Viết Phương Trình đường Tròn Trong Không Gian Oxyz - DINHNGHIA.VN

Đường tròn trong không gian \(Oxyz\)

Đường tròn \((C)\) trong không gian \(Oxyz\) là giao tuyến của mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((P)\).

Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x–a)2+(y–b)2+(z–c)2=R2 \) với tâm\( I(a,b,c) \)và bán kính \(R\).

Xem thêm >>> Viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz

Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\)

Xem thêm >>> Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu trong không gian: Gọi \(d(I(P))\) là khoảng cách từ tâm\( I\) của mặt cầu tới mặt phảng \((P)\). Ta có các trường hợp sau:

• \(d (I, (P)) > R\) thì \((S)\) và \((P)\) không có điểm chung
• \(d (I,(P)) = R\) thì \((S)\) và \((P)\) tiếp xúc với nhau.
• \(d (I,(P)) < R\) thì \((S)\)cắt \((P)\) theo đường tròn có tâm là hình chiếu của \( I\) xuống \((P)\), bán kính \(r=\sqrt{R^2-d^2}\)

Khi đó phương trình đường tròn trong không gian có dạng:

\(\left\{\begin{matrix} Ax + By + Cz + D = 0 & \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 & \end{matrix}\right.\)

Với \(\frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} +B^{2} + C^{2}}} < R\)

Ví dụ phương trình đường tròn trong không gian

Ví dụ 1: Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \(x^2 + y^2 + x^2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0\), mặt phẳng\((P)\) có phương trình \(2x – 2y – z + 9 = 0\).

Khi đó phương trình đường tròn tạo bởi mặt phẳng \((P)\)và mặt cầu \((S)\) có dạng

\(\left\{\begin{matrix} 2x – 2y – z + 9 = 0 & \\ x^2 + y^2 + x^2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0 & \end{matrix}\right.\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\): \(6x + 3y – 1 = 0\) và mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + x^2 – 6x + 4y – 2z – 11 = 0\). Chứng minh mặt phẳng \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn\((C)\) tìm tọa độ tâm của \((C)\).

Giải: Ta có mặt cầu \((S)\)có tâm I(3,2,1) và bán kính R = 5.

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng \((P)\) là \(d(I, (P)) = \frac{\left | 6.3 + 3.2 -2.1 -1 \right |}{\sqrt{6^{2} + 3^{2} + (-2)^{2}}} = 3 < R\)

Do đó \((P)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn \((C)\).

Tâm của \((C)\) là hình chiếu vuông góc H của I trên \((P)\). Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với \((P)\)có phương trình là:

\(\frac{x – 3}{6} = \frac{y – 2}{3} = \frac{z – 1}{-2}\)

Do Hϵd nên \(H (3 + 6t; 2 +3t; 1 – 2t)\)

Ta có \(Hϵ(P)⇒\)

\(6.(3 + 6t) + 3.(2 + 3t) – 2.(1 – 2t) – 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow t = \frac{-3}{7}\)

Do đó: tọa độ tâm của \((C)\) là \(H(\frac{3}{7},\frac{5}{7},\frac{13}{7})\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay đóng góp cho bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha <3