Ví Dụ 5: Một Dãy Phố Có 15 Nhà. Số Nhà Của 15 Nhà đó được đánh Là ...

1. Trang chủ >
2. Giáo án - Bài giảng >
3. Toán học >

Ví dụ 5: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (247.26 KB, 22 trang )

�So�ha�ngcuo�i  So�ha�ng�a�u�To�ngcu�ada�y �.So�so�ha�ng�2��Bước 2:Suy ra:ngcu�ada�y :  So�so�ha�ng  So�ha�ngcuo�i  So�ha�ng�a�u 2.To�Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 sốhạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối.Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài tốn về dạng tìm số bé biếttổng và hiêu của hai số đó.Hướng dẫn giảiHiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: 15  1. 2  28Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 . 2 :15  122Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là: 122 28  : 2  47(bài toán tổng hiệu quen thuộc)Đáp số: 47CÂU CHUYỆN VỀ VUA TỐN HỌC GAUSSBa tuổi, thiên tài tính tốn đã bộc lộ ở Gauss; Bảy tuổiđến trường và khiến cho các giáo viên phải kinh ngạctrước khả năng toán học của mình. Mười chín tuổi,Gauss quyết tâm trở thành nhà tốn học. Khó có thểchỉ ra một ngành tốn học nào mà ở đó lại khơng cónhững đóng góp của ông “Vua toán học” Carl FriedrichGauss.Gauss sinh ra trong một gia đình người sửa ống nướckiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777. Người ta còn kể mãimột câu chuyện về thời thơ ấu của ông như sau:Cha của Gauss thường nhận thầu khốn cơng việc để cải thiện đờisống. Ơng hay thanh tốn tiền nong vào chiều thứ bảy. Lần ấy, ơng vừađọc xong bảng thanh tốn thì từ phía giường trẻ có tiếng của Gaussgọi:- Cha ơi, cha tính sai rồi, phải thế này mới đúng…Mọi người khơng tin, nhưng khi kiểm tra lại thì quả là Gauss đã tínhđúng. Khi ấy, Gauss mới tròn 3 tuổi. Có thể nói, Gauss đã học tính trướckhi học nói.Những ngày đầu đến trường, Gauss khơng có gì đặc biệt so với các tròkhác. Nhưng tình hình thay đổi hẳn khi nhà trường bắt đầu dạy môn sốhọc.Một lần, thầy giáo ra cho lớp bài tốn tính tổng tất cả các số nguyên từ1 – 100. Khi thầy vừa đọc và phân tích đầu bài thì Gauss đã lên tiếng:- Thưa thầy, em giải xong rồi!Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chếnhạo:- Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài tốn khónhư vậy đâu!- Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ! Em nhận thấy ở dãy số nàycó các tổng hai số của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phíacuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 =… 50 =51 = 101. Có 50 tổng như vậy nên kết quả sẽ là 1 = 2 = 3= … = 101 *50 = 5050.Thầy giáo hết sức ngạc nhiên khi thấy Gauss giải bài tốn một cáchchính xác tuyệt đối, mà cách giải lại vơ cùng độc đáo. Từ đó,Gaussđược mọi người biết đến như một thiên tài toán học.Ngay trong những năm đầu tiên ở trường Đại học Tổng hợp Gottinghen,Gauss đã đưa ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ vàcompa. Đây là một phát hiện rất quan trọng, nên về sau người ta đãtheo di chúc của ông mà khắc trên mộ ông đa giác đều 17 cạnh nộitiếp trong một đường tròn.Sau này, nhờ có nghệ thuật tính tốn mà Gauss đã phát hiện một hànhtinh mới. Vào đầu thế kỷ XIX, một nhà thiên văn học người Italia đãphát hiện ra hành tinh mới gọi là Xexera. Ơng quan sát được nó khơnglâu, sau đó nó dịch lại gần mặt trời và bị lẫn vào những tia sáng mặttrời. Những thí nghiệm của các nhà thiên văn đều không đạt kết quảnữa, họ không nhìn thấy được nó ở chỗ mà theo dự đốn nó phải hànhtrình đến. Các kính viễn vọng đều bất lực. Nhưng Gauss, với những sốliệu quan sát ban đầu, ông đã tính được quỹ đạo của hành tinh mới đóvà chỉ ra vị trí của nó với độ chính xác cao. Nhờ thế, các nhà thiên vănđã tìm thấy Xexera. Về sau, theo cách này, người ta đã tìm ra nhiềuhành tinh mới khác. Sau cơng trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss đượcxem như một nhà tốn học vĩ đại của thế giới và được tơn là “Ơnghồng toán học”.C. F. Gauss thọ 78 tuổi, và cả cuộc đời ơng là những cống hiến vĩ đạicho ngành tốn học của nhân loại. Cho đến tận ngày nay, câu chuyệnvề khả năng tính tốn thiên bẩm của Gauss vẫn còn được kể như lànhững huyền thoại. Một số bài tập có giảiBài 1: Tính A  5  6  7  ...  2013  2014Hướng dẫn giảiSố số hạng là:Tổng của dãy:2014 – 5  : 1  1  20102014  5  .2010 20290952Bài 2: Cho S   7  9  11  ... 97  99a) Tính tổng S trên.b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên.Hướng dẫn giải+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99.+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2+ S có số số hạng được tính bằng cách:Tổng của dãy:S  99 99 – 7  :2  1  47 7  .47 : 2  2491(cách viết khác tôi hay sử dụng:Sb) Số hạng thứ 33 của tổng trên là :99  7  .47 24912)33 –1 .2  7  71Bài 3: Cho dãy số 2;7;12;17;22;…a) Nêu quy luật của dãy số trên.c) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ sốhạng thứ năm.c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số.Hướng dẫn giảiXét dãy số 2;7;12;17;22;…a) Quy luật: Dãy số cách đều với khoảng cách 5b)B   22; 27;32;37; 42c) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là x, ta có: ( x  2) : 5  1  100� x  497 . Do vậy tổng 100 số hạng đầu của dãy là:(2  497) �100 : 2  24950Bài 4: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456…..a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hàng thứ baonhiêu?b) Chữ số viết ở hang thứ 427 là chữ số nào?Hướng dẫn giảiViết liền nhau các số tự nhiên 123456…a) 9 chữ số đầu tiên: 1, 2, …, 944 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53.� Chữ số hàng đơn vị của số 53 ở hàng số: 9  44.2  97Tương tự, chữ số hàng đơn vị của số 328 ở hàng số 9  90.2  229.3  876 ;chữ số hàng đơn vị của số 1587 ở hàng số 9  90.2  900.3  588.4  5241 .b) Chữ số viết ở hàng thứ 427 là chữ số 1 (chữ số hàng trăm của số179) Bài tập tự luyệnBài 1: Tính tổngA  1  2  3  �  2015B  1  3  5  �  1017C  2  4  6  �  2014D  1  4  7  �  2008Bài 2: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.a, Tính tổng của dãy số trên?b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên khơng? Vì sao?Bài 3: Tìm tổng các số chẵn có 3 chữ số ?Bài 4: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãyđó là 2010?Bài 5: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?Bài 6: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100số hạng?Bài 7: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là cácsố chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000.Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?b) Dạng tốn có khơng có quy luậtBài 1: Tính tổng:012310a) A  2  2  2  2  �  212320142015b) B  1  2014  2014  2014  �.  2014  2014c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.Hướng dẫn giải012310a) A  2  2  2  2  �  22 A  21  22  23  �..  210  211-A  20  21  22  23  �  2102 A – A  211  20  211  1      2 1A  211 – 1  204712320142015b) B  1  2014  2014  2014  �.  2014  2014-2014.B  20141  20142  20143    2014 4  � 2014 2015  20142016B   1       20141  20142  20143  �  20142014  201420152014.B – B  20142016  120142016  1 20142016  1B2014  12013c)S n  a 0  a1  a 2  a 3  �..  a n a n 1  1  �; a 1; a  0 ).a  1 ( nι�Nhận xét:Từ bài tốn tổng qt này ta có thể vận dụng để giải các bài tốntương tự nhưng tổng có nhều số hạng hơn nhanh chóng thuận tiện vàcác bài tốn liên quan khác.* Một số lưu ý khi dạy bài tốn dạng này:- Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạngcó cùng cơ số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần. Vấn đề đặt ra lànhân hai vế của biểu thức đó với số nào để khi trừ cho biểu thức banđầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?- Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồithực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm đượctổng (có thể chỉ để dưới dạng 1 biểu thức) như câu a; câu b;- Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế củabiểu thức với chính cơ số.234n*Công thức tổng quát: A  1  a  a  a  a  �  a234nn 1Nhân cả hai vế của A với a ta có a. A  a  a  a  a  ...  a  aaA – A a – 1 A  a n 1 – 1.Từ đó ta có công thức :Vậyb) B  1  4  42  43  ...  4100vớia�2a n 1 – 1   a – 1  1  a  a 2  a 3  ...  a n * Bài tập vận dụng: Tính tổng.a ) A  1  7  72  73  ...  72007A   a n  1 – 1 :  a – 1.14c) Chứng minh rằng : 14 – 1 Chia hết cho 13d) Chứng minh rằng:20152015 – 1 Chia hết cho 2014.Bài 2: Tính tổng:2468100a) A  1  3  3  3  3  ...  3357999b) B  7  7  7  7  7  ...  7c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.Hướng dẫn giảiNhận xét: Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào để khi trừcho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liền2nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3 .2468100a) A  1  3  3  3  3  ...  3-32 A   32  34  36  38  ...  3100  3102A  1  32  34  36  38  ...  310032 A  A  3102  1A  3  1  32Với102 1 � 8A  31023102  1 1� A 8357999b) B  7  7  7  7  7  ...  7-7 2 B  73  75  7 7  79  ...  7 99  7101B   7  73  7 5  7 7  7 9  ...  7997 2 B  B  7101  7VớiB.  7 2  1  7101 – 7 � B 7101 – 74824682nc) * Công thức tổng quát: A  1  a  a  a  a  ...  a-a 2 A   a 2  a 4  a 6  a8  ...  a 2 n  a 2 n  2A  1  a 2  a 4  a 6  a 8  ...  a 2 na 2 A  A  a 2n2  1A.  a 2  1  a 2 n  2  1Từ đó ta có cơng thức :1  a 2  a 4  a 6  a 8  ...  a 2 n   a 2 n  2 –1 :  a 2  135792 n 1* Công thức tổng quát: B  a  a  a  a  a  ...  a-a 2 B   a 3  a 5  a 7  a 9  ...  a 2 n 1  a 2 n  3B  a  a 3  a5  a 7  a9  ...  a 2 n 1a 2 B  B  a 2 n 3  aB  a 2  1  a 2 n  3  aTừ đó ta có cơng thức:a  a 3  a 5  a 7  a 9  ...  a 2 n 1 a2n  3– a  :  a 2  1* Bài tập vận dụng: Tính tổng.C  1  22  24  26  28  210   ...  2 200D  4  42  44  46  48  410   ...  4300E  5  53  55  57  59  ...  5101F  13  133  135  137  139  ...  13199Bài 3: Tính tổng:a) A  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9   98.99b) B  9.10  10.11  11.12  �c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.Hướng dẫn giảiNhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là1. Nên ta nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này.a) Ta có:3 A  3.  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9  1.2.  3  0   2.3.  4  1  3.4.  5  2   4.5.  6  3   5.6.  7  4   ...  8.9.  10  7   1.2.3  1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5  � -7.8.9 +8.9.10 8.9.10  720 .Vậy A  720 : 3  240Ta chú ý tới đáp số 720  8.9.10 , trong đó 8.9 là số hạng cuối cùng củaA và 10 là số tự nhiên kề sau của 9, tạo thành tích ba số tự nhiên liêntiếp.   98.99b) Cách 1: B  9.10  10.11  11.12  �Với C  1.2  2.3  �  9.10  10.11  11.12  �  89.99 ta có: C  A  B � B  C  ADễ dàng tính được 3C  98.99.100 , theo câu a ta có 3. A  8.9.10.  720VậyB98.99.100  8.9.10 3231603Cách 2:3B  3.  9.10  10.11  11.12  �   98.99 = 9.10(11  8)  10.11(12  9)  11.12(13  10)  �   98.99(100  97)=  8.9.10  9.10.11  9.10.11  10.11.12  10.11.12  11.12.13  �   97.98.99  98.99.100 98.99.100  8.9.10B98.99.100  8.9.10 3231603c) *Công thức tổng quát:A  1.2  2.3  �  n 1 .n   n  1 .n.  n  1  : 3* Bài tập vận dụng: Tính tổng.A  1.2  2.3  3.4  �  199.200B  1.3   3.5   5.7  �   97.99C  2.4   4.6   6.8  �   98.100D  51.52  52.53  53.54  �  99.100(Gợi ý: Bài B và C khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng là 2)Hướng dẫn giải câu B6 B  6  1.3   3.5   5.7  �   97.99 6 B  1.3 .6   3.5.6   5.7.6  �   97.99.66 B  1.3.(5  1)   3.5.(7  1)   5.7.(9  3)  �   97.99.(101  95)6 B  1.3.1  1.3.5  1.3.5   3.5.7   3 .5.7  5.7.9  3  �  95.97.99   97.99.1016 B  3   97.99.101 � B  161651Bài 4: Tính tổng:22222a) A  1  3  5  7  �  992222b) C  2  4  6  �  100c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.Hướng dẫn giải22222a) A  1  3  5  7  �  99Xét B  1.2  2.3  3.4  �  99.100B  0.1  1.2  2.3  3.4  �  99.100B  1.  0  2   3.  2  4   5.  4  6   �  99.  98  100 B  1.1.2  3.3.2  5.5.2  �  99.99.2B   12  32  52  �  992  .2  2. ATheo cách giải Bài 3 ta cóVậyB B 99.100.101399.100.101  12  32  52  �  992  .2  A.23Vậy ta có:AB 99.100.101 166650262222b) C  2  4  6  �  100Xét D  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  ...  100.101  1.2  2.3   3.4  4.5    5.6  6.7  7.8  8.9  ...   99.100  100.101 2  1  3  4  3  5   6  5  7   ...  100  99  101 2.4  4.8  6.12  ...  100.200 2.2.2  2.4.4  2.6.6  ...  2.100.100=2.22  2.42  2.62  ...  2.100 2  2.  2 2  42  6 2  ...  1002 D  2.  22  42  62  ...  1002   2.CTheo cách giải Bài 3 ta có ta có:CD 100.101.1023D 100.101.102 17170026c)* Công thức tổng quát:A  12  32  52  7 2  �   2n  1   2n  1  2n  2   2n  3  : 62*Công thức tổng quát:C  22  42  62  �   2n   2n.  2n  1 .  2n  2   : 62* Bài tập vận dụng: Tính tổng.M  112  132  152  �  20192N  202  222  �  482  50 2P   n 2   n  2    n  4   �   n  100 222; n ��*

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• dãy phân số có quy luật
  • 22
  • 230
  • 0

Tải bản đầy đủ (.docx) (22 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(527.24 KB) - dãy phân số có quy luật-22 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×