Viết Phương Trình đường Thẳng Song Song Với đường Thẳng Và Cắt 2 ...

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng

• Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Trang trước Trang sau

Bài viết Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng.

• Cách giải bài tập Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Ví dụ minh họa Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Bài tập vận dụng Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d1

- Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d2

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Cách 2:

M = d ∩ d1; N = d ∩ d2

Vì d // d’ nên và cùng phương hay

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d1, d2 và song song với d3 lần lượt là

- Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d3

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là

Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d2 và song song với d3

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (Q) là

Một điểm thuộc d2 là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương là :

Trục Ox có vecto chi phương

- Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=>

Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d2 và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=>

Một điểm thuộc d2 là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cách 2:

M = d ∩ d1 => M (t; 2t; 1+ 3t)

N = d ∩ d2 => N (2-t’; -1+3t’; -1+2t’)

Ox có 1 vectơ chỉ phương là cùng phương với

=>

=>

d//Ox nên

Vậy phương trình của d là:

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:

A .

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.

Do A thuộc d1 nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)

Do B thuộc d2 nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; - 1+ 3b)

Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto cùng phương

=> có một số k thỏa mãn

=> Tọa độ A( 2; 3; 3) và B(2; 2; 2)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( 2; 3; 3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d1 nên A( a; 3- 2a; 1- a)

+ Điểm B thuộc d2 nên B( 1- b;2+ 2b; - 2) .

=> Vecto là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 và trục Ox; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Quảng cáo

Lời giải:

+ Trục Ox: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Ox: .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Ox lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A( 1+ a; - 3+ 3a; - 2a)

+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B( b; 0; 0) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

⇔

=> tọa độ A( 2;0; - 2) và B( 2; 0; 0 )

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 2; 0; -2) và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A( 1; 0; -2) và B( -1; 2; 4). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d1

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M( 0; 1;1) .

+ Đường thẳng AB đi qua A (1; 0; -2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d1 nên H ( - a; - 1+ 2a; 3+ a)

+ Do K thuộc AB nên K( 1- b; b; - 2+ 3b)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ

Chọn C.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(-1; 2; 1); B( 1; 0; 1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với trục Oy. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?

A. ( -1; 2; 0)

B. (0; -2; - 3)

C. (2; 3; 1)

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( -1; 2; 1) và hận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d1 nên M( - 2; 1+ m; 2)

+ Do N thuộc AB nên N( -1+ n; 2- n; 1)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.

Chọn D

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng , . Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi

Do

cùng phương

⇔

Đường thẳng Δ đi qua N( 0; -1; 1) và có vectơ chỉ phương

⇒Δ:

Chọn C.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ y- 2z + 3= 0 . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P) và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điểm A thuộc d1 nên A( 1+ 2a; - 1+ a;a)

Điểm B thuộc d2 nên B( 1+ b; 2+ 2b; b)

=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Vì Δ// mp (P) nên

=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3+ 2b- a) – 2( b- a) = 0 ⇔ b- 2a + 3 + 2b – a – 2b + 2a= 0 ⇔ b – a+ 3= 0 ⇔ b= a- 3

Khi đó nên

Theo đề bài:

⇔ 2a2+ 27 = 29 ⇔ a2= 1

⇔

Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết . Tìm tọa độ giao điểm của d và d2?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1; d2lần lượt là A và B

+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A( 2a; -2+ a; -1)

+ Do B thuộc d2 nên tọa độ B( b; 0; b)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ đường thẳng d3 có vecto chỉ phương . Mà d// d3 nên đường thẳng d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ giao điểm của d và d2 là:

Chọn A.

Câu 2:

Cho 2 đường thẳng . Đường thẳng d cắt d1 và Oz; song song với d2. Tìm tọa độ giao điềm của d và trục Oz

A. N(0;0;-3)

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi M = d ∩ d1 => M ( - 2- m; 2m; - 2m)

Gọi N = d ∩ Oz => N ( 0; 0; n)

Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là .

Lại có đường thẳng d// d2 nên đường thẳng d nhận vecto u→ làm vecto chỉ phương

=> Vecto u→ cùng phương với

=>

=> là giao điểm của d và Oz

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:

A .

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.

Do A thuộc d1 nên tọa độ A ( -2a; 1+3a; 1+ 2a)

Do B thuộc d2 nên tọa độ B ( - 2b; 1+ b; - 1+ b)

Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

+ Do đường thẳng d//Δ nên đường thẳng Δ nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương

=> hai vecto cùng phương nên có một số k thực thỏa mãn

=> Tọa độ A( - 2; 4; 3) và B( - 6; 4; 2)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( - 2; 4; 3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M(2; 1; -2) và N( 3; 2; 1) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d1 nên A( 1; 2a; 1-a)

+ Điểm B thuộc d2 nên B( - b; 2; -2+ b) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 và trục Oy; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Trục Oy: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Oy: .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Oy lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A( 1+ a; -a; -2)

+ Do B thuộc trục Oy nên tọa độ B(0; b; 0) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

=> tọa độ A(0; 1; - 2) và B( 0; 1; 0 )

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua B( 0; 1; 0) và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A(-2; 1; -3) và B( - 2; 1; -1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và AB

A.(-2;1;0)

B. ( -2; 1; 2)

C. (-2; 1; -4)

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(-2; 1; -2) .

+ Đường thẳng AB đi qua A (-2; 1; -3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d1 nên H ( 1+ a; 2a; -1+ a )

+ Do K thuộc AB nên K( - 2; 1; - 3+ b)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ K( - 2; 1; - 4)

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(0; 1; 2); B(2; 2; 2). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với trục Oz.

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A(0;1;2) và hận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d1 nên M( 1+ m; 1- m; - 1)

+ Do N thuộc AB nên N( 2n; 1+ n; 2)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có; d song song trục Oz nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 sao cho:

=>

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua N( 2/3; 4/3;2) và có vecto chỉ phương .

=> Phương trình d:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P): x+ y + z- 7= 0 và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng Δ là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Điểm A thuộc d1 nên A( 1+ 2a; a; - 2- a)

Điểm B thuộc d2 nên B( 1+b; -2+ 3b; 2- 2b)

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Vì đường thẳng Δ// ( P) nên

=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3b- a- 2) + 1( - 2b+ a+ 4) = 0

⇔ b- 2a + 3b – a- 2 – 2b + a+ 4= 0 ⇔ 2b – 2a + 2= 0 ⇔ 2b= 2a- 2 ⇔ b= a- 1

=>

Khi đó :

Dấu “=” xảy ra khi

Đường thẳng Δ đi qua điểm A và vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt cầu (S): ( x-1)2 + (y+3)2+ (z+ 1)2 = 29 và A( 1; -2; 1). Đường thẳng Δ cắt d và (S) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+Điểm M thuộc đường thẳng d nên M( 2+ t; 1+ 2t;1- t)

+ Do A là trung điểm MN nên tọa độ N( -t; - 5- 2t;1+ t) .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; -2; 1) và có vectơ chỉ phương

=> Có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

• Sổ tay toán lý hóa 12 (29k/ 1 cuốn)
• Tổng ôn tốt nghiệp 12 toán, sử, địa, kinh tế pháp luật.... (80k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả Trang trước Trang sau phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 12 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
• Lớp 12 Kết nối tri thức
• Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 12 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
• Giải sgk Tin học 12 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
• Lớp 12 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 12 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
• Giải sgk Hóa học 12 - CTST
• Giải sgk Sinh học 12 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
• Giải sgk Tin học 12 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
• Lớp 12 Cánh diều
• Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều