Vectơ Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng, Tọa độ Của Vectơ Pháp ...

Để sử dụng phương pháp tọa độ, bạn cần nắm rõ các công thức. Có ba trong số họ:

Thoạt nhìn, nó trông có vẻ đe dọa, nhưng chỉ cần thực hành một chút - và mọi thứ sẽ hoạt động tốt.

Nhiệm vụ. Tìm côsin của góc giữa các vectơ a = (4; 3; 0) và b = (0; 12; 5).

Quyết định. Vì chúng tôi được cung cấp tọa độ của các vectơ, chúng tôi thay thế chúng vào công thức đầu tiên:

Nhiệm vụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) và K = (2; 1; 0), nếu biết nó không đi qua nguồn gốc.

Quyết định. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, nhưng vì mặt phẳng mong muốn không đi qua gốc - điểm (0; 0; 0) - nên ta đặt D = 1. Vì mặt phẳng này đi qua qua các điểm M, N và K thì tọa độ của các điểm này sẽ biến phương trình thành một đẳng thức số đúng.

Chúng ta hãy thay tọa độ của điểm M = (2; 0; 1) thay cho x, y và z. Chúng ta có: A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Tương tự, đối với các điểm N = (0; 1; 1) và K = (2; 1; 0), ta có phương trình: A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0; A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Vì vậy, chúng ta có ba phương trình và ba ẩn số. Chúng tôi soạn và giải hệ phương trình:

Ta được phương trình của mặt phẳng có dạng: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Nhiệm vụ. Mặt phẳng cho bởi phương trình 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Tìm tọa độ của vectơ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Quyết định. Sử dụng công thức thứ ba, chúng ta nhận được n = (7; - 2; 4) - vậy thôi!

Tính toán tọa độ của vectơ

Nhưng nếu trong bài toán không có vectơ nào - chỉ có các điểm nằm trên các đường thẳng và yêu cầu tính góc giữa các đường thẳng này thì sao? Thật đơn giản: biết tọa độ của các điểm - điểm đầu và điểm cuối của vectơ - bạn có thể tính được tọa độ của chính vectơ đó.

Để tìm tọa độ của một vectơ, cần phải trừ tọa độ của điểm đầu cho tọa độ của điểm cuối của nó.

Định lý này hoạt động như nhau trên mặt phẳng và trong không gian. Biểu thức "trừ tọa độ" có nghĩa là tọa độ x của một điểm khác bị trừ đi tọa độ x của một điểm, sau đó phải thực hiện điều tương tự với tọa độ y và z. Dưới đây là một số ví dụ:

Nhiệm vụ. Có ba điểm trong không gian, được cho bởi tọa độ của chúng: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) và C = (- 4; 3; - 2). Tìm tọa độ các vectơ AB, AC và BC.

Xét vectơ AB: điểm đầu của nó là điểm A và điểm cuối của nó là điểm B. Do đó, để tìm được toạ độ của nó, cần phải trừ toạ độ của điểm A cho toạ độ của điểm B: AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Tương tự, điểm đầu của vectơ AC vẫn là điểm A, nhưng điểm cuối là điểm C. Do đó, ta có: AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Cuối cùng, để tìm tọa độ của vectơ BC, cần phải trừ tọa độ của điểm B cho tọa độ của điểm C: BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Đáp số: AB = (2; - 7; 4); AC = (−5; −3; −5); BC = (−7; 4; - 9)

Chú ý đến phép tính tọa độ của vectơ cuối BC: rất nhiều người mắc sai lầm khi làm việc với các số âm. Điều này áp dụng cho biến y: điểm B có tọa độ y = - 1, và điểm C có y = 3. Ta nhận được chính xác 3 - (- 1) = 4, chứ không phải 3 - 1 như nhiều người vẫn nghĩ. Đừng mắc phải những sai lầm ngu ngốc như vậy!

Tính toán vectơ hướng cho đường thẳng

Nếu bạn đọc kỹ bài toán C2, bạn sẽ ngạc nhiên khi thấy rằng không có vectơ nào ở đó. Chỉ có đường thẳng và mặt phẳng.

Hãy bắt đầu với các đường thẳng. Mọi thứ rất đơn giản ở đây: trên bất kỳ dòng nào có ít nhất hai điểm khác nhau và ngược lại, hai điểm khác nhau bất kỳ xác định một dòng duy nhất ...

Có ai hiểu những gì được viết trong đoạn trước không? Bản thân tôi cũng không hiểu nên tôi sẽ giải thích đơn giản hơn: trong bài toán C2, các đường luôn được cho bởi một cặp điểm. Nếu chúng ta giới thiệu một hệ tọa độ và xem xét một vectơ có điểm đầu và điểm cuối tại những điểm này, chúng ta nhận được cái gọi là vectơ chỉ đạo của một đường thẳng:

Tại sao cần có vector này? Điểm ở đây là góc giữa hai đường thẳng là góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng. Do đó, chúng ta đang chuyển từ các đường thẳng khó hiểu sang các vectơ cụ thể, tọa độ của chúng có thể dễ dàng tính được. Làm thế nào dễ dàng? Hãy xem các ví dụ:

Nhiệm vụ. Các đường thẳng AC và BD 1 được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này.

Vì độ dài các cạnh của hình lập phương không xác định trong điều kiện nên ta đặt AB = 1. Hãy giới thiệu một hệ trục tọa độ với gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z có hướng dọc theo các đường thẳng AB, AD và AA. 1, tương ứng. Đoạn đơn vị bằng AB = 1.

Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. Ta cần hai điểm: A = (0; 0; 0) và C = (1; 1; 0). Từ đây ta được tọa độ của vectơ AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - đây là vectơ chỉ phương.

Bây giờ chúng ta hãy xử lý đoạn thẳng BD 1. Nó cũng có hai điểm: B = (1; 0; 0) và D 1 = (0; 1; 1). Ta được vectơ chỉ phương BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Đáp số: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Nhiệm vụ. Trong lăng trụ tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng 1, các đường thẳng AB 1 và AC 1. Tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này.

Chúng ta đưa ra một hệ trục tọa độ: gốc tọa độ tại điểm A, trục x trùng với AB, trục z trùng với AA 1, trục y tạo thành mặt phẳng OXY với trục x trùng với mặt phẳng ABC. .

Đầu tiên, chúng ta hãy xử lý đoạn thẳng AB 1. Mọi thứ rất đơn giản ở đây: chúng ta có các điểm A = (0; 0; 0) và B 1 = (1; 0; 1). Ta được vectơ chỉ phương AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Bây giờ chúng ta hãy tìm vectơ chỉ phương của AC 1. Mọi thứ đều giống nhau - điểm khác biệt duy nhất là điểm C 1 có tọa độ không hợp lý. Vì vậy, A = (0; 0; 0), do đó, chúng tôi có:

Đáp số: AB 1 = (1; 0; 1);

Một lưu ý nhỏ nhưng rất quan trọng về ví dụ cuối cùng. Nếu điểm đầu của vectơ trùng với điểm gốc, các phép tính được đơn giản hóa rất nhiều: tọa độ của vectơ chỉ đơn giản bằng tọa độ của điểm cuối. Thật không may, điều này chỉ đúng với vectơ. Ví dụ, khi làm việc với các mặt phẳng, sự hiện diện của gốc tọa độ trên chúng chỉ làm phức tạp các tính toán.

Tính vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng

Các vectơ bình thường không phải là các vectơ đang hoạt động tốt hoặc cảm thấy tốt. Theo định nghĩa, một vectơ pháp tuyến (pháp tuyến) đối với một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Nói cách khác, pháp tuyến là một vectơ vuông góc với một vectơ bất kỳ trong một mặt phẳng cho trước. Chắc chắn bạn đã bắt gặp một định nghĩa như vậy - tuy nhiên, thay vì vectơ, nó là về đường thẳng. Tuy nhiên, ở trên đã chỉ ra rằng trong bài toán C2 người ta có thể thao tác với bất kỳ đối tượng thuận tiện nào - ngay cả một đường thẳng, thậm chí một vectơ.

Tôi xin nhắc lại một lần nữa rằng bất kỳ mặt phẳng nào cũng được xác định trong không gian bởi phương trình Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C và D là một số hệ số. Không làm giảm tính tổng quát của nghiệm, chúng ta có thể giả sử D = 1 nếu mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ, hoặc D = 0 nếu nó có. Trong mọi trường hợp, tọa độ của vectơ pháp tuyến với mặt phẳng này là n = (A; B; C).

Vì vậy, máy bay cũng có thể được thay thế thành công bằng một vectơ - cùng một pháp tuyến. Bất kỳ mặt phẳng nào được xác định trong không gian bởi ba điểm. Làm thế nào để tìm phương trình của mặt phẳng (và do đó là pháp tuyến), chúng ta đã thảo luận ở phần đầu của bài viết. Tuy nhiên, quá trình này gây ra nhiều vấn đề cho nhiều người, vì vậy tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ khác:

Nhiệm vụ. Thiết diện A 1 BC 1 được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này, nếu gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z lần lượt trùng với các cạnh AB, AD và AA 1.

Vì mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ nên phương trình của nó có dạng như sau: Ax + By + Cz + 1 = 0, tức là hệ số D \ u003d 1. Vì mặt phẳng này đi qua các điểm A 1, B và C 1 nên tọa độ của các điểm này biến phương trình của mặt phẳng thành một đẳng thức số đúng.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Tương tự, với các điểm B = (1; 0; 0) và C 1 = (1; 1; 1), ta có phương trình: A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1; A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Nhưng các hệ số A = - 1 và C = - 1 đã được chúng ta biết trước, vì vậy chúng ta vẫn phải tìm hệ số B: B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Ta được phương trình của mặt phẳng: - A + B - C + 1 = 0, Do đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến là n = (- 1; 1; - 1).

Nhiệm vụ. Mặt cắt AA 1 C 1 C được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này nếu gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z trùng với các cạnh AB, AD và AA 1 lần lượt.

Trong trường hợp này, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, do đó hệ số D \ u003d 0, và phương trình của mặt phẳng có dạng như sau: Ax + By + Cz \ u003d 0. Vì mặt phẳng đi qua các điểm A 1 và C nên tọa độ của các điểm này biến phương trình của mặt phẳng thành bình đẳng số chính xác.

Chúng ta hãy thay tọa độ của điểm A 1 = (0; 0; 1) thay cho x, y và z. Chúng ta có: A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Tương tự, đối với điểm C = (1; 1; 0) ta có phương trình: A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Cho B = 1. Khi đó A = - B = - 1, và phương trình của toàn mặt phẳng là: - A + B = 0. Do đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến là n = (- 1; 1; 0).

Nói chung, trong các bài toán trên, cần phải lập một hệ phương trình và giải nó. Sẽ có ba phương trình và ba biến, nhưng trong trường hợp thứ hai, một trong số chúng sẽ miễn phí, tức là nhận giá trị tùy ý. Đó là lý do tại sao chúng ta có quyền đặt B = 1 - mà không ảnh hưởng đến tính tổng quát của lời giải và tính đúng đắn của câu trả lời.

Rất thường trong bài toán C2, nó được yêu cầu làm việc với các điểm chia đôi đoạn. Tọa độ của các điểm như vậy có thể dễ dàng tính được nếu biết tọa độ của các điểm cuối của đoạn thẳng.

Vì vậy, cho đoạn thẳng được cho bởi các điểm cuối của nó - các điểm A \ u003d (x a; y a; z a) và B \ u003d (x b; y b; z b). Khi đó, tọa độ của giữa đoạn - chúng tôi ký hiệu là điểm H - có thể được tìm thấy bằng công thức:

Nói cách khác, tọa độ giữa một đoạn là trung bình cộng của tọa độ các đầu của nó.

Nhiệm vụ. Hình lập phương đơn vị ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 được đặt trong hệ tọa độ sao cho các trục x, y, z lần lượt dọc theo các cạnh AB, AD và AA 1 và gốc tọa độ trùng với điểm A. Điểm K là trung điểm của cạnh A 1 B một. Tìm tọa độ của điểm này.

Vì điểm K là trung điểm của đoạn A 1 B 1 nên tọa độ của nó bằng trung bình cộng của tọa độ các đầu mút. Hãy viết tọa độ các điểm cuối: A 1 = (0; 0; 1) và B 1 = (1; 0; 1). Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm K:

Nhiệm vụ. Hình lập phương đơn vị ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 được đặt trong hệ trục tọa độ sao cho các trục x, y, z lần lượt dọc theo các cạnh AB, AD và AA 1 và gốc tọa độ trùng với điểm A. Tìm tọa độ. của điểm L mà chúng cắt các đường chéo của hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1.

Từ khóa học planimetry, người ta biết rằng giao điểm của các đường chéo của một hình vuông cách đều tất cả các đỉnh của nó. Cụ thể, A 1 L = C 1 L, tức là điểm L là trung điểm của đoạn thẳng A 1 C 1. Nhưng A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1) nên ta có:

Đáp số: L = (0,5; 0,5; 1)

Các vectơ bình thường không phải là các vectơ đang hoạt động tốt hoặc cảm thấy tốt. Theo định nghĩa, một vectơ pháp tuyến (pháp tuyến) đối với một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Nói cách khác, pháp tuyến là một vectơ vuông góc với một vectơ bất kỳ trong một mặt phẳng cho trước. Chắc chắn bạn đã bắt gặp một định nghĩa như vậy - tuy nhiên, thay vì vectơ, nó là về đường thẳng. Tuy nhiên, ở trên đã chỉ ra rằng trong bài toán C2 người ta có thể thao tác với bất kỳ đối tượng thuận tiện nào - ngay cả một đường thẳng, thậm chí một vectơ.

Tôi xin nhắc lại một lần nữa rằng bất kỳ mặt phẳng nào cũng được xác định trong không gian bởi phương trình Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C và D là một số hệ số. Không làm giảm tính tổng quát của nghiệm, chúng ta có thể giả sử D = 1 nếu mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ, hoặc D = 0 nếu nó có. Trong mọi trường hợp, tọa độ của vectơ pháp tuyến với mặt phẳng này là n = (A; B; C).

Vì vậy, máy bay cũng có thể được thay thế thành công bằng một vectơ - cùng một pháp tuyến. Bất kỳ mặt phẳng nào được xác định trong không gian bởi ba điểm. Làm thế nào để tìm phương trình của mặt phẳng (và do đó là pháp tuyến), chúng ta đã thảo luận ở phần đầu của bài viết. Tuy nhiên, quá trình này gây ra nhiều vấn đề cho nhiều người, vì vậy tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ khác:

· Nhiệm vụ . Thiết diện A 1 BC 1 được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này, nếu gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z lần lượt trùng với các cạnh AB, AD và AA 1.

Quyết định. Vì mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ nên phương trình của nó có dạng như sau: Ax + By + Cz + 1 = 0, tức là hệ số D \ u003d 1. Vì mặt phẳng này đi qua các điểm A 1, B và C 1 nên tọa độ của các điểm này biến phương trình của mặt phẳng thành một đẳng thức số đúng.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Tương tự, với các điểm B = (1; 0; 0) và C 1 = (1; 1; 1), ta có phương trình: A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1; A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Nhưng các hệ số A = - 1 và C = - 1 đã được chúng ta biết trước, vì vậy chúng ta vẫn phải tìm hệ số B: B = - 1 - A - B = - 1 + 1 + 1 = 1.

Ta được phương trình của mặt phẳng: - A + B - C + 1 = 0, Do đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến là n = (- 1; 1; - 1).

Trả lời: n = (- 1; 1; - 1)

· Nhiệm vụ . Mặt cắt AA 1 C 1 C được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này nếu gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z trùng với các cạnh AB, AD và AA 1 lần lượt.

Quyết định. Trong trường hợp này, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, do đó hệ số D \ u003d 0, và phương trình của mặt phẳng có dạng như sau: Ax + By + Cz \ u003d 0. Vì mặt phẳng đi qua các điểm A 1 và C nên tọa độ của các điểm này biến phương trình của mặt phẳng thành bình đẳng số chính xác.

Chúng ta hãy thay tọa độ của điểm A 1 = (0; 0; 1) thay cho x, y và z. Chúng ta có: A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Tương tự, đối với điểm C = (1; 1; 0) ta có phương trình: A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Cho B = 1. Khi đó A = - B = - 1, và phương trình của toàn mặt phẳng là: - A + B = 0. Do đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến là n = (- 1; 1; 0).

Trả lời: n = (- 1; 1; 0)

Nói chung, trong các bài toán trên, cần phải lập một hệ phương trình và giải nó. Sẽ có ba phương trình và ba biến, nhưng trong trường hợp thứ hai, một trong số chúng sẽ miễn phí, tức là nhận giá trị tùy ý. Đó là lý do tại sao chúng ta có quyền đặt B = 1 - mà không ảnh hưởng đến tính tổng quát của lời giải và tính đúng đắn của câu trả lời.

Vector bình thường

Bề mặt phẳng với hai chuẩn

Trong hình học vi phân, thông thường- Đây là một đường thẳng, trực giao (vuông góc) với một đường tiếp tuyến với một số đường cong hoặc một mặt phẳng tiếp tuyến với một mặt phẳng nào đó. Họ cũng nói về hướng bình thường.

Vector bình thườngđối với bề mặt tại một điểm cho trước là véc tơ đơn vị áp dụng cho điểm đã cho và song song với phương của pháp tuyến. Đối với mỗi điểm trên bề mặt nhẵn, bạn có thể chỉ định hai vectơ thông thường khác hướng. Nếu một trường liên tục của các vectơ thông thường có thể được xác định trên một bề mặt, thì trường này được cho là xác định sự định hướng bề mặt (nghĩa là chọn một trong các mặt). Nếu điều này không thể được thực hiện, bề mặt được gọi là không định hướng.

Quỹ Wikimedia. Năm 2010.

Xem "Vectơ thông thường" là gì trong các từ điển khác:

Vector bình thường- normalės vektorius statusas T s viêm fizika atitikmenys: angl. véc tơ pháp tuyến vok. Bình thường, tôi rus. vectơ pháp tuyến, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur bình thường, m… ga cuối Fizikosų žodynas

Bài báo hoặc phần này cần được sửa đổi. Hãy cải thiện bài viết phù hợp với quy tắc viết bài. Vectơ Darboux là vectơ chỉ đạo của trục quay tức thời mà khối tam diện đi kèm của đường cong L quay tại ... ... Wikipedia

Điện động lực học của liên tục Điện động lực học của liên tục ... Wikipedia

Vectơ Darboux là vectơ chỉ đạo của trục quay tức thời mà khối tam diện đi kèm của đường cong L quay khi điểm M chuyển động thẳng đều dọc theo đường cong L. Véc tơ Darboux nằm trong mặt phẳng chỉnh lưu của đường cong L và được biểu thị bằng điều khoản của đơn vị ... ... Wikipedia

Gradient (từ gradiens tiếng Latinh, chi gradientis đi bộ), một vectơ chỉ ra hướng thay đổi nhanh nhất của một đại lượng nhất định, giá trị của nó thay đổi từ điểm này sang điểm khác (xem Lý thuyết trường). Nếu giá trị được biểu thị ... ...

Vectơ chỉ đạo d của trục quay tức thời mà đám đi cùng với khối tam diện của đường cong L quay khi điểm M chuyển động thẳng đều dọc theo đường cong L. D. c. nằm trong mặt phẳng chỉnh lưu của đường cong L và được biểu thị dưới dạng vectơ đơn vị của pháp tuyến chính ... Bách khoa toàn thư toán học

Bài báo hoặc phần này cần được sửa đổi. Hãy cải thiện bài viết phù hợp với quy tắc viết bài. Siêu bề mặt ... Wikipedia

Phức hợp phần cứng-phần mềm đường ống đồ họa để trực quan hóa đồ họa ba chiều. Nội dung 1 Các yếu tố của cảnh ba chiều 1.1 Phần cứng 1.2 Giao diện phần mềm ... Wikipedia

Một ngành toán học nghiên cứu các tính chất của các phép toán trên vectơ trong không gian Euclide. Đồng thời, khái niệm vectơ là một trừu tượng toán học của các đại lượng không chỉ được đặc trưng bởi một giá trị số, mà còn ... Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại

Thuật ngữ này có các nghĩa khác, xem Máy bay. Yêu cầu "Độ phẳng" được chuyển hướng đến đây. Cần có một bài báo riêng về chủ đề này ... Wikipedia

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mặt phẳng đã cho. Rõ ràng, bất kỳ mặt phẳng nào cũng có vô số vectơ pháp tuyến. Nhưng đối với giải pháp của các vấn đề, một trong những sẽ là đủ đối với chúng tôi.

Nếu mặt phẳng được cho bởi phương trình tổng quát , sau đó là vectơ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho. Chỉ để làm ô nhục. Tất cả những gì cần làm là "loại bỏ" các hệ số khỏi phương trình của mặt phẳng.

Ba màn hình đang chờ đợi như đã hứa, hãy quay lại Ví dụ số 1 và kiểm tra nó. Tôi nhắc bạn rằng ở đó bắt buộc phải xây dựng phương trình của mặt phẳng bằng cách sử dụng một điểm và hai vectơ. Theo kết quả của giải pháp, chúng tôi nhận được phương trình. Chung ta kiểm tra:

Đầu tiên, chúng tôi thay thế tọa độ của điểm vào phương trình kết quả: Đẳng thức đúng thu được, có nghĩa là điểm thực sự nằm trong mặt phẳng đã cho.

Thứ hai, chúng ta loại bỏ vectơ pháp tuyến khỏi phương trình của mặt phẳng:. Vì vectơ song song với mặt phẳng và vectơ vuông góc với mặt phẳng nên các dữ kiện sau đây phải có: . Tính vuông góc của vectơ có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách sử dụng sản phẩm chấm:

Kết luận: phương trình của mặt phẳng tìm được là đúng.

Trong quá trình thử nghiệm, tôi thực sự trích dẫn câu sau của lý thuyết: vectơ song song với mặt phẳng nếu và chỉ nếu .

Hãy giải quyết một vấn đề quan trọng có liên quan đến bài học:

Ví dụ 5

Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng .

Quyết định: Một vectơ đơn vị là một vectơ có độ dài là một. Hãy biểu thị vectơ này bằng. Về cơ bản, cảnh quan trông như thế này: Rõ ràng là các vectơ thẳng hàng.

Đầu tiên, chúng ta loại bỏ vectơ pháp tuyến khỏi phương trình của mặt phẳng:.

Làm thế nào để tìm véc tơ đơn vị? Để tìm véc tơ đơn vị , nhu cầu mỗi tọa độ vector chia cho độ dài của vectơ .

Hãy viết lại vectơ pháp tuyến dưới dạng và tìm độ dài của nó:

Theo như trên:

Trả lời:

Kiểm tra:, được yêu cầu để kiểm tra.

Độc giả học kỹ đoạn cuối của bài Tích chấm của vectơ có lẽ nhận thấy rằng đơn vị tọa độ vector chính xác là các cosin có hướng của vectơ :

Hãy lạc đề từ vấn đề đã được tháo rời: khi bạn được cung cấp một vectơ khác 0 tùy ý, và theo điều kiện, nó được yêu cầu tìm các cosin có hướng của nó (nhiệm vụ cuối cùng của bài học Tích chấm của vectơ), thì trên thực tế, bạn cũng tìm thấy một vector thẳng hàng đơn vị với một đơn vị đã cho.

Trong thực tế, hai nhiệm vụ trong một chai.

Nhu cầu tìm một vectơ pháp tuyến đơn vị nảy sinh trong một số bài toán giải tích toán học.

Chúng tôi đã tìm ra sự đánh bắt của véc tơ thông thường, bây giờ chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi ngược lại.