Ứng Dụng Số Phức, Giải Phương Trình Bậc Ba

Trang chủ » Giải Phương Trình Bậc Ba Trên Tập Số Phức » Ứng Dụng Số Phức, Giải Phương Trình Bậc Ba

Có thể bạn quan tâm

Xét phương trình bậc ba:

x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 \qquad (1)

Ta đặt: y = x + { \frac{a}{3}} \Rightarrow x = y - { \frac{a}{3}}

(1) \Leftrightarrow {(y - { \frac{a}{3}})}^{3} + a.{(y - { \frac{a}{3}})}^{2} + b.{(y - { \frac{a}{3}})} + c = 0

\Leftrightarrow {y}^{3} + y.(b - { \frac{a^{2}}{3}}) + { \frac{2.a^{3}}{27}} - { \frac{ab}{3}} + c = 0

\Leftrightarrow {y}^{3} + py + q = 0 \qquad (2) , với p = b - { \frac{a^{2}}{3}} , q = { \frac{2.a^{3}}{27}} - { \frac{ab}{3}} + c

Như vậy, bằng cách đặt như trên, ta đưa phương trình (1) về phương trình (2) khuyết thành phần bình phương.

Ta xây dựng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình (2).

Đặt y = u + v \qquad (3)

(2) \Leftrightarrow {(u+v)}^{3} + p(u+v) + q = 0

\Leftrightarrow {u}^{3} + 3.{u}^{2}.v + 3.u.{v}^{2} + {v}{3} + p(u+v) + q = 0

\Leftrightarrow {u}^{3} + {v}^{3} + (u+v).(3uv + p) + q = 0

Ta tìm u, v sao cho:

\left \{ \begin{array}{c} {3uv + p = 0} \\{u^{3} + v^{3} = - q} \end{array} \right.   \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{c} {u^{3}.v^{3} = - { \frac{p^{3}}{27}}} \\{u^{3} + v^{3} = - q} \end{array} \right. (4)

 Từ phương trình (4) ta có: u^{3} , v^{3} là nghiệm của phương trình:

t^{2} + qt - { \frac{p^{3}}{27}} = 0

Trường hợp 1:  \Delta \ge 0.Ta có:

u^{3} = - { \frac{q}{2}} + \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}} , v^{3} = - { \frac{q}{2}} - \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}

Trường hợp 2:  \Delta < 0.Ta có:

v^{3} = - { \frac{q}{2}} + i \sqrt{- { \frac{q^{2}}{4}} - { \frac{p^{3}}{27}}} , v^{3} = - { \frac{q}{2}} - i \sqrt{- { \frac{q^{2}}{4}} - { \frac{p^{3}}{27}}} (5)

Ta xét trường hợp 1 (trường hợp 2 xét tương tự) Khi đó có 3 giá trị u và 3 giá trị v thỏa mãn phương trình (5):

\left \{ \begin{array}{l} {u_{1} = \sqrt[3]{ - { \frac{q}{2}} + \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}} = A} \\ \\{u_{2} = A. (- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \\ \\{u_{3} = A. (- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \end{array} \right. , \left \{ \begin{array}{l} {v_{1} = \sqrt[3]{ - { \frac{q}{2}} - \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}} = B} \\ \\{v_{2} = B. (- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \\ \\{v_{3} = B. (- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \end{array} \right. (6)

 Ta chọn u,v thỏa mãn phương trình (4). Lần lượt thế các cặp giá trị (u, v) vào phương trình (4), ta nhận thấy chỉ có 3 cặp giá trị thỏa mãn. Đó là: (u_{1},v_{1}) , (u_{2},v_{3}) , (u_{3},v_{2})

 Thế 3 cặp (u, v) ở trên vào biểu thức (3) ta có 3 giá trị y tương ứng và đó là nghiệm của phương trình (2).

\left \{ \begin{array}{l} {y_{1} = u_{1} + v_{1}} \\{y_{2} = u_{2} + v_{3} = u_{1}. {(- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})} + v_{1}. {(- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})}} \\{y_{3} = u_{3} + v_{2} = u_{1}. {(- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})} + v_{1}. {(- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})}} \end{array}\right.

Hay:

\left \{ \begin{array}{l} {y_{1} = u_{1} + v_{1}} \\{y_{2} = {- { \frac{1}{2}} .{(u_{1} + v_{1})} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}}}}.{(u_{1} - v_{1})} \\{y_{3} = {- { \frac{1}{2}} .{(u_{1} + v_{1})} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}}}}.{(u_{1} - v_{1})} \end{array}\right. (*)

Vậy phương trình (2) được giải nhờ công thức (*) với u_{1} , v_{1} được xác định từ công thức (7).

Do đó, thế x = y - { \frac{a}{3}} ta có được công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1).

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Giải Phương Trình Bậc Ba Trên Tập Số Phức