Viết Phương Trình đường Thẳng D đi Qua M Và Tạo Với D' Một Góc

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

• HOT Sale 40% sách Toán - Văn - Anh 10 Vietjack 25-12 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc.

• Cách giải bài tập Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
• Ví dụ minh họa bài tập Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
• Bài tập vận dụng Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho đường thẳng ∆ và điểm M(a; b). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với đường thẳng ∆ một góc α.

+ Cách 1:

- Gọi n→(A; B) là VTPT của đường thẳng d.

Tìm VTPT n'→( A’; B’) của đường thẳng ∆.

- Do góc giữa đường thẳng d và ∆ bằng α nên:

Cosα =

Giải phương trình trên ta được A = k.B. Chọn A =.... ⇒ B..

⇒ VTPT của đường thẳng d

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Cách 2:

- Đường thẳng ∆ có hệ số góc k1.

- Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k2.

- Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là α nên :

Tanα =

Phương trình trên là phương trình ẩn k2. Giải hệ phương trình ta được k2

⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng d : 3x - 4y - 12 = 0. Phương trình các đường thẳng qua M(2 ; -1) và tạo với d một góc là

A. 7x - y - 15 = 0 ; x + 7y + 5 = 0 B. 7x + y - 15 = 0 ; x - 7y + 5 = 0

C. 7x - y + 15 = 0 ; x + 7y - 5 = 0 D. 7x + y + 15 = 0 ; x - 7y - 5 = 0

Lời giải

Gọi n→( A , B) và A2 + B2 > 0 là véc tơ pháp tuyến của ∆

Đường thẳng d có VTPT n'→( 3 ; -4)

Ta có:

⇔ 7A2 + 48AB - 7B2 = 0 ⇔

+ Với B = 7A chọn A = 1 ; B = 7 ⇒ (d) : qua M(2 ; -1) và VTPT (1 ; 7)

⇒ Phương trình (d) : 1( x - 2) + 7( y + 1) = 0 hay x + 7y + 5 = 0

+ Với A = - 7B chọn A = 7 ; B = - 1 ⇒ (d) đi qua M( 2 ; -1) và VTPT ( 7 ; -1)

⇒ Phương trình (d) : 7( x - 2) – 1( y + 1) = 0 hay 7x - y - 15 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + 7y + 5 = 0 và 7x - y - 15 = 0.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M( -1; 2) và tạo với trục Ox một góc 600.

A. √3x - y + √3 + 2 = 0 B. √3x - y - √3 + 2 = 0

C. √3x - y + 2 = 0 D. √3x + y - √3 + 2 = 0

Lời giải

Do (d) tạo với trục Ox một góc 600 nên có hệ số góc k = tan 600 = √3.

Phương trình d là: y = √3(x + 1) + 2 ⇔ √3x - y + √3 + 2 = 0 .

Chọn A.

Ví dụ 3. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 600. Tổng hai giá trị của k bằng:

A. - 8 B. - 4 C. - 1 D. 1

Lời giải

Ta có đường thẳng d : y = kx ⇔ kx - y = 0 nên d nhận VTPT nd→( k; -1)

Đường thẳng ∆ : y = x hay x - y = 0 nên ∆ nhận VTPT n∆→( 1; -1)

Để hai đường thẳng này tạo với nhau góc 600 thì:

( nd→; n∆→) = 600 ⇒ cos(nd→; n∆→)= cos 600

= cos600 = ⇔ k2 + 1 = 2k2 + 4k + 2 ⇔ k2 + 4k + 1 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi- et ta có: k1 + k2 = - 4

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1;1) và tạo một góc 450 với đường thẳng d: x - y + 90 = 0

A. x - 1 = 0 B. y - 1 = 0 C. x + y - 2 = 0 D. Cả A và B đúng

Lời giải

+ Đường thẳng d có VTPT n→(1; -1) .

+ Gọi VTPT của ∆ là n'→(a; b) .

+ Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là 450 nên:

cos450 =

⇔ = |a - b| ⇔ a2 + b2 = a2 - 2ab + b2

⇔ - 2ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

+ Nếu a = 0; chọn b = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 0(x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay y - 1 = 0

+ Nếu b = 0; chọn a = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x - 1) + 0( y - 1) = 0 hay x - 1 = 0

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: y = -2x + 4

A. y = 3x - 10 B. y = 3x - 14 C. y = x + D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1 = -2.

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k2 = ; đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y= ( x - 5) + 1 hay y = x +

+ Với k2 = 3 đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = 3( x - 5) + 1 hay y = 3x - 14

chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0

A. y = -5x - 10 B. y = -5x + 11 C. y = x + D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1= -

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k2 = ; đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = ( x - 2) + 1 hay y = x +

+ Với k2 = -5 đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = - 5( x - 2) + 1 hay y = -5x + 11

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x - 2y + 5 = 0. Có mấy phương trình đường thẳng qua M(2; 1) và tạo với (d) một góc 450.

A. 1 B. 2 C. 3 D. Không có.

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d có VTPT nd→( 1; -2)

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; n→( A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với d một góc 450 thì:

Cos450 = ⇔ 2( A - 2B)2 = 5( A2 + B2)

⇔3A2 + 8AB - 3B2 = 0

Giả sử B ≠ 0 ⇒ 3. + 8. - 3 = 0 ⇔

+ Với A = -3B, chọn B = -1 thì A = 3 ta được phương trình ∆ qua M(2; 1) và VTPT ( 3; -1)

⇒ phương trình ∆: 3( x - 2) – 1(y - 1) = 0 hay 3x - y - 5 = 0.

+ Với B = 3A, chọn A = 1 thì B = 3 ta được phương trình ∆ qua M( 2; 1) và VTPT ( 1; 3)

⇒ Phương trình ∆: 1( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay x + 3y - 5 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x + 3y - 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng qua A( -2; 0) và tạo với (d) một góc 450.

A. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0 B. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0

C. 2x + y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0 D. 2x - y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có VTPT nd→( 1; 3) .

Gọi là đường thẳng cần tìm; n→(A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với ( d) một góc 450 thì:

cos450 = ⇔ 2(A + 3B)2 = 10(A2 + B2) ⇔

+ Với A = 2B, chọn B = 1 thì A = 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆) : 2( x + 2) + 1( y - 0) = 0 hay 2x + y + 4 = 0.

+ Với B = -2A, chọn A = 1;B = - 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆): 1( x + 2) – 2( y - 0) = 0 hay x - 2y + 2 = 0 .

Quảng cáo

Câu 3: Cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y + 12 = 0 và d2: . Tìm các giá trị của tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 450.

A. a = hoặc a = -14 B. a = hoặc a = 3

C. a = 5 hoặc a = -14 D. a = hoặc a = 5

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Đường thẳng d1 có VTPT n→( 3; 4) và đường thẳng d2 có VTCP ( a; -2) nên có VTPT n'→( 2; a) .

Để góc giữa hai đường thẳng là 450 thì:

|cos⁡( n→; n'→ ) | = cos450 ⇔

⇔ ⇔ √2|6 + 4a| = 5.

⇔ 2( 36 + 48a + 16a2) = 25(4 + a2)

⇔ 72 + 96a + 32a2 = 100 + 25a2

⇔ 7a2 + 96a - 28 = 0 ⇔

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d qua N( 3; -2) và tạo với trục Ox một góc 450.

A. x - y - 1 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y - 5 = 0 D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: C

Do (d) tạo với trục Ox một góc 450 nên có hệ số góc của đường thẳng (d) là

k = tan 450 = 1

Phương trình d là: y = 1( x - 3) – 2 hay x - y - 5 = 0

Câu 5: Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a) : 2x + y - 3 = 0 và (b): x - 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng (c): y - 1 = 0 một góc 450 có phương trình:

A. 2x + y = 0 hoặc x - y - 1 = 0 . B. x + 2y = 0 hoặc x - 4y = 0.

C. x - y = 0 hoặc x + y - 2 = 0 . D. 2x + 1 = 0 hoặc x - 3y = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

+ Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (a) và ( b) thì tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

⇒ A( 1; 1)

+Ta có đường thẳng ( c) có VTPT n1→( 0;1). Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n2→( x; y)

Do góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng (c) bằng 450 nên :

|cos⁡( n1→; n2→ ) | = cos⁡450

⇔ ⇔ x2 + y2 = 2y2 ⇔ x2 = y2

⇔

+ Nếu x = y thì chọn x = y = 1.

Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0

Hay x + y - 2 = 0.

+ Nếu x = -y. Chọn x = 1 thì y = -1

⇒ Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x - 1) - 1( y - 1) = 0

Hay x - y = 0.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y - 2 = 0 hoặc x - y = 0

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

A. Có duy nhất. B. 2 C. Vô số. D. Không tồn tại.

Lời giải:

Đáp án: B

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó.

(i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d.

(ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc α mà 00 < α < 900.

⇒ Có hai đường thẳng qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

Câu 7: Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0 một góc 450. Tìm hệ số góc k của đường thẳng ∆.

A. k = hoặc k = -3 B. k = hoặc k = 3

C. k = - hoặc k = -3 D. k = - hoặc k = 3

Lời giải:

Đáp án: A

+ Đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0 có VTPT nd→( 1; 2) .

+ Gọi đường thẳng ∆ có VTPT n∆→( a; b) ( với a2 + b2 > 0)

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

+Nếu a= 0 thì đường thẳng ∆: y + c’ = 0 nhưng khi đó góc giữa d và ∆ là:

cosφ = ⇒ φ ≠ 450.

⇒ a = 0 không thỏa mãn

+ Với a ≠ 0 thì đường thẳng ∆: y = - x - nên hệ số góc k∆ =

Để hai đường thẳng d và ∆ tạo với nhau góc 450 thì :

= cos450 = ⇔ 5(a2 + b2) = 2a2 + 8ab + 8b2

⇔ 3a2 - 8ab - 3b2 = 0 ⇔

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
• Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
• Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

👉 Giải bài nhanh với AI Hay:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• HOT 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k)

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• Ra mắt Sách 50 đề THPT quốc gia form 2026 toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

TÀI LIỆU CLC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

+ Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi file word có đáp án 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đề thi giữa kì, cuối kì 10

( 254 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 10....

( 42 tài liệu )

Giáo án word 10

( 95 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...10

( 71 tài liệu )

Đề thi HSG 10

( 8 tài liệu )

Trắc nghiệm đúng sai 10

( 41 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 10 Global Success
• Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
• Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
• Lớp 10 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
• Giải sgk Toán 10 - KNTT
• Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
• Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
• Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
• Giải sgk Tin học 10 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
• Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
• Giải Toán 10 - CTST
• Giải sgk Vật lí 10 - CTST
• Giải sgk Hóa học 10 - CTST
• Giải sgk Sinh học 10 - CTST
• Giải sgk Địa lí 10 - CTST
• Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
• Lớp 10 - Cánh diều
• Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
• Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
• Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều