Ứng Dụng Ma Trận Nghịch đảo để Giải Phương Trình Ma Trận - Vted

Bài viết này vted giới thiệu đến quý bạn đọc một ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận:

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

>>Cơ sở của không gian véctơ

>> Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số

>> Khai triển Taylor và ứng dụng

>> Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải

Cho hai ma trận $A,B$ với $A$ là ma trận không suy biến. Tìm các ma trận $X,Y$ sao cho $AX=B$ và $YA=B.$

Do $A$ là ma trận không suy biến nên tồn tại ${{A}^{-1}},$ do đó

$AX=B\Leftrightarrow {{A}^{-1}}AX={{A}^{-1}}B\Leftrightarrow EX={{A}^{-1}}B\Leftrightarrow X={{A}^{-1}}B.$

$YA=B\Leftrightarrow YA{{A}^{-1}}=B{{A}^{-1}}\Leftrightarrow YE=B{{A}^{-1}}\Leftrightarrow Y=B{{A}^{-1}}.$

Với $A,B$ là hai ma trận không suy biến ta có:

$AXB=C\Leftrightarrow {{A}^{-1}}AXB={{A}^{-1}}C\Leftrightarrow EXB={{A}^{-1}}C\Leftrightarrow XB={{A}^{-1}}C\Leftrightarrow X={{A}^{-1}}C{{B}^{-1}}.$

Câu 1. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 4}&2\\ 1&3&2\\ 3&5&{ - 1} \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 6}\\ { - 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right).$

Giải. Có $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 4}&2\\ 1&3&2\\ 3&5&{ - 1} \end{array}} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 6}\\ { - 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right) = \frac{1}{{127}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}&{ - 6}&{14}\\ { - 7}&{13}&{12}\\ 4&{47}&{ - 25} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 6}\\ { - 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right) = \frac{1}{{127}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {95}&{ - 48}\\ { - 100}&{104}\\ { - 342}&{ - 5} \end{array}} \right).$

Câu 2. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&2&{ - 4}\\ 2&{ - 1}&0 \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&2&{ - 4}\\ 2&{ - 1}&0 \end{array}} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&3&{ - 2}\\ { - 8}&6&{ - 5}\\ { - 7}&5&{ - 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8}&2\\ { - 17}&{ - 5}\\ { - 15}&{ - 1} \end{array}} \right).$

Câu 3. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&2&{ - 4}\\ 2&{ - 1}&0 \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&2&{ - 4}\\ 2&{ - 1}&0 \end{array}} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&3&{ - 2}\\ { - 8}&6&{ - 5}\\ { - 7}&5&{ - 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&4&5\\ 2&1&2\\ 3&3&3 \end{array}} \right).$

Câu 10. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}&1\\ 4&{ - 5}&2\\ 5&{ - 7}&3 \end{array}} \right)X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&7&6\\ 1&1&2\\ 1&{ - 1}&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{ - 2}\\ {18}&{30}&9\\ {23}&{41}&{11} \end{array}} \right).$

Giải.Ta có:

$\begin{array}{l} X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&7&6\\ 1&1&2\\ 1&{ - 1}&1 \end{array}} \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}&1\\ 4&{ - 5}&2\\ 5&{ - 7}&3 \end{array}} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{ - 2}\\ {18}&{30}&9\\ {23}&{41}&{11} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}&1\\ 4&{ - 5}&2\\ 5&{ - 7}&3 \end{array}} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{ - 2}\\ {18}&{30}&9\\ {23}&{41}&{11} \end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&7&6\\ 1&1&2\\ 1&{ - 1}&1 \end{array}} \right)^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array}} \right). \end{array}$

Câu 11. Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { - 1}&2 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&1 \end{array}} \right).$ Tìm ma trận $X$ thoả mãn $({{A}^{2}}+5E)X={B}'(3A-{{A}^{2}}).$

Giải. Với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { - 1}&2 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&1 \end{array}} \right).$

Ta có:

$\begin{array}{l} {A^2} + 5E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { - 1}&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { - 1}&2 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 0&5 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{24}\\ { - 8}&{11} \end{array}} \right)\\ 3A - {A^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&9\\ { - 3}&6 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { - 1}&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { - 1}&2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ { - 4}&2 \end{array}} \right);B' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 0&1 \end{array}} \right)\\ B'(3A - {A^2}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 0&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ { - 4}&2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&2\\ { - 4}&2 \end{array}} \right). \end{array}$

Vậy $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{24}\\ { - 8}&{11} \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&2\\ { - 4}&2 \end{array}} \right) \Leftrightarrow X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{24}\\ { - 8}&{11} \end{array}} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&2\\ { - 4}&2 \end{array}} \right) = \frac{1}{{225}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}&{ - 26}\\ { - 60}&{22} \end{array}} \right).$

Câu 12. Cho các ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1\\ 2&3&4\\ 3&1&{ - 1} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 3&4\\ 0&3 \end{array}} \right),C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{10}\\ 6&{16}&7 \end{array}} \right).$ Tìm ma trận $X$ thoả mãn $AX+B={C}'.$

Câu 13. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp không suy biến. Chứng minh rằng tồn tại ma trận khôngsuy biến $P$ sao cho $A=PB.$

Giải. Ta có $PB=A\Leftrightarrow PB{{B}^{-1}}=A{{B}^{-1}}\Leftrightarrow P=A{{B}^{-1}}$ rõ ràng $\det (P)=\det (A{{B}^{-1}})=\det (A)\det ({{B}^{-1}})\ne 0.$

Ta có điều phải chứng minh.

Câu 14. Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ 1&2&1\\ { - 2}&3&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&0&{ - 2}\\ 1&2&2\\ 1&2&0 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có

$X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&0&{ - 2}\\ 1&2&2\\ 1&2&0 \end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ 1&2&1\\ { - 2}&3&1 \end{array}} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{9}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&0&{ - 2}\\ 1&2&2\\ 1&2&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&4&{ - 3}\\ { - 3}&3&0\\ 7&{ - 1}&3 \end{array}} \right) = \frac{1}{9}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&6&0\\ { - 15}&6&{ - 9}\\ 7&8&3\\ { - 7}&{10}&{ - 3} \end{array}} \right).$

Câu 21. Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&4&6 \\ 0&1&1 \\ 2&{ - 3}&{ - 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right).$

Câu 21. Có $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&4&6 \\ 0&1&1 \\ 2&{ - 3}&{ - 4} \end{array}} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2 \\ { - 2}&0&{ - 3} \\ 2&1&3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&4&{11} \\ 2&2&3 \end{array}} \right).$

Câu 25. Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&7 \\ 2&1&2 \\ { - 3}&3&8 \end{array}} \right);B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3 \\ 0&2&1 \\ 2&0&2 \end{array}} \right).$

a) Tìm ma trận nghịch đảo ${{A}^{-1}}.$

b) Tìm các ma trận $X,Y$ thoả mãn $\left\{ \begin{gathered} A\left( {X + Y} \right) = B \hfill \\ \left( {X - Y} \right)A = B \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Có ${A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&3&1 \\ {22}&{ - 29}&{ - 12} \\ { - 9}&{12}&5 \end{array}} \right).$

Do đó \[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} A\left( {X + Y} \right) = B \hfill \\ \left( {X - Y} \right)A = B \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} X + Y = {A^{ - 1}}B \hfill \\ X - Y = B{A^{ - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} X = \frac{1}{2}\left( {{A^{ - 1}}B + B{A^{ - 1}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 11}&{17}&4 \\ {55}&{ - 82}&{ - 6} \\ { - 30}&{45}&7 \end{array}} \right) \hfill \\ Y = \frac{1}{2}\left( {{A^{ - 1}}B - B{A^{ - 1}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 9}&{ - 6} \\ { - 15}&{10}&{32} \\ {14}&{ - 15}&{ - 17} \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ . \hfill \\ \end{gathered} \]

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY