Ví Dụ Về Giải Bất Phương Trình Bằng đồ Thị. Phương Pháp ...

xem thêm Giải bài toán lập trình tuyến tính bằng đồ thị, Dạng chuẩn của bài toán lập trình tuyến tính

Hệ thống các ràng buộc cho một bài toán như vậy bao gồm các bất đẳng thức trong hai biến số: và hàm mục tiêu có dạng F = C 1 x + C 2 y, được tối đa hóa.

Cùng trả lời câu hỏi: cặp số nào ( x; y) là các nghiệm của hệ bất phương trình, tức là chúng có thỏa mãn đồng thời từng bất phương trình không? Nói cách khác, nó có nghĩa là gì để giải quyết một hệ thống bằng đồ thị? Trước tiên, bạn cần hiểu nghiệm của một bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số là gì. Để giải một bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số có nghĩa là xác định tất cả các cặp giá trị của ẩn số mà bất đẳng thức được thỏa mãn. Ví dụ, bất đẳng thức 3 x– 5y≥ 42 thỏa mãn các cặp ( x , y): (100, 2); (3, –10), v.v ... Vấn đề là tìm tất cả các cặp như vậy. Xét hai bất đẳng thức: cây rìu + qua≤ c, cây rìu + qua≥ c. Thẳng cây rìu + qua = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng sao cho tọa độ các điểm của một trong số chúng thỏa mãn bất đẳng thức cây rìu + qua >c, và sự bất bình đẳng khác cây rìu + +qua 0, c> 0. Tất cả các điểm với abscissa x 0 ở trên P(ví dụ: dấu chấm M), có yM>y 0 và tất cả các điểm dưới điểm P, với abscissa x 0, có yN c, tạo thành một nửa mặt phẳng và mặt khác, các điểm cây rìu + qua< c. Bức tranh 1

Dấu bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng phụ thuộc vào các số một, b , c. Điều này ngụ ý phương pháp sau đây cho giải pháp đồ thị của hệ thống bất phương trình tuyến tính trong hai biến. Để giải quyết hệ thống, bạn cần:

1. Với mỗi bất phương trình, hãy viết phương trình tương ứng với bất phương trình đã cho.
2. Dựng các đường là đồ thị của hàm số đã cho bởi phương trình.
3. Đối với mỗi đường thẳng, xác định nửa mặt phẳng, được cho bởi bất đẳng thức. Để làm điều này, lấy một điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng, thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức. nếu bất phương trình đúng, thì nửa mặt phẳng chứa điểm được chọn là nghiệm của bất phương trình ban đầu. Nếu bất phương trình sai, thì nửa mặt phẳng bên kia đường thẳng là tập nghiệm của bất phương trình này.
4. Để giải một hệ bất phương trình, cần tìm diện tích giao của tất cả các nửa mặt phẳng là nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ.

Khu vực này có thể biến thành trống, khi đó hệ bất phương trình không có lời giải, nó không nhất quán. Nếu không, hệ thống được cho là tương thích. Các giải pháp có thể là một số hữu hạn và một tập hợp vô hạn. Khu vực có thể là một đa giác khép kín hoặc nó có thể là không giới hạn.

Hãy xem ba ví dụ có liên quan.

Ví dụ 1. Giải hệ thống bằng đồ thị: x + y- 1 ≤ 0; –2x- 2y + 5 ≤ 0.

• Xét các phương trình x + y – 1 = 0 và –2x – 2y + 5 = 0 tương ứng với các bất phương trình;
• chúng ta hãy xây dựng các đường thẳng cho bởi các phương trình này.

Hình 2

Chúng ta hãy xác định các nửa mặt phẳng được cho bởi các bất đẳng thức. Lấy một điểm tùy ý, cho (0; 0). Coi như x+ y– 1 0, chúng ta thay điểm (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. do đó, trong nửa mặt phẳng nơi điểm (0; 0) nằm, x + y – 1 ≤ 0, tức là nửa mặt phẳng nằm bên dưới đường thẳng là nghiệm của bất phương trình bậc nhất. Thay điểm này (0; 0) vào điểm thứ hai, ta được: –2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tức là trong nửa mặt phẳng mà điểm (0; 0) nằm, -2 x – 2y+ 5≥ 0, và chúng tôi được hỏi ở đâu -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, do đó, trong một nửa mặt phẳng khác - trong một nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng. Tìm giao tuyến của hai nửa mặt phẳng này. Các đường thẳng song song nên các mặt phẳng không cắt nhau ở đâu có nghĩa là hệ bất phương trình này không có nghiệm, không nhất quán.

Ví dụ 2. Tìm lời giải bằng đồ thị cho hệ bất phương trình: Hình 3 1. Viết các phương trình tương ứng với các bất phương trình và dựng các đoạn thẳng. x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0; y = –2. 2. Chọn điểm (0; 0), ta xác định được dấu của bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng: 0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, tức là x + 2y- 2 ≤ 0 trong nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng; 0 - 0 - 1 ≤ 0, tức là y –x- 1 ≤ 0 trong nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng; 0 + 2 = 2 ≥ 0, tức là y+ 2 ≥ 0 trong nửa mặt phẳng trên đoạn thẳng. 3. Giao tuyến của ba nửa mặt phẳng này sẽ có diện tích là một tam giác. Không khó để tìm các đỉnh của miền là giao điểm của các đường tương ứng Vì vậy, NHƯNG(–3; –2), TẠI(0; 1), Với(6; –2).

Chúng ta hãy xem xét một ví dụ nữa, trong đó miền kết quả của giải pháp của hệ thống không bị giới hạn.

Phương pháp đồ họa bao gồm xây dựng một tập hợp các giải pháp LLP khả thi và tìm trong tập hợp này một điểm tương ứng với hàm mục tiêu max / min.

Do khả năng biểu diễn đồ họa trực quan bị hạn chế, phương pháp này chỉ được sử dụng cho các hệ bất phương trình tuyến tính có hai ẩn số và hệ có thể rút gọn về dạng này.

Để chứng minh một cách trực quan phương pháp đồ họa, chúng ta sẽ giải quyết vấn đề sau:

1. Ở giai đoạn đầu, cần xây dựng khu vực các giải pháp khả thi. Đối với ví dụ này, cách thuận tiện nhất là chọn X2 cho cơ số và X1 cho hoành độ, và viết các bất đẳng thức dưới dạng sau:

Vì cả đồ thị và diện tích các giải pháp được chấp nhận đều ở trong quý đầu tiên. Để tìm các điểm biên, ta giải các phương trình (1) = (2), (1) = (3) và (2) = (3).

Qua hình minh họa có thể thấy, hình đa diện ABCDE là một diện tích có lời giải khả thi.

Nếu miền nghiệm thu được không đóng, thì max (f) = +? Hoặc min (f) = -?.

2. Bây giờ chúng ta có thể tiến hành tìm trực tiếp cực đại của hàm f.

Lần lượt thay tọa độ các đỉnh của khối đa diện vào hàm số f và so sánh các giá trị, ta thấy f (C) = f (4; 1) = 19 - cực đại của hàm số.

Cách tiếp cận này khá có lợi cho một số ít đỉnh. Nhưng thủ tục này có thể bị trì hoãn nếu có khá nhiều đỉnh.

Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn nếu xét một đường mức có dạng f = a. Với một số a tăng đơn điệu từ -? đến +? các đường thẳng f = a dịch chuyển dọc theo vectơ pháp tuyến. Nếu với phép dời hình như vậy mà tồn tại điểm X - điểm chung đầu tiên của miền các nghiệm khả thi (hình đa diện ABCDE) và đường mức thì f (X) là điểm cực tiểu của f trên đặt ABCDE. Nếu X là giao điểm cuối cùng của đường thẳng cấp và tập ABCDE thì f (X) là cực đại trên tập nghiệm khả thi. Nếu cho một> -? đường thẳng f = a cắt tập nghiệm có thể nhận được thì min (f) = -?. Nếu điều này xảy ra khi a> + ?, thì max (f) = +?.

Bàn thắng:

1. Nhắc lại kiến ​​thức về hàm số bậc hai.

2. Làm quen với phương pháp giải bất phương trình bậc hai dựa vào các tính chất của hàm số bậc hai.

Trang thiết bị:đa phương tiện, bài thuyết trình “Giải bất phương trình bình phương”, thẻ làm việc độc lập, bảng “Thuật toán giải bất phương trình bình phương”, phiếu điều khiển bằng giấy than.

THỜI GIAN LỚP HỌC

I. Thời điểm tổ chức (1 phút).

II. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản(10 phút).

1. Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y \ u003d x 2 -6x + 8

• xác định hướng của các nhánh của parabol;
• xác định tọa độ của đỉnh parabol;
• xác định trục đối xứng;
• xác định giao điểm với các trục tọa độ;
• tìm điểm bổ sung.

2. Xác định từ hình vẽ dấu của hệ số a và số nghiệm của phương trình ax 2 + in + c = 0.

3. Theo đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 -4x + 3, hãy xác định:

• Các số không của hàm là gì;
• Tìm những khoảng thời gian mà hàm số nhận giá trị dương;
• Tìm khoảng thời gian mà hàm nhận giá trị âm;
• Hàm số tăng và giảm tại những giá trị nào của x?

4. Học kiến ​​thức mới (12 phút)

Nhiệm vụ 1: Giải bất phương trình: x 2 + 4x-5 > 0.

Bất đẳng thức được thỏa mãn bởi các giá trị x mà tại đó các giá trị của hàm số y = x 2 + 4x-5 bằng 0 hoặc dương, tức là các giá trị x mà tại đó các điểm của parabol nằm trên trục x hoặc trên trục này.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 + 4x-5.

Với trục x: X 2 + 4x-5 \ u003d 0. Theo định lý Vieta: x 1 \ u003d 1, x 2 \ u003d -5. Điểm (1; 0), (- 5; 0).

Với trục y: y (0) = - 5. Điểm (0; -5).

Điểm bổ sung: y (-1) = - 8, y (2) = 7.

Điểm mấu chốt: Các giá trị của hàm là dương và bằng 0 (không âm) khi

• Có cần thiết phải vẽ chi tiết một hàm số bậc hai để giải một bất phương trình không?
• Tôi có cần tìm tọa độ đỉnh của parabol không?
• Cái gì quan trọng? (a, x 1, x 2)

Kết luận: Để giải một bất phương trình bậc hai, chỉ cần xác định các số không của hàm số, hướng của các nhánh của parabol và xây dựng một hình vẽ bên của đồ thị là đủ.

Nhiệm vụ 2: Giải bất phương trình: x 2 -6x + 8 < 0.

Giải: Hãy xác định nghiệm nguyên của phương trình x 2 -6x + 8 = 0.

Theo định lý Vieta: x 1 \ u003d 2, x 2 \ u003d 4.

a> 0 - các nhánh của parabol hướng lên trên.

Hãy xây dựng một bản phác thảo của đồ thị.

Chúng tôi đánh dấu bằng các dấu hiệu “+” và “-” các khoảng thời gian mà hàm nhận các giá trị âm và dương. Hãy chọn khoảng thời gian mà chúng ta cần.

Trả lời: X €.

5. Củng cố bài mới (7 phút).

Số 660 (3). Học sinh quyết định trên bảng.

Giải bất phương trình-x 2 -3x-2 0 ax 2 + in + s > 0 a> 0 D> 0 ax 2 + in + s > 0 một 0 ax 2 + in + s < 0 a> 0 D> 0 ax 2 + in + s < 0 một g (x);

Đồ thị của hàm số f không thấp hơn đồ thị của hàm số g là nghiệm của bất phương trình f (x) ≥g (x);

Đồ thị của hàm số f bên dưới đồ thị của hàm số g là nghiệm của bất phương trình f (x) 0, x 1 = −2, x 2 = 3.

Để rõ ràng, chúng ta hãy vẽ màu đỏ các phần của parabol nằm phía trên trục abscissa và màu xanh lam - nằm bên dưới trục abscissa.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu những khoảng trống tương ứng với các bộ phận này. Hình vẽ sau đây sẽ giúp xác định chúng (trong tương lai, chúng tôi sẽ tính toán các lựa chọn như vậy dưới dạng hình chữ nhật):

Vì vậy, trên trục abscissa, hai khoảng (−∞, x 1) và (x 2, + ∞) được tô màu đỏ, trên chúng là parabol cao hơn trục Ox, chúng tạo thành nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c> 0 và khoảng (x 1, x 2) được tô màu xanh lam, trên đó có parabol nằm dưới trục Ox, là nghiệm của bất phương trình a x 2 + b x + c 0 và D = b 2 −4 a c> 0 (hoặc D "= D / 4> 0 cho hệ số chẵn b)

• nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c> 0 là (−∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) hoặc, theo cách khác, x x2;
• nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c≥0 là (−∞, x 1] ∪ hoặc trong ký hiệu khác x 1 ≤x≤x 2,

trong đó x 1 và x 2 là căn của tam thức bình phương a x 2 + b x + c, và x 1 0 (các nhánh hướng lên trên) và D = 0 (tam thức vuông có một căn x 0). Ví dụ, chúng ta có thể lấy hàm bậc hai y = x 2 −4 x + 4, ở đây a = 1> 0, D = (- 4) 2 −4 1 4 = 0 và x 0 = 2.

Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng parabol nằm trên trục Ox ở mọi nơi, ngoại trừ điểm tiếp xúc, nghĩa là, trong các khoảng (−∞, x 0), (x 0, ∞). Để rõ ràng, chúng tôi chọn các khu vực trong bản vẽ bằng cách tương tự với đoạn trước.

Chúng tôi rút ra kết luận: với a> 0 và D = 0

• nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c> 0 là (−∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) hoặc ký hiệu khác là x ≠ x 0;
• nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c≥0 là (−∞, + ∞) hoặc, theo một ký hiệu khác, x∈R;
• bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c 0 (các nhánh hướng lên trên) và D0, D = 0 2 −4 2 1 = −8 0 và D0 và a x 2 + b x + c≥0 là tập hợp tất cả các số thực và các bất phương trình a x 2 + b x + c 0 - trở lên, đối với 0), tiếp xúc với nó tại một điểm (với D = 0), hoặc không có điểm chung với trục Ox (đối với D 0, những khoảng mà parabol nằm trên trục abscissa được xác định;
• khi giải bất phương trình a x 2 + b x + c≥0, các khoảng được xác định mà tại đó parabol nằm phía trên trục abscissa và hoành độ của các giao điểm (hoặc abscissa của điểm tiếp tuyến) được thêm vào chúng;
• khi giải bất phương trình a x 2 + b x + c