Viết Phương Trình đường Thẳng Dạng Tổng Quát Trong Không Gian

Viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát trong không gian cũng là một dạng thường có mặt trong đề thi đại học, cao đẳng. Việc chúng ta sử dụng dạng tổng quát hay dạng chính tắc trong khi giải toán là phụ thuộc vào lối suy nghĩ cũng như sở thích của mỗi người. Trong bài giảng trước thầy đã trình bày về cách viết phương trình đường thẳng dạng chính tắc, các bạn có thể xem thêm bài giảng đó.

Hôm nay thầy vẫn sử dụng bài toán trong bài giảng trước nhưng thầy sẽ trình bày với cách giải khác, để chúng ta có thêm một cách làm và thêm một hướng tư duy nữa. Trước khi vào bài tập chúng ta cùng nhau nghiên cứu phương pháp làm dạng toán này.

1. Phương pháp viết phương tình đường thẳng dạng tổng quát

Để viết được phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tổng quát, ta phải tìm cách quy đường thẳng $d$ thành giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Lúc đó nếu mặt phẳng $(P)$ có dạng: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1=0$ và $A_2x + B_2y + C_2z + D_2=0$ thì đường thẳng $d$ có dạng:

$\left \{\begin{array}{ll}A_1x + B_1y + C_1z + D_1=0\\A_2x + B_2y + C_2z + D_2=0 \end{array}\right.$

Như vậy bài toán viết phương trình đường thẳng $d$ được quy về bài toán viết phương trình mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Dưới đây sẽ là bài tập áp dụng dạng toán trên.

Đề thi đại học khối D – năm 2006: Trong không gian với hệ trục tọa $Oxyz$ cho điểm $A(1;2;3)$ và hai đường thẳng:$d_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-3}{1}$ và $d_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$ Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$.

Hướng dẫn giải:

a. Phân tích bài toán:

Ta cần xác định đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ nào đó. Việc xác định hai mặt phẳng trên dựa vào những yếu tố mà bài toán cho, cụ thể như sau:

Vì đường thẳng $d$ đi qua $A$ vuông góc với đường thẳng $d_1$ và cắt đường thẳng $d_2$ nên ta sẽ tìm hai mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ có tính chất sau:

– Xác định mặt phẳng $(P)$: Chứa điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d_1$.

– Xác định mặt phẳng $(Q)$: Chứa điểm $A$ và đường thẳng $d_2$.

Các bạn nên kiểm tra xem hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có vuông góc với nhau không ? Vì sao phải kiểm tra thì các bạn cứ đọc hết lời giải sẽ rõ hơn.

b. Trình bày lời giải:

– Vì đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ đồng thời vuông góc với đường thẳng $d_1$ nên ta có:

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d_1$. Khi đó mặt phẳng $(P)$ nhận véctơ chỉ phương của $d_1$ làm véctơ pháp tuyến.

Véctơ chỉ phương của $d_1$ là : ${\vec{u_1}=(2;-1;1)}$ đồng thời cũng là VTPT của mặt phẳng $(P)$

Khi đó mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $A(1;2;3)$ và nhận ${\vec{u_1}=(2;-1;1)}$ làm véctơ pháp tuyến sẽ có phương trình là:$2(x-1) -1(y-2) +1(z-3) = 0 \Leftrightarrow 2x-y+z-3=0$

– Vì đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ đồng thời cắt đường thẳng $d_2$ nên ta có:

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa điểm $A$ và chứa đường thẳng $d_2$. Bây giờ ta cần xác định véctơ pháp tuyến cho mặt phẳng $(Q)$

Lấy 1 điểm $M(1;1;-1) \in d_2 \Rightarrow \vec{AM} =(0;-1;-4)$

Mặt phẳng $(Q)$ nhận véctơ ${\vec{u_2}=(-1;2;1)}$ của đường thẳng $d_2$ và $\vec{AM}$ làm cặp véctơ chỉ phương, nên mặt phẳng $(Q)$ có véc tơ pháp tuyến là:

$\vec{n} = [\vec{u_2},\vec{AM}] = \left (\begin{array}{cc}\left |\begin{array}{cc}2&1\\-1&-4 \end{array}\right |;\left |\begin{array}{cc}1&-1\\-4&0\end{array}\right |;\left |\begin{array}{cc}-1&2\\0&-1\end{array}\right|\end{array}\right) = (-7;-4;1)$

Mặt phẳng $(Q)$ qua điểm $A(1;2;3)$ nhận $\vec{n}(-7;-4;1)$ làm véctơ pháp tuyến sẽ có phương trình là:

$-7(x-1) -4(y-2) +1(z-3) =0 \Leftrightarrow 7x+4y-z -12=0$

Vì mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa điểm $A$ chung nên hai mặt phẳng này sẽ cắt nhau theo 1 giao tuyến chứa điểm $A$. Gọi giao tuyến này là đường thẳng $d$ thì $d$ chính là đường thẳng cần tìm.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$d: \left \{\begin{array}{ll}2x-y+z-3=0\\7x+4y-z-12=0 \end{array}\right.$

c. Vì sao lại khẳng định $d$ là đường thẳng cần tìm?

Để khẳng định $d$ là đường thẳng cần tìm ta xem đường thẳng $d$ có thỏa mãn những yêu cầu mà bài toán cho hay không?

– Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ (điều này rõ rồi)

– Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $d_1$ vì $d\in (P)$ và $(P) \bot d_1$.

– Đường thẳng $d$ có cắt đường thẳng $d_2$ hay không?

Phân tích:

Véctơ chỉ phương của đường thẳng $d_1$ là: $\vec{u_1}(2;-1;1)$

Véctơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$ là: $\vec{u_2}(-1;2;1)$

Ta thấy $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ không cùng phương, đồng thời $\vec{u_1}$.$\vec{u_2} \neq 0$ nên đường thẳng $d_1$ và đường thẳng $d_2$ không vuông góc với nhau. Do đó đường thẳng $d_2$ không song song với mặt phẳng $(P)$. Tức là $d_2$ cắt $(P)$.

Mặt khác đường thẳng $d \in (P)$ mà $d_2$ cắt $(P)$ => $d_2$ sẽ cắt $d$.

Vậy đường thẳng $d$ thỏa mãn các yêu cầu của bài toán => $d$ có phương trình như trên chính là đường thẳng cần tìm.

Chú ý: Nếu trường hợp đường thẳng $d_2$ mà vuông góc với đường thẳng $d_1$ thì $d_2$ sẽ không cắt $d$. Lúc đó $d$ sẽ không thỏa mãn những yêu cầu mà bài toán đã cho.

2. Lời kết

Như vậy với cùng một bài toán thầy đã hướng dẫn chúng ta đi theo hai hướng làm khác nhau. Các bạn hãy so sánh cách viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát với cách viết phương trình dạng chính tắc trong bài giảng trước xem cách làm nào phù hợp hơn, dễ phân tích hơn nhé.

Trên đây chỉ là một bài tập để hướng dẫn các bạn viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát trong không gian. Hy vọng chỉ với 1 bài tập nhưng sẽ giúp các bạn có thêm một hướng tư duy mới khi ôn luyện dạng toán này. Các bạn có thể trao đổi thêm phương pháp làm trong hộp bình luận phía dưới nhé.

Bài tập về nhà: (Đề thi ĐH khối A – 2007) Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng:

$d_1: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{1}$ và $d_2: \left \{\begin{array}{lll}x=1+2t\\y=1+t\\z=3 \end{array}\right.$

Viết phương trình đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P): 7x+y-4z=0$ và cắt cả $d_1; d_2$.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ