Về định Nghĩa Của Không Gian Tô Pô Tích. | Cá Kho Tộ

Có thể bạn quan tâm

Cá Kho Tộ Phạm Ngô Thành Đạt

Skip to content ← Completion of a Metric space. Bài toán số học trong kì thi VMO 2017. →

Về định nghĩa của không gian tô pô tích.

Posted on March 12, 2017 by Dat Pham

Với hai không gian tôpô $X$ và $Y$ một cách tự nhiên ta có thể định nghĩa một tôpô trên tích Descartes $X\times Y$ bằng cách chọn một cơ sở cho nó là các tập dạng $U\times V$ trong đó $U,V$ lần lượt là các tập mở tùy ý trong $X,Y$ . Nói cách khác một tập con khác rỗng của $X\times Y$ được định nghĩa là mở nếu nó là hợp của một số các tập có dạng nói trên. Một cách tương tự ta có thể định nghĩa một tôpô trên tích Descartes của một tập tùy ý các không gian tô pô $\prod \limits_{i\in I} X_{i}$ bằng cách lấy một cơ sở của nó là $\qquad B=\{ \prod \limits_{i\in I} U_{i}| U_{i} \;\textit{open in}\;X\}$ . Tô pô được định nghĩa theo cách này được gọi là tôpô hộp ( $\textit{box topology}$ ). Tuy nhiên trong trường hợp $I$ là tập vô hạn người ta thường sử dụng một tôpô khác thông dụng hơn cho $\prod \limits_{i\in I} X_{i}$ . Cụ thể tôpô này có một cơ sở là tập các tích Descartes của các tập mở $U_{i}$ trong $X_{i}$ như trên, chỉ khác một điều ở đây có một hạn chế là ngoại trừ một số hữu hạn các chỉ số $i\in I$ thì ta đều có $U_{i}=X_{i}$ . Tôpô tương ứng được gọi là tô pô tích ( $\textit{product topology}$ ). Vì $X_{i}$ cũng là tập mở trong chính nó nên hiển nhiên tôpô hộp mịn hơn tô pô tích, đồng thời hai tô pô này là như nhau trong trường hợp tập $I$ của ta là hữu hạn. Có thể thấy tôpô tích có phần không tự nhiên và khó hình dung hơn so với tô pô hộp nói trên, tuy vậy nó lại thỏa mãn nhiều tính chất mà tôpô hộp không có được. Chẳng hạn định lý Tychonoff nói rằng tích Descartes của một tập tùy ý các không gian tô pô compact thì compact với tôpô tích, trong khi điều này thì không nhất thiết đúng đối với tô pô hộp. Dưới đây ta sẽ thấy tôpô tích là tôpô thô nhất mà dưới nó thì các phép chiếu chính tắc $p_{i}$ từ $\prod \limits_{i\in I} X_{i}$ vào các không gian thành phần $X_{i}$ định bởi $p_{i} ((x_{j})_{j\in I})=x_{i}$ đều liên tục. Thực vậy, một ánh xạ là liên tục khi và chỉ khi ảnh ngược của mỗi tập mở trong không gian đích đều mở trong không gian xuất phát. Ngoài ta do mọi tập mở đều là hợp của các tập cơ sở nên ta chỉ cần ảnh ngược của các tập cơ sở là mở. Dễ thấy rằng nếu $U_{i}$ là một tập mở trong $X_{i}$ thì ảnh ngược của nó qua $p_{i}$ là $p_{i}^{-1}(U_{i})=\prod\limits_{j\in I} U_{j}$ trong đó $U_{j}=X_{j}$ nếu $j\ne i$ . Như vậy tôpô tích phải chứa tô pô sinh bởi các ảnh ngược này. Đến đây nhắc lại rằng tôpô sinh bởi một tập hợp $S$ các tập hợp con của $X$ chính là hợp của tất cả các phần giao hữu hạn của các phần tử trong $S$ . Từ đây ta thấy tôpô tích chính bằng tôpô sinh bởi các ảnh ngược nói trên, không hơn không kém. Như vậy tôpô tích là nhỏ nhất theo nghĩa nó chỉ chứa “vừa đủ” các tập mở để đảm bảo các phép chiếu chính tắc là liên tục trong khi tôpô hộp có thể chứa các tập mở “không cần thiết”.