Ứng Dụng Của Bất đẳng Thức Holder Và Minkowski ... - Tài Liệu đại Học

Tài liệu đại học Toggle navigation

• Miễn phí (current)
• Danh mục
  • Khoa học kỹ thuật
  • Công nghệ thông tin
  • Kinh tế, Tài chính, Kế toán
  • Văn hóa, Xã hội
  • Ngoại ngữ
  • Văn học, Báo chí
  • Kiến trúc, xây dựng
  • Sư phạm
  • Khoa học Tự nhiên
  • Luật
  • Y Dược, Công nghệ thực phẩm
  • Nông Lâm Thủy sản
  • Ôn thi Đại học, THPT
  • Đại cương
  • Tài liệu khác
  • Luận văn tổng hợp
  • Nông Lâm
  • Nông nghiệp
  • Luận văn luận án
  • Văn mẫu
• Luận văn tổng hợp

1. Home
2. Luận văn tổng hợp
3. Ứng dụng của bất đẳng thức Holder và Minkowski trong toán phổ thông

Trich dan Ứng dụng của bất đẳng thức Holder và Minkowski trong toán phổ thông - Pdf 28

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KËJ Người thực hiện NGUYỄN PHÚC HẬU Lớp ĐH3A2 Đề Tài Nghiên Cứu Khoa Học ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER và MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG # Trường Đại Học An Giang Trang 1" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "MỤC LỤC ------------------- Trang LỜI MỞ ĐẦU......................................................................................................3 CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ ......................................................................4 §1. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN ...................................................................5 1.1. Hàm lồi ..........................................................................................5 1.2. Bất đẳng thức Jensen....................................................................5 §2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ..................................................................7 2.1. Bất đẳng thức Cauchy...................................................................7 2.2. Bất đẳng thức Cauchy “suy rộng”..................................................7 CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI............................9 §1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER ................................................................10 1.1. Dạng đại số ................................................................................10 1.2. Dạng giải tích .............................................................................12 1.2.1.Định lý ..............................................................................12 1.2.2. Bổ đề ...............................................................................12 1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích ................................13 §2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI ..........................................................15 2.1. Dạng đại số ................................................................................15 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "LỜI MỞ ĐẦU Khi còn học phổ thông, đối với tôi bất đẳng thức là một vấn đề khó khăn lớn. Do đó, khi bước chân vào trường Đại Học tôi luôn ao ước có cơ hội nghiên cứu vấn đề này. Bất đẳng thức là chuyên đề khá phức tạp và có ứng dụng phong phú trong toán học. Nó liên quan đến nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, lượng giác, hình học …. Do đó, đây là lý thuyết rất quan trọng. Đã có rất nhiều nhà toán học có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết này như: Cauchy, Jensen, Hardy, … trong đó đặc biệt là Hölder và Minkowski. Các bất đẳng thức mang tên hai ông được ứng dụng rộng rãi trong giải toán cao cấp và toán sơ cấp, được vận dụng vào giải các bài toán hay và khó trong các kỳ thi quan trọng như: thi chọn học sinh giỏi, thi quốc gia hay thi Olympic quốc tế … Hơn nữa, đối với học sinh phổ thông, bất đẳng thức là chuyên đề phức tạp và không dễ. Phần đông các em đều không giải được bài toán bất đẳng thức và các bài toán có liên quan. Một phần do các em chưa biết cách vận dụng bất đẳng thức cơ bản, một phần các em chưa nắm được các bất đẳng thức này. Vì vậy, việc nghiên cứu hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó không những có ý nghĩa lớn trong việc khảo cứu các bất đẳng thức cơ b CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu dưới dạng cơ sở phục vụ cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder và Minkowski. # Trường Đại Học An Giang Trang 4" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu + xβ2) ≤ f(xα1) + f(xβ2) (1) Về mặt hình học, bất đẳng thức (1) có ý nghĩa như sau: Nếu gọi A1(x1, f(x1)); B(x2, f(x2)) là hai điểm nằm trên đường cong y = f(x), với a < x1 < x < x2 < b; thì mọi điểm của cung A1B1 – f(x) lồi, tức là ∀x1, x2 ∈ ( )ba;, ∀α , 0 mà = 1 thì f( xβ≥α +βα1 + βx2) ≥ α f(x1) + βf(x22, …, xn và α∈[ba;]i > 0, ( )n1,i =; α1 + α2 + …. + αn = 1, ta luôn có: ()∑∑==≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ = 1. Ta có: (1) kk2k1i1k1kiik1iiixαxαxαxα ++=∑∑−=−−=Đặt , vì thế từ (1) suy ra: 1α0αα2k1ii<<⇒=∑−=()⎥⎦⎤⎢−+−−α1αα1αk1k, mà xk-1, xk đều thuộc [ ]ba;, nên: # Trường Đại Học An Giang Trang 5" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " =*x 1, α2,….., αk-2, 1 - . (α α1 + α2 + …. + αk-2 + 1 - = 1) α (2) ⇒()( )()*2k1iii*2k1iiik1iiixfα1xfαα)x(1xαfxαf −+≤k1k1k*xfα1αxfα1αxα1αxα1αfxf−+−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−∑∑kk1k1ki2k1iik1iiixfα1αxfα1αα1xfαxαf Hay ()∑∑==≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛n21n21....aaana....aa≥+++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an. Chứng minh: Xét hàm số f(x) = - lnx với x > 0. Ta có f’(x) = x1− và 0x1)x(''f2>=. Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có: n21n21....xxxlnnx....xxln ≥+++⇔ Do tính đồng biến của hàm số y = lnx, suy ra nn21n21....xxxnx....xx≥+++,0xi>∀ Dấu bằng xảy ra x⇔1 = x2 = ….. = xn. , … , an là các số hạng không âm. Cho α1, α2, ... αn là các số hữu tỉ dương sao cho α1 + α2 + … + αn = 1. Chứng minh rằng: α1a1 + α2a2 +…+αnan ≥ n211===. Trong đó p1, p2, .., pn là các số nguyên dương và p1 + p2 + … + pn = N. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với p1 số a1, …, pn số an, ta được: n21n21p....pppnNp1nn2211n21...aaaaNp....aNpaNp≥+++⇔ ⇔α1a1 + α2a2 +……+αnCHƯƠNG II BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI Trong chương này, chúng ta sẽ tìm thấy các dạng đại số và dạng giải tích của bất đẳng thức Hölder; dạng đại số của bất đẳng thức Minkowski thứ I, II và dạng giải tích của bất đẳng thức Minkowski. Đáng chú ý là các hệ quả của hai bất đẳng thức trên, chúng được vận dụng nhiều trong giải toán phổ thông. # Trường Đại Học An Giang Trang 9" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "§1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER -------------------- 1.1. Dạng đại số: Cho hai dãy số không âm a1, a2⎝⎛n1kkkq1n1kqkp1n1kpkbaba (*) Có đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số A và B không đồng thời bằng không sao cho n.1,2,....,k,BbAaqkpk==Chứng minh: - Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy “suy rộng”. Theo bất đẳng thức Cauchy suy rộng, nếu a 0, b 0, thì: ≥ ≥1n1kpkk=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==, ta được: qaap1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≥+∑∑∑∑==== (2) Vì (2) đúng k = 1, 2, …, n, nên cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta được: ∀⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≥+∑∑== (3) Từ q1p1+ = 1, nên từ (3) suy ra đ.p.c.m Có đẳng thức khi và chỉ khi n bất đẳng thức trong (2) đều trở thành đẳng thức, theo (1), có điều này khi và chỉ khi: n1,k,b....bbba....aaaqnq22p2q1p1=== Với quy ước: Nếu bk = 0 với một k nào đó thì ak = 0 # Trường Đại Học An Giang Trang 10" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Ngoài ra, với a1 = … = an = 0 hoặc b1 = … = b1kqkqkkq1kkbbα;ba (k = 1, 2, …, n) Ta có ngay xk > 0, n1,2,...,k0,αk=∀> và 1α......ααn21=+++ Khi đó ta có: (**) ()kn1kknn2211−===≤⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛⇔n1kq1pkpkqkn1kqkp⎠⎞⎜⎝⎛⇔n1kpkn1kqkpn1kqkpn1kkkabbba (Do 0pqqp1q11pn1kqkpn1kkka.bba p1n1kpkp1pn1kqkn1kkkabba⎟⎟⎠=n1kkkbap1n1kpkq1n1kqkab⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞212n2221ba....babab....bba....aa +++≥++++++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:nn2211ba....baba===. (Bất đẳng thức Bouniakowski) 1.2. Dạng giải tích: 1.2.1. Định lý: 0)> . α1. Nếu thì tồn tại một số dương h sao cho a ≤ xbxa0≤<0 – h và f(x) > với mọi x α∈ . Khi đó: [00xh;-x]]() () () ()dxxfdxxfdxxfdxxfbxxhxhxaba0dxxfba∫≥()dxxf00xhx∫−Mặt khác, vì f(x) > α với mọi x ∈ [ ]00xh;-x nên: (2) ()dxxf00xhx∫−≥ 0αhdxα ().0dxxfba>∫1.2.2. Bổ đề: Giả sử (p, q) là một cặp số mũ liên hợp, tức là 1q1p1=+ ; p > 1; q > 1. Khi đó với hai số không âm bất kì ta luôn có: β,α qβpααβqp+≤# Trường Đại Học An Giang Trang 12"= trên [)+∞;0. Giả sử đường thẳng x = α cắt đồ thị (C) của hàm số y = xp-1 (cũng là đồ thị của hàm số 1p1yx−=) tại điểm A, đường thẳng y = cắt đồ thị (C) tại điểm B và cắt đường thẳng x = α tại điểm C. Khi đó diện tích hình chữ nhật Oα Cβ không lớn hơn tổng các diện tích của hai tam giác cong O α A giới hạn bởi trục hoành, đường thẳng x = và đồ thị (C) và tam giác cong OβB giới hạn bởi trục tung, đường thẳng y = β và đồ thị (C). βα BβOAαOβCαO1p1β01p1BβO11p1ydyyS+−==+−−∫ Vì qq11p1111p+≤. Có đẳng thức khi và chỉ khi hai điểm A và B trùng nhau, tức là: ( )pq1pq1pααββα ==⇔=−− 1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích: Giả sử (p, q) là một cặp số mũ liên hợp, f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [. Khi đó: ]ba;()() () ()∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞Chứng minh: # Trường Đại Học An Giang Trang 13" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "¾ Nếu một trong hai tích phân ()dxxfbap∫ hoặc()dxxgbaq∫ bằng không thì (1) đúng. Thật vậy, giả sử ()dxxfb.0dxxgxfba=∫ ¾ Giả sử ()dxxfbap∫> 0 và ()dxxgbaq∫ > 0. Áp dụng bổ đề 1.2.2, với ( )()p1bapdxxf⎛=∫, ta được ()()( )()( )()( )()dxxgxgq1dxxfxfp1dxxgxg.dxxfxfbaqqb⎝⎛,∀x∈ (2) [ba;]Do đó: ()()() ()()()()()1q1p1dxxgdxxgq1dxxfdxxfp1⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∫∫∫∫∫∫ Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Theo bổ đề 1.2.2, (2) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi: ()()( )()q1bax∈[ ]ba; Kết hợp với phần 1, ta được (1) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho: A |f(x)|p = B|g(x)|q, ∀x ∈ [ ]ba; H ệ quả: Khi p = q = 2, bất đẳng thức Hölder trở thành: ()() () ()21ba221ba2 Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "§2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI -------------------- 2.1. Dạng đại số: 2.1.1. Bất đẳng thức Minkowski thứ I: Cho hai dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn. Giả sử p > 1 là số hữu tỉ. Chứng minh rằng: ()p1n1kpkp⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== Chứng minh: Gọi q là số hữu tỉ mà 1q1p1=+ . Vì p > 1 nên q cũng là số hữu tỉ > 1. Áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hai dãy số { }kavà (){ }1pkkba−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤+∑∑∑=−==− (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hai dãy { }kb và (){ }1pkkba−+ ta được: () ()⎞⎜⎜⎝⎛≤+∑∑∑=−==− (2) Cộng từng vế (1) và (2), ta có: ()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜n1kpkq1n1kpkkn1kpkkbababa (do q(p - 1) = p)(3) Nếu ak = bk = 0, k = 1, 2,…, n thì bất đẳng thức (3) hiển nhiên đúng. ∀Do đó ta có thể giả thiết . Nên từ (3) ta có: ()0ban1kpkk⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑∑==−= Hay ()p1⎜⎜⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== . # Trường Đại Học An Giang Trang 15" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Hệ quả: Nếu p = q = n = 2, thì bất đẳng thức Minkowski trở thành: ()( ) (Bất đẳng thức tam giác) 2.1.2. Bất đẳng thức Minkowski thứ II: Cho 2 dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn. Chứng minh rằng: ()( )( )nn21nn21nnn2211...bbb...aaaba...baba +≥+++ (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nn221)k + bk = 0. Do 0ba0b,0akkkk==⇒≥≥. Vậy bất đẳng thức (1) đúng (vì cả hai vế bằng 0). d Nếu (a1 + b1)(a2 + b2).....(an + bn) > 0. Khi đó bất đẳng thức (1) viết lại dưới dạng sau: 1bab.......ba (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++≤+++nnn222111nnnn222111+≤+++nnn222111nnnn222111bab......babbabn1bab.......babn222111nnn222111bab.....babbabbaa.....baabaa Với quy ước nếu bk = 0 thì akx). ()R∈∀>+=⇒+=⇒x,0e1e)x(''fe1e)x('f2xxxx Vậy f(x) là hàm lồi trên R. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có: () () ( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++ Chọn n1,2,....,i,ablnxiii== ta được: ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜blnnn2211nn2211e1lnnab1ln.....ab1lnab1ln ()( ) ( )⎟⎟⎠nn21nn21nnn2211b.....bba.....aaba.....baba +≥+++⇒ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: n21x...xx === nn2211nn2211ab...abapp1bapdxxgdxxfdxxgxf⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤⎟⎟⎠⎞⎜1pxgxf−+,∀. Do đó: [b;ax ∈]() () () () () () () ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++≤+−−∫∫∫dxxgxf xgdxxgxf xfdxxgxf1pba1pbab⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤+∫∫∫−−q1baq1pp1bap1pbadxxgxfdxxfdxxgxf xf =∫∫ (3) Tương tự: () () () () () ()q1bapp1bap1pbadxxgxfdxxgdxxgxf xg⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟bapdxxgxf.dxxgdxxfdxxgxf⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝, từ (5) suy ra: () () () ()p1bapp1bapq11bapdxxgdxxfdxxgxf⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟app1bapdxxgdxxfdxxgxf⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤⎟⎟⎠⎞ CHƯƠNG III ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Các ứng dụng toán phổ thông của bất đẳng thức Hölder và Minkowski được thể hiện trong chương này một cách khá đặc sắc ở nhiều lĩnh vực toán học: giải tích, giải tích tổ hợp, hình học, hình học giải tích, đại số, lượng giác và số học. # Trường Đại Học An Giang Trang 19" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "§1. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER -------------------- 1.1. Ứng dụng trong giải tích: 1.1.1. Bất đẳng thức tích phân: nên ]]ba;≥[ba;( ) ( )1xgxf ≥ với mọi x ∈ [ ]ba;. Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số fvà g, ta được: () () ()()()()()() ().abdxdxxgxfdxxgdxxfdxxg.dxxf22ba≥=∫∫∫∫∫∫ Bài 2: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ và f(0) - f(1) = 1. Chứng minh rằng: ]]0;1()[]1dxxf'102≥∫Chứng minh: Theo định lý Newton – Leibniz: () () ()10f1fdxxf'10=−=∫Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số f’(x) và g(x) = ⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛102102102210210e1edtee1e Chứng minh: Ta có: ∫∫+=+−x02t-tt21x0t2tdteeedtee (1) Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder, ta có: # Trường Đại Học An Giang Trang 20" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " ()⎠⎞⎜⎝⎛−−<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−∫21e1ee212tdte1ex−Từ (2) và (3), suy ra: < 1ex−dteex0t2t∫−+< ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−21e1ebxa0≤≤=. Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Hölder với hai hàm f’(x) và g(x) = 1, ta được: () ()() ( )()()∫∫ ∫∫−=≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛00 00xaxaxa2022a22ba2∫∫−≤⇒−≤ Bài 5: Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) xác định trên và nhận giá trị cũng trên đoạn [ . Chứng minh: [0;1]]0;1()() () ()dxxgdxxfdxxgxf1010210∫∫∫⎜⎜⎝⎛Vì () ( )1x01,xg1;0xf0 ≤≤∀≤≤≤≤ nên: và () ()xfxf2≤( ) ( )1x0,xgxg2≤≤∀≤ . # Trường Đại Học An Giang Trang 21" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "Suy ra do đó: () () () ()dxxgdxxfdxxgxf1010210∫∫∫≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Bài 6: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên [ ]0;1 và ()1xf ≤,[0;1x]∈∀. Chứng minh: 2102dx(x)f-1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫()()∫∫−≤10102dxdxxf1()∫−=102⎝⎛10102210dxdxxfdxxf210f(x)dx⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫≥()∫−10để: S = x + y nhỏ nhất (tính theo a, b). Giải Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder, ta có: (a + b)2 = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+ yybxxa2 ≤ ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝"⇔⎩⎨⎧+=+=)ba(by)ba(ax Vậy: Min(S) = ( a+ b)2, khi: ⎩⎨⎧+=+=)ba(by)ba(ax.Bài 2: Chứng minh rằng nếu phương trình: (1) có nghiệm thì a 0 1 cx bx ax x234=++++2 + bxxxcbacxbxaxx1 ++++≤++=+ ( )24624222xxxx1cba+++≥++⇒ (2) Mặt khác: ()34xxxx124624≥+++ (3) Thật vậy: (3) ( ) ( )24684−===−==−===1x32cba1x32cba Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x, y, z, t) = x4 + y4 + z4 xét trên miền ( ){ }4zxyzxy: zy,x,D =++=. Giải: Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai dãy số: x, y, z và y, z, x ta được: ()( )22⎝⎛, và do D32,32,32∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛, nên: # Trường Đại Học An Giang Trang 23" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu "2 = b3 = 1 ta được: ()( )2222zyxzyx3 ++≥++ Vậy: , ta có: ()Dz,y,x ∈∀( )81zyx2≤++ Hay: 9zyx ≤++( )Dz,y,x ∈∀ (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3. Lại áp dụng hệ quả bất đẳng thức Hölder cho hai dãy số a1 = x, a2 = y, aVậy ()()36zy,x,fmaxDy,zx,=∈ khi x = y = z = 3. Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ()zyxtyxtzxtzytzyxt,z,y,xf3333+++++++++++= yxtz ++, ,()zyxt ++, ta được: ()( )( ) ( )( )[]≥+++++++++++ zyxtyxtzxtzytzyxtz,y,x,f( )22222tzyx +++≥ Hay ()( )( )[]()2222222222tzyxtzyxtzyxtz,y,x,f +++≥+++−+++ ()( )()() # Trường Đại Học An Giang Trang 24"

Tải File Word Nhờ tải bản gốc Tài liệu, ebook tham khảo khác

• Ứng dụng của bất đẳng thức Holder và Minkowski trong toán phổ thông
• Ung dung cua bat dang thuc co si
• Tài liệu Những vấn đề cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức
• Ung dung cua bat dang thuc co si
• PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
• Giáo trình phân tích khả năng ứng dụng của các công cụ polyline và chamfer trong AutoCad phần 1
• Giáo trình phân tích khả năng ứng dụng của các công cụ polyline và chamfer trong AutoCad phần 2
• Giáo trình phân tích khả năng ứng dụng của các công cụ polyline và chamfer trong AutoCad phần 3
• Giáo trình phân tích khả năng ứng dụng của các công cụ polyline và chamfer trong AutoCad phần 4
• Giáo trình phân tích khả năng ứng dụng của các công cụ polyline và chamfer trong AutoCad phần 5
• Xuất khẩu cà phê Việt Nam hiện nay: Phương hướng và giải pháp trong những năm tới
• Những giải pháp cơ bản nhằm đẩy mạnh xuất nhập khẩu của Công ty Hoá chất -Vật liệu điện và Vật tư Khoa học kỹ thuật với thị trường Trung quốc
• Thực trạng và giải pháp để hạn chế những tranh chấp khi thực hiện hợp đồng xuất khẩu mặt hàng nông sản tại Công ty xuất nhập khẩu và đầu tư Hà Nội
• Một số giải pháp nhằm thúc đẩy hoạt động xuất khẩu tại Công ty giầy Thượng Đình
• Phương hướng và giải pháp nhằm đẩy mạnh hoạt động xuất khẩu của công ty TNHH Sơn Mài Mới
• Hoàn thiện quy trình nhập khẩu tại Công ty cổ phần Xuất nhập khẩu Hàng không
• Đẩy mạnh hoạt động xuất khẩu nông sản tại Công ty TNHH nhà nước một thành viên Xuất Nhập Khẩu và Đầu Tư Hà Nội - Unimex
• Đề án Phát triển công nghiệp chế biến ở Việt Nam nhằm tăng sức cạnh tranh của cà phê xuất khẩu
• Đề án Một số biện pháp nâng cao khả năng cạnh tranh của gạo xuất khẩu Việt Nam trên thị trường thế giới
• Tiểu luận Tác động của hàng rào kỹ thuật của Nhật Bản đối với xuất khẩu thủy sản của Việt Nam

Hệ thống tự động tổng hợp link tải tài liệu, ebook miễn phí cho các bạn sinh viên tham khảo.

Học thêm

• Nhờ tải tài liệu
• Từ điển Nhật Việt online
• Từ điển Hàn Việt online
• Văn mẫu tuyển chọn
• Tài liệu Cao học
• Tài liệu tham khảo
• Truyện Tiếng Anh

Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học ©

Top