3 AB + B 2√A + B33√√6. A + B = 3A2 − 3 AB + B 2√Ở đây ta sẽ gọi B là biểu thức liên hợp của 3 A.5.2.1.1Liên hợp khi phương trình chỉ có một nghiệm đẹp√√Ví dụ 1: Giải phương trình: x − 2 + 4 − x = 2x2 − 5x − 1.Dùng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tìm nghiệm đẹp của phương trình. Chúng ta bấmnhư sau:√√Nhập x − 2 + 4 − x − 2x2 + 5x + 1 (Chuyển về một vế rồi mới bấm, ở đây chúng tôi chuyểnvế phải qua vế trái), bấm SHIFT, SOLVE, 100. Chúng ta được nghiệm x = 3. Bây giờ bấm tiếpSHIFT, SOLVE, -100. Chúng ta được "can’t solve" tức là không giải được. Vậy phương trình√√chỉ có duy nhất nghiệm là x = 3. Bây giờ chúng ta thay x = 3 vào 2 căn thức x − 2, 4 − xta được:√√x−2=14−x=1√⇔√x−2−1=04−x−1=0Lời giảiĐK:x − 2 ≥ 0⇔ 2 ≤ x ≤ 4.4 − x ≥ 0√√( x − 2 − 1) + ( 4 − x − 1) = 2x2 − 5x − 1 − 2(Do VT chúng ta đã trừ 2 nên VP phải trừ 2)x−33−x⇔√+√= (x − 3)(2x + 1)x−2+14−x+1(Ở VT chúng ta đã liên hợp nhờ công thức 2, VP do 2x2 − 5x − 3 = (x − 3)(2x + 1))⇔√x−3x−3−√− (x − 3)(2x + 1) = 0x−2+14−x+111⇔ (x − 3)[ √−√− (2x + 1)] = 0x−2+14−x+1x−3=0⇔11√−√− (2x + 1) = 0x−2+14−x+111Đặt f (x) = √−√− (2x + 1), 2 ≤ x ≤ 4. (Do phương trình chỉ có mộtx−2+14−x+1nghiệm x = 1 nên f (x) > 0 hoặc f (x) < 0 với mọi x : 2 ≤ x ≤ 4. Để biết f (x) luôn dươnghay luôn âm, chúng ta chỉ cần tính giá trị của f (3) = −7 < 0 nên chúng ta sẽ chứng minhf (x) < 0.)1611Với 2 ≤ x ≤ 4 thì √> 0; − √< 0; −(2x + 1) < 0. (Nên để chứng minhx−2+14−x+11f (x) < 0, chúng ta chỉ cần chứng minh √− (2x + 1) < 0.)x−2+1+ x≥2⇒x−2≥0⇒√11≤ = 1.x−2+1≥1⇒ √1x−2+1+ x ≥ 2 ⇒ 2x ≥ 4 ⇒ 2x + 1 ≥ 5 ⇒ −(2x + 1) ≤ −5.(2.1)(2.2)1Từ (2.1) và (2.2) chúng ta có √− (2x + 1) ≤ 1 − 5 = −4 < 0. Do đó f (x) < 0, 2 ≤x−2+1x ≤ 4, nên phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x = 3.Ví dụ 2: Giải phương trình√x2 + 12 −√x2 + 5 = 3x − 5.Dùng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tìm nghiệm đẹp của phương trình. Chúng ta bấmnhư sau:√√Nhập x2 + 12 + x2 + 5 − 3x + 5 (Chuyển về một vế rồi mới bấm, ở đây chúng tôi chuyển vếphải qua vế trái), bấm SHIFT, SOLVE, 100. Chúng ta được nghiệm x = 2. Bây giờ bấm tiếpSHIFT, SOLVE, -100. Chúng ta cũng được x = 2 (Khả năng phương trình có duy nhất nghiệmlà rất cao, tuy nhiên để cho chính xác chúng ta bấm tiếp như sau). Chúng ta bấm mũi tên qua√√trái (để lấy lại phương trình) và sửa phương trình thành ( x2 + 12+ x2 + 5−3x+5) : (x−2),(Tức là ta lấy phương trình đó chia cho nghiệm của nó, nếu chỉ phương trình ban đầu có duynhất nghiệm, thì phương trình sau khi chia sẽ vô nghiệm) nhấn SHIFT, SOLVE, 100 thì chúngta được kết quả phương trình không giải được.Vậy phương trình chỉ có duy nhất nghiệm là√√x = 2. Bây giờ chúng ta thay x = 2 vào 2 căn thức x2 + 12, x2 + 5 ta được:√x2 + 12 = 4√.x2 + 5 = 3√√Do đó chổ x2 + 12 chúng ta chèn -4 và chổ x2 + 5 chèn -3.Lời giải(Không có điều kiện vì biểu thức dưới căn không âm)Phương trình trở thành√√( x2 + 12 − 4) − ( x2 + 5 − 3) = 3x − 5 − 1(Do VT chúng ta đã cộng thêm -4+3=-1 nên VP cộng cho -1. Chúng ta chú ý khi nào cănthức có nhân với một số khác 1, thì chúng ta phải lấy số đó ra ngoài rồi mới chèn, như ở đây√x2 + 5 nhân với −1 nên phải lấy − ra ngoài như trên)⇔√x2 − 4x2 − 4−√= 3(x − 2)x2 + 12 + 4x2 + 5 + 3(Ở VT chúng ta đã liên hợp nhờ công thức 2)(x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2)⇔ √− √− 3(x − 2) = 0x2 + 12 + 4x2 + 5 + 317(Ở đây chúng ta đã dùng hằng đẳng thức a2 − b2 = (a − b)(a + b), còn nếu ai không nhớ hằngđẳng thức này thì chúng ta vẫn có thể đưa x2 − 4 về tích xem lại mục phân tích một biểu thứcbậc 2)x+2x+2⇔ (x − 2)[ √−√− 3] = 022x + 12 + 4x +5+3⇔x−2=0x+2x+2√−√−3=0x2 + 12 + 4x2 + 5 + 3(*)x+2x+2Đặt f (x) = √−√− 3. (Chúng ta sẽ chứng minh f (x) < 0 nhưng chúng22x + 12 + 4x +5+3x+2x+2ta để ý x + 2 chưa biết luôn âm hay luôn không âm nên √, −√chưa22x + 12 + 4x +5+3xác định một dấu nhất định. Do đó chúng ta phải đánh giá cho x dựa vào phương trình đãcho, chúng ta đánh giá như sau)√√√√5Vì x2 + 12 > x2 + 5 nên 0 < x2 + 12 − x2 + 5 = 3x − 5 ⇒ x > .3x+2x+2x+25> 0; − √< 0 (Bây giờ chỉ cần chứng minh √−Với x > , thì √3x2 + 12 + 4x2 + 5 + 3x2 + 12 + 4x+25x+2√< 0 hoặc √− 3 < 0, x ≥ là xong).23x2√+ 5 + 3√ x + 12 + 422Do x + 12 + 4 > x + 5 + 3 và x + 2 > 0 nên√x+2x+2x+2x+2 x2 ⇒ x2 + 12 +x+2x+2x+24 > x+4 ⇒ √ 0).2x − 2 + x + 1⇔ (x − 3)[ √⇔ x = 3. So với điều kiện nghiệm của phương trình là x = 3.Ví dụ 4: Giải phương trình√√(x + 1) x + 2 + (x + 6) x + 7 = x2 + 7x + 12.Bấm máy tính chúng ta được phương trình có duy nhất nghiệm x = 2.Lời giảiĐiều kiện: x ≥ −2Phương trình trở thành√√(x + 1)( x + 2 − 2) + (x + 6)( x + 7 − 3) = x2 + 7x + 12 − 2(x + 1) − 3(x + 7)√x + 2 nhân với x + 1 khác số 1 nên chúng ta phải lấy x + 1 ra làm nhân tử chung rồi√mới chèn, tương tự với x + 7. Vì VT chúng ta đã cộng cho −2(x + 1) − 3(x + 6) nên VP cũng(Dophải cộng cho −2(x + 1) − 3(x + 6))⇔(x + 1)(x − 2) (x + 6)(x − 2)√+ √= (x − 2)(x + 4)x+2+2x+7+3⇔ (x − 2)[ √⇔(x + 1)(x + 6)+√− (x + 4)] = 0x+2+2x+7+3x−2=0(x − 1)(x + 6)√+√− (x + 4) = 0x+2+2x+7+3(*)(x + 6)(x − 1)+√− (x + 4), x ≥ −2 (Chúng ta sẽ chứng minh f (x) −2. Chúng ta chú ý rằng với x ≥ −2, thì x + 6 ≥ 6 − 2 = 4 > 0 và −(x + 4) ≤ −2 < 0Đặt f (x) = √nhưng x + 1 ≥ −1 chưa biết luôn âm hay luôn không âm. Do đó chúng ta sẽ xét hai trườnghợp x + 1 < 0 và trường hợp x − 1 ≥ 0 như sau). + x ≥ −1 ⇒ x + 1 ≥ 0.Mặt khác√(x + 1)x+1x+2+2≥2⇒ √≤2x+2+2và√(x + 6)x+6≤.x+7+3≥3⇒ √3x+7+3Nên suy raf (x) ≤x+1(x + 6)x 31 3+√− (x + 4) = − − ) ≤ − < 026 26 2x+7+3191x≤ ).66+ −2 ≤ x < −1 ⇒ x + 1 < 0 và x + 6 > 0(x + 6)x+6Mặt khác theo ở trên √≤3x+7+3(Do với x ≥ −1 ⇒ −x ≤ 1 ⇒ −⇒√(x + 6)2x42x+6−x−4=− −2≤ −2=− 0 ⇒ 1 + √21+√> 0)x − 1 + (x − 1)5x − 1 + (x + 1)⇔ x = 1 hoặc x = 2.So với điều kiện, nghiệm của phương trình là S = {1, 2}.√√Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x + 2 + 22 − 3x = x2 + 8Bấm máy tính chúng ta tìm được hai nghiệm x = 2 và x = −1. Khi đó thay x = 2 và x = 1√vào phương trình ax + b = x + 2 ta được hệ phương trình2a + b = 2a = 13⇔4−a + b = 1b =3√√x 4⇒ x + 2 liên hợp với + . Thay x = 2 và x = −1 vào 22 − 3x ta được 4 và 5. Từ chú ý3 3ở trên ta chỉ cần sửa lại VP của hệ phương trình ở trên 2 thành 4 và 1 thành 5. Khi đó chúng√141x 14ta tìm được a = − và b = . Suy ra 22 − 3x liên hợp với − + .3333Lời giải22Điều kiện: −2 ≤ x ≤ .3Phương trình trở thành√√x+4−x + 144(x + 4) −x + 144[ x + 2 −] + [ 22 − 3x −] = x2 + 8 −−3333(Chúng ta thấy rằng trong phương trình có sự xuất hiện của số 3 ở mẫu, điều này làm cho việctính toán phức tạp. Do đó chúng ta sẽ nhân hai vế của phương trình cho 3, để làm mất đi số3 đó.)√√⇔ 4[3 x + 2 − (x + 4)] + [3 22 − 3x − (−x + 14)] = 3x2 + 24 − 4(x + 4) − (−x + 14)(Chúng ta lấy rằng bên VT chúng tôi đẩy số 3 vào trong ngoặc để rút gọn đi cho số 3 ở mẫuthức, tới đây phương trình có các hệ số thuận lợi cho việc tính toán hơn nhiều)(−x2 + x + 2)4(−x2 + x + 2)= 3(x2 − x − 2)⇔ √+ √3 x + 2 + (x + 4) 3 22 − 3x + (−x + 14)41⇔ (x2 − x − 2)[3 + √+ √]=03 x + 2 + (x + 4) 3 22 − 3x + (−x + 14)⇔ x2 − x − 2 = 0222222(Do từ điều kiện x ≥ −2 ⇒ x+4 ≥ 2 > 0 và x ≤⇒ −x ≥ − ⇒ −x+14 ≥ − +14 > 0.333Vậy suy ra413+ √+ √> 0)3 x + 2 + (x + 4) 3 22 − 3x + (−x + 14)21⇔ x = 2 hoặc x = −1.So với điều kiện phương trình có tập nghiệm S = {−1, 2}.NHẬN XÉT. Chúng ta thấy rằng trong liên hợp đã biết hai nghiệm, thì vấn đề chứngminh cái biểu thức còn lại dương hoặc âm là khá nhẹ nhàng so với trong bài toán liên hợp mộtnghiệm.2.1.3Liên hợp khi biết một nghiệm xấu của phương trình√Ví dụ 1: Giải phương trình x2 + x − 1 = (x + 2) x2 − 2x + 2Chúng ta nhập phương trình và khi nhấn SHIFT, SOLVE, 100, thì được nghiệm x = 3, 82847...,(vì chúng ta không biết chính xác nghiệm là bao nhiêu nên để sử dụng chúng ta gán cho nólà A như sau:) Bấm SHIFT, RCL,A (Bây giờ chúng ta sẽ tìm biểu thức bậc nhất liên hợp√với x2 − 2x + 2. tương tự như trường hợp có nghiệm đẹp, thay x = A vào phương trình√√x2 − 2x + 2 = ax + b ta được A2 − 2A + 2 = aA + b, vì A là số quá xấu nên phương trìnhnày rất xấu và không thể dùng được để tìm a, b nhưng có một điều chắc chắn là a, b là các số√đẹp (tức là số hữu tỉ). Do đó A2 − 2A + 2 − aA = b phải là số đẹp, từ đây chúng ta chỉ cầnthử giá trị của a từ -10 đến 10 (Vì a thường là số nằm số từ -10 đến 10) và khi nào giá trị√A2 − 2A + 2 − aA là số tự nhiên thì đó chính là b. Để làm đều đó chúng ta có thể dùng máytính bấm như sau) từ trên chúng ta bấm tiếp MODE, chọn 7 (TABLE), ở f (x) chúng ta nhập√A2 − 2A + 2 − AX ( Để có A, chúng ta nhấn ALPHA, A, ở đây X chính là a), chổ g(x) chúngta cho 0 vì ở đây chúng ta không cần dùng, chổ Start chọn 0 bấm =, chổ End chọn 10 (Vì mấytính chỉ cho phép X chạy từ 0 trở đi, chứ không cho phép chạy từ số âm sang số dương được. Dođó trước tiên chúng ta cho a chạy từ 0 đến 10, nếu chưa tìm được thì cho a chạy từ -10 đến -1),nhấn =, Step để nguyên, bấm =. Khi đó chúng ta nhận được một bảng giá trị của X, F(X) (G(X)chúng ta không quan tâm), chúng ta chỉ lấy giá trị của F(X) là số tự nhiên (Vì F(X) chính là b),√chúng ta thấy khi X = 0, thì F (X) = 3 tức là a = 0 và b = 3 Vậy x2 − 2x + 2 = 0x + 3 = 3√tức là x2 − 2x + 2 liên hợp với 3. Tới đây việc liên hợp không khác gì trường hợp nghiệm đẹp.Lời giải(Không có điều kiện vì biểu thức dưới căn luôn dương).Phương trình trở thành√x2 + x − 1 − 3(x + 2) = (x + 2)( x2 − 2x + 2 − 3)(Do VP chúng ta đã cộng thêm cho −3(x + 2) nên VT cũng phải cộng thêm −3(x + 2))⇔ x2 − 2x − 7 = (x + 2) √x2 − 2x − 7x+2⇔ (x2 − 2x − 7)[1 − √]=0x2 − 2x + 2 + 3x2 − 2x + 2 + 3(Chúng ta chuyển VP qua trái và lấy x2 − 2x − 7 làm nhân tử chung)x2 − 2x − 7 = 0 (2)⇔.x+21− √= 0 (∗)x2 − 2x + 2 + 322√Chúng ta có (∗) ⇔⇔x2 − 2x + 2+3−(x+2) = 0 ⇔√x2 − 2x + 2 = (x−1) ⇔x − 1 ≥ 0x2 − 2x + 2 = x2 − 2x + 1x ≥ 11 = 0 (Vô lí).Vậy phương trình (∗) vô nghiệm (Ở đây chúng ta cũng có thể chứng minh phương trình (∗)√√vô nghiệm như sau: (∗) ⇔ x2 − 2x + 2 + 3 − (x + 2) = 0 ⇔ x2 − 2x + 2 = x − 1. Dox2 − 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 ⇒ V T > x − 1 = V P . Vậy phương trình (*) VN).√x=1+ 7√ . So với điều kiện tập nghiệm của phương trình là S =Phương trình (2) ⇔x=1− 7√√{1 + 7, 1 − 7}.√Ví dụ 2: Giải phương trình (x + 1) x2 − 2x + 3 = x2 + 1.Bấm máy tính được nghiệm lẻ x = −0, 41412...., bấm SHIFT, RCL, A (Để gán nghiệm), bấm√√tiếp MODE, 7, f (x) = A2 − 2A + 3 − AX (Ở đây A2 − 2A + 3 có được khi thay A vào√x2 − 2x + 3 còn −AX thì lúc nào cũng trừ ax),g(x) = 0, Start=0, End=10, =,=. Khi đó ở√cột F (X) chúng thấy khi X = 0, F (X) = 2 tức là a = 0, b = 2. Vậy x2 − 2x + 3 = ax + b = 2√tức x2 − 2x + 3 liên hợp với 2.Lời GiảiPhương trình trở thành√x2 − 2x − 122√(x + 1)[ x − 2x + 3 − 2] = x + 1 − 2(x + 1) ⇔ (x + 1)= x2 − 2x − 12x − 2x + 3 + 3⇔ (x2 − 2x − 1)[ √x+1− 1]x2 − 2x + 3 + 3(Chuyển VP qua trái và lấy x2 − 2x − 1 làm nhân tử chung)√√x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 + 2 hoặc x = 1 − 2⇔.x+1√− 1 = 0 (2)x2 − 2x + 3 + 3Chúng ta có:√√(2) ⇔ x2 − 2x + 3 + 3 = x + 1 ⇔ x2 − 2x + 3 = x − 2x ≥ 2x ≥ 2⇔⇔x2 − 2x + 3 = x2 − 4x + 4x = 1 (V N ).Suy ra phương trình (2) vô nghiệm. Vậy so với điều kiện tập nghiệm của phương trình S =√√{1 − 2, 1 + 2}.√Ví dụ 3: Giải phương trình 2x2 − 6x − 1 = 4x + 5 (1)√Chúng ta tìm biểu thức liên hợp của 4x + 5 bằng cách bấm máy: tìm nghiệm x = 3, 732....,√SHIFT, RCL, A, MODE, 7, 4A + 5 − AX (chổ f(X)), 0 (chổ g(X)), 0 (Start), 10 (End),=,=.√Chúng ta thấy X = 2, F (X) = −3 tức là a = 2, b = −3. Vậy 4x + 5 liên hợp với ax+b = 2x−3.Lời giải5Đk: x ≥ −423Phương trình trở thành√4x + 5 − (2x − 3)22x2 − 6x − 1 − (2x − 3) = [ 4x + 5 − (2x − 3)] ⇔ 2x2 − 8x + 2 = √4x + 5 + (2x − 3)−4x2 + 16x − 4−2(2x2 − 8x + 2)⇔ 2x2 − 8x + 2 = √⇔ 2x2 − 8x + 2 = √4x + 5 + (2x − 3)4x + 5 + (2x − 3)2] = 0.⇔ (2x2 − 8x + 2)[1 + √4x + 5 + (2x − 3)Tới đây chúng ta biết cách giải rồi nhưng có một điều mà nhiều em không biết hay không để ý là√lời giải trên bị sai một chổ rất tinh tế đó là từ chổ liên hợp dẫn đến xuất hiện 4x + 5+(2x−3)ở mẫu, vì biểu thức này chưa khác 0, có thể bấm máy tính để thấy điều đó. Do đó mẫu chưaxác định. Bây giờ chúng ta có hướng chỉnh sửa lại để có lời giải đúng.Cách 1: Xét trường hợpLời giải đúng5Điều kiện: x ≥ −4√√+ Xét 4x + 5 + (2x − 3) = 0 ⇔ 4x + 5 = 3 − 2x (2)3 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 32⇔4x + 5 = 9 − 12x + 4x2 ⇔ x = 2 − √3 hoặc x = 2 + √3⇔x=2−√3.thay (2) vào (1) ta được2x2 − 6x − 1 = 3 − 2x ⇔ 2x2 − 4x − 4 = 0 ⇔ x = 1 −√3 hoặc x = 1 +√3.Vậy trương hợp này vô nghiệm.√√+ Xét 4x + 5 + (2x − 3) = 0 ⇔ x = 2 − 3. [ Cái này ta không cần giải chỉ cần lấy phủ định√√lại kết quả 4x + 5 + (2x − 3) = 0 ⇔ x = 2 − 3 ]Phương trình (1) trở thành√4x + 5 − (2x − 3)22√2x − 6x − 1 − (2x − 3) = [ 4x + 5 − (2x − 3)] ⇔ 2x − 8x + 2 =4x + 5 + (2x − 3)2−2(2x2 − 8x + 2)−4x2 + 16x − 42√√⇔ 2x − 8x + 2 =⇔ 2x − 8x + 2 =4x + 5 + (2x − 3)4x + 5 + (2x − 3)2⇔ (2x2 − 8x + 2)[1 + √] = 0.4x + 5 + (2x − 3)Tới đây chúng ta biết cách giải rồi nhé!2Cách giải 2Lời giải đúng5Đk: x ≥ −4Phương trình trở thành√2x2 − 6x − 1 − (2x − 3) = 4x + 5 − (2x − 3)√⇔ 2x2 − 8x + 2 = 4x + 5 − (2x − 3)√√[ 4x + 5 − (2x − 3)][ 4x + 5 + (2x − 3)] √⇔= 4x + 5 − (2x − 3)−224

Tài liệu liên quan

• Bai Giang Điều khiển sản xuất kết hợp máy tính
  • 85
  • 815
  • 9
• PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI
  • 6
  • 1
  • 11
• tiểu luận kết hợp máy tính bỏ túi và mapple giải gần đúng nghiệm của bài toán cauchy cho phương trình vi phân thường
  • 29
  • 907
  • 0
• TIỂU LUẬN " KẾT HỢP MÁY TÍNH BỎ TÚI VÀ MAPLE GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG " pdf
  • 29
  • 690
  • 1
• dạy học các nội dung sử dụng máy tính bỏ túi ở trường phổ thông theo hướng tăng cường rèn luyện kĩ năng thực hành cho học sinh
  • 120
  • 510
  • 0
• slike bài giảng vật lý 12 vật lý 12 phương pháp giải nhanh một số dạng toán trắc nghiệm vật lý 12 bằng máy tính bỏ túi
  • 24
  • 969
  • 0
• Slide vật lý lớp 12 chuyên đề phương pháp giải nhang một số dạng tóan trắc nghiệm vật lí 12 nhờ máy tính bỏ túi _N.V Thuyên
  • 24
  • 465
  • 0
• Phương pháp dùng máy tính bỏ túi giải HPT BPT PT
  • 15
  • 799
  • 1
• Các đề Gải toán bằng máy tính bỏ túi
  • 25
  • 401
  • 0
• Tổng hợp các đề thi máy tính bỏ túi toàn quôc
  • 20
  • 554
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(432.54 KB - 69 trang) - Tuyệt kĩ các phương pháp kết hợp máy tính bỏ túi giải phương trình, bất phương trình ôn thi THPTQG Tải bản đầy đủ ngay ×