Viết Phương Trình Tham Số Của đường Thẳng, đường Tròn, Mặt Phẳng

Số lượt đọc bài viết: 26.073

Viết phương trình tham số là một dạng toán thường gặp trong phần hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10 cũng như hệ tọa độ không gian lớp 12. Vậy phương trình tham số là gì? Cách viết phương trình tham số? Chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

MỤC LỤC

• Phương trình tham số là gì?
• Các dạng phương trình tham số thường gặp
  • Trong mặt phẳng
  • Trong không gian
• Các dữ kiện cần thiết để viết phương trình tham số
• Cách viết phương trình tham số của mặt phẳng
  • Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm
  • Viết phương trình tham số đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
  • Viết phương trình tham số của đường thẳng đã có phương trình tổng quát
  • Viết phương trình tham số của đường tròn
• Cách viết phương trình tham số trong không gian
  • Viết phương trình tham số của mặt phẳng
  • Viết phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số là gì?

• Phương trình tham số là phương trình thường được sử dụng để biểu diễn tọa độ của các điểm thuộc một đối tượng hình học như đường thẳng, đường tròn… 
• Phương trình tham số được xác định bởi hệ các hàm số của một hoặc nhiều biến độc lập.
• Ví dụ: phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=\sin t\\y= \cos t \end{matrix}\right.\) là dạng biểu diễn bằng tham số của đường tròn đơn vị. Một điểm \( M(x_0;y_0) \) nằm trên đường tròn đơn vị khi và chỉ khi tồn tại \( t_0 \) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} x_0=\sin t_0\\y_0= \cos t_0 \end{matrix}\right.\)

***Chú ý: Biểu diễn hàm bằng phương trình tham số là không duy nhất. Cùng một hàm số có thể có nhiều cách biểu diễn bằng tham số khác nhau.

Các dạng phương trình tham số thường gặp

Trong mặt phẳng

• Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0;y_0) \) và có véc tơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;b)\) là:
  • \(\left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\y=y_0+bt \end{matrix}\right.\) với \( t \) là tham số
• Phương trình tham số của đường tròn tâm \( I(a;b) \) có bán kính \( R \) là :
  • \(\left\{\begin{matrix} x=R.\sin t + a\\y=R.\cos t +b \end{matrix}\right.\) với \(t \in [0;2\pi]\) 

Trong không gian

• Phương trình tham số của mặt phẳng đi qua điểm \( M(x_0;y_0;z_0) \) và chứa hai véc tơ không song song \(\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\vec{b} =(b_1;b_2;b_3)\) là :
  • \(\left\{\begin{matrix} x=x_0+a_1u +b_1t\\ y=y_0+a_2u+b_2t\\z=z_0+a_3u+b_3t \end{matrix}\right.\) với \( u,t \) là các tham số.
• Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0;y_0;z_0) \) và có véc tơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;b;c)\) là:
  • \(\left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\y=y_0+bt \\z=z_0+ct \end{matrix}\right.\)

Các dữ kiện cần thiết để viết phương trình tham số

• Phương trình đường thẳng 
  • Tọa độ một điểm thuộc đường thẳng.
  • Vectơ chỉ phương.

• Phương trình đường tròn 
  • Tọa độ tâm.
  • Bán kính.

• Phương trình mặt phẳng 
  • Tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng.
  • Tọa độ hai vectơ không song song thuộc mặt phẳng.

Cách viết phương trình tham số của mặt phẳng

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm

Bài toán: Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho hai điểm \( A(x_1;y_1) \) và \( B(x_2;y_2) \). Hãy viết PT tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \( A;B \)

Để giải quyết bài toán này ta tiến hành tìm vectơ chỉ phương \(\vec{u}_{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1)\) rồi viết phương trình tham số

Ví dụ: 

Cho mặt phẳng \( Oxy \), viết PT tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \( A(3;-7) \) và \( B(1;-7) \) 

Cách giải:

Ta có vectơ \(\overrightarrow{AB} = (-2;0)\)

Vậy phương trình tham số đường thẳng \( AB \) là :

\(\left\{\begin{matrix} x=3-2t \\ y=-7 \end{matrix}\right.\) với \(t \in \mathbb{R}\)

Xem chi tiết >>> Chuyên đề Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Viết phương trình tham số đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Bài toán: Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho điểm \( M(x_0;y_0) \) và đường thẳng \( d \). Hãy viết PT tham số của đường thẳng \( \Delta \) đi qua \( M \) và vuông góc với \( d \)

Cách làm: Từ phương trình đường thẳng \( d \) ta tìm ra được véc tơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của \( d \). Do \(\Delta \bot d \Rightarrow \vec{n}\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \( Delta \). Từ đó ta viết được phương trình tham số của \( Delta \)

Ví dụ:

Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho điểm \( A( 1;2) \). Viết PT tham số đường thẳng \( \Delta \) đi qua \( A \) và vuông góc với đường thẳng \(d: 2x-y+2=0\)

Cách giải:

Vì phương trình đường thẳng \( d \) là \( 2x-y+2=0\) nên

\(\Rightarrow \vec{n} (2;-1)\) là một véc tơ pháp tuyến của \( d \)

Mà \(\Delta \bot d \Rightarrow \vec{n} (2;-1)\) là véc tơ chỉ phương của \( \Delta \)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \( Delta \) là :

\(\left\{\begin{matrix} x= 1+2t\\y=2-t \end{matrix}\right.\) với \(t \in \mathbb{R}\)

Viết phương trình tham số của đường thẳng đã có phương trình tổng quát

Bài toán: Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho đường thẳng \( d : ax +by +c =0 \). Hãy viết PT tham số của đường thẳng \( d \)

• Bước 1: Chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng \( d \)
• Bước 2: Xác định véc tơ chỉ phương \( (-b;a) \) của \( d \) dựa vào vectơ pháp tuyến \( (a;b) \) của \( d \)
• Bước 3: Viết PT tham số của \( d \)

Ví dụ: 

Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho đường thẳng \( d : 2x-3y-12=0 \). Hãy viết PT tham số của đường thẳng \( d \) 

Cách giải:

Từ phương trình tổng quát của \( d \) ta thấy \(\vec{n} =(2;-3)\) là một véc tơ pháp tuyến của \( d \)

Do đó \(\Rightarrow \vec{u}=(3;2)\) là một véc tơ chỉ phương của \( d \)

Dễ thấy điểm \( A(3;-2) \in d \) . Vậy ta có phương trình tham số của đường thẳng \( d \) là :

\(\left\{\begin{matrix} x=3+3t\\y=-2+2t \end{matrix}\right.\) với \(t \in \mathbb{R}\)

Viết phương trình tham số của đường tròn

Để viết được phương trình tham số của đường tròn thì ta cần tìm được tọa độ tâm đường tròn và bán kính của đường tròn đó

Ví dụ:

Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho điểm \( I(1;2) \) và đường thẳng \( \Delta : 3x-4y+1=0 \). Viết phương trình đường tròn \( (O) \) có tâm \( I \) và tiếp xúc với đường thẳng \( \Delta \)

Cách giải:

Do đường tròn \( (O) \) tiếp xúc với \( \Delta \) nên

\(\Rightarrow R=d(I;\Delta)=\frac{|3-8+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{4}{5}\)

Vậy ta có phương trình tham số của đường tròn \( (O) \) là :

\(\left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{5}.\sin t +1 \\ y= \frac{4}{5}.\cos t +2 \end{matrix}\right.\) với \(t \in [0;2\pi]\)

Cách viết phương trình tham số trong không gian

Viết phương trình tham số của mặt phẳng

Để viết được phương trình tham số của mặt phẳng thì chúng ta cần tìm được tọa độ của một điểm bất kì nằm trên mặt phẳng và vectơ chỉ phương của hai đường thẳng không song song cùng nằm trên mặt phẳng đó. Sau đó dựa vào công thức phần trên để viết PT tham số: 

Ví dụ: 

Trong không gian \( Oxyz \) cho ba điểm \( A(1;2;2) ; B( 3;3;-1); C (2;1;-2) \). Viết PT tham số của mặt phẳng \( (ABC) \)

Cách giải:

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}= (2;1;-3)\\ \overrightarrow{AC}= (1;-1;-4) \end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình tham số của mặt phẳng \( (ABC) \) là :

\(\left\{\begin{matrix} x=1+2u+t\\ y=2+u-t \\z=2-3u-4t \end{matrix}\right.\) với \( u,t \in \mathbb{R}\)

Viết phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian, cách viết phương trình tham số của đường thẳng cũng giống như trong mặt phẳng. Chúng ta cần tìm tọa độ một điểm nằm trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng ấy.

Ví dụ:

Trong không gian \( Oxyz \) cho hai mặt phẳng \( (P) : x+2y+3z+2=0 \) và \( 2x-y-z-1 =0 \). Viết phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng đó

Cách giải:

Tập hợp các giao điểm của hai mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} x+2y+3z+2=0 \\ 2x-y-z-1 =0 \end{matrix}\right.\)

Cho \( z=0 \) thì ta được một giao điểm \( A ( 0;-1;0) \)

Cho \( y=0 \) thì ta được một giao điểm \(B(\frac{1}{7};0;-\frac{5}{7})\)

Vậy \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}= (\frac{1}{7};1;-\frac{5}{7})\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{u}= (1;7;-5)\) là véc tơ chỉ phương của \( AB \)

Vậy phương trình đường thẳng giao hai mặt phẳng là :

\(AB:\left\{\begin{matrix} x= t\\y=-1+7t \\ z=-5t \end{matrix}\right.\)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và một số ví dụ về bài toán phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề viết phương trình tham số. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Vecto chỉ phương của đường thẳng là gì? Phương trình tham số của một đường thẳng

3/5 - (2 bình chọn) Please follow and like us: